2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨高三最后一模数学试题含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知定义在R上的函数 f x，若函数2yf x为偶函数，且 f x对任意1x，22,x 12xx，都有 21210f xf xxx，若 31f afa，则实数a的取值范围是（）A1 3,2 4 B2,1 C1,2 D3,4

2、2已知双曲线222:1(0)3yxCaa的一个焦点与抛物线28xy的焦点重合，则双曲线C的离心率为（）A2 B3 C3 D4 3如图，正方体1111ABCDABC D中，E，F，G，H分别为棱1AA、1CC、11BC、11AB的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD平行的是（）A直线EF B直线GH C直线EH D直线1AB 4设1i2i1iz，则|z A0 B12 C1 D2 5已知方程1x xy y 表示的曲线为()yf x的图象，对于函数()yf x有如下结论：()f x在+，上单调递减；函数()()F xf xx至少存在一个零点；()yf x的最大值为1；若函数()g x和()f x图

3、象关于原点对称，则()yg x由方程1y yx x所确定；则正确命题序号为()A B C D 6为得到的图象，只需要将的图象（）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向右平移 个单位 7若01ab，则ba，ab，logba，1logab的大小关系为（）A1loglogbabaabab B1loglogabbababa C1loglogbabaaabb D1loglogabbaabab 8已知向量1,2,2,2ab，且ab，则等于（）A4 B3 C2 D1 9已知双曲线22221xyab(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与双曲线的右支有

4、且只有一个交点，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A2,)B(1,2),C(2,)D(1,2 10设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(0,+)单调递减，则（）A0.30.43(log 0.3)(2)(2)fff B0.40.33(log 0.3)(2)(2)fff C0.30.43(2)(2)(log 0.3)fff D0.40.33(2)(2)(log 0.3)fff 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A23 B13 C43 D56 12若 P 是q的充分不必要条件，则p 是 q 的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 二

5、、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点为F，过点F且倾斜角为 45的直线与双曲线C的两条渐近线顺次交于A，B两点若3FBFA，则C的离心率为_ 14某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗A原料 1 千克、B原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗A原料 2 千克，B原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A B、原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_元.15

6、设1F，2F分别是椭圆 C：22221xyab（0ab）的左、右焦点，直线 l 过1F交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于 E 点，若满足112FEAF，且1260EF F，则椭圆 C 的离心率为_.16设复数z满足(1i)42iz，其中i是虚数单位，若z是z的共轭复数，则z _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为 2 的菱形，60BAD，2PBPD.（1）证明：平面PAC 平面 ABCD；（2）设 H 在 AC 上，13AHAC，若63PH，求 PH 与平面 PBC 所成角的正弦值.18（12 分）

7、已知函数 2xexf xa（1）若1a，证明：当0 x 时，1fx；（2）若 f x在只有一个零点，求a的值.19（12 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：22tttteexeey（其中t为参数），直线l的参数方程为12525xmym（其中m为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于,A B两点，点P的坐标为2,0，求PAPB的值.20（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量cos,sina，cos,sin44b，其中02.（1）求baa的值；（2）若 1,1c，且bca，求的值.21（12 分）已知函数1

8、()lnxf xx（1）若1()f xaxx恒成立，求实数a的取值范围；（2）若方程()f xm有两个不同实根1x，2x，证明：122xx 22（10 分）已知矩阵231At的一个特征值为 4，求矩阵 A 的逆矩阵1A.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据题意，分析可得函数 f x的图象关于2x 对称且在2,上为减函数，则不等式 31f afa等价于231aa，解得a的取值范围，即可得答案.【详解】解:因为函数2yf x为偶函数，所以函数 f x的图象关于2x 对称，因为 f x对任意1x，

9、22,x 12xx，都有 21210f xf xxx，所以函数 f x在2,上为减函数，则 312312231f afafafaaa，解得：1324a.即实数a的取值范围是1 3,2 4.故选：A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.2A【解析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a，解可得1a，由离心率公式计算可得答案【详解】根据题意，抛物线28xy的焦点为(0,2)，则双曲线22213yxa的焦点也为(0,2)，即2c，则有234a，解可得1a，双曲线的离心率2cea.故选：A【点睛】本题主

10、要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 3C【解析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据/EFAC判断 A 的正误.根据1 11 1/,/GHA C A CAC，判断 B 的正误.根据11/,EHCDCD与 1DC相交，判断 C 的正误.根据11/ABDC，判断 D 的正误.【详解】在正方体中，因为/EFAC，所以/EF 平面1ACD，故 A 正确.因为1 11 1/,/GHA C A CAC，所以/GHAC，所以/GH平面1ACD 故 B 正确.因为11/ABDC，所以1/AB平面1ACD，故 D 正确.因为11/,

11、EHCDCD与 1DC相交，所以 EH与平面1ACD 相交，故 C 错误.故选：C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.4C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.详解：1 i 1 i1 i2i2i1 i1 i 1 iz i2ii ，则1z，故选 c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，

12、造成不必要的失分.5C【解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当00 xy，时，221xy，此时不存在图象；（2）当00，xy时，221-yx，此时为实轴为y轴的双曲线一部分；（3）当00，xy时，221xy，此时为实轴为x轴的双曲线一部分；（4）当00，xy时，221xy，此时为圆心在原点，半径为 1 的圆的一部分；画出()yf x的图象，由图象可得：对于，()f x在+，上单调递减，所以正确；对于，函数()yf x与yx 的图象没有交点，即()()F xf xx没有零点，所以错误；对于，由函数图象的对称性可知错误；对于，函数()g x

13、和()f x图象关于原点对称，则1x xy y 中用x代替x，用y代替y，可得1y yx x，所以正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.6D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移 个单位；故选 D 考点：三角函数的图像变换 7D【解析】因为01ab，所以10aabbaa，因为loglog1bbab，01a，所以11a,1log0ab.综上1loglogabbaabab；故选 D.8D【解析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解【详解】因为(1,2),(2,2)ab，且ab，22(2)0a

14、b，则1 故选：D【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题 9A【解析】若过点F且倾斜角为3的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【详解】已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为3的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，3ba，离心率22224abea，2e，故选：A【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件 10D【解析】利用 f x是偶函数化简3log 0.3

15、f，结合 f x在区间0,上的单调性，比较出三者的大小关系.【详解】()f x是偶函数，3331010log 0.3(log)(log)33fff，而0.30.4310log12203，因为()f x在(0,)上递减，0.30.4310(log)(2)(2)3fff，即0.30.43(log 0.3)(2)(2)fff 故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.11A【解析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：121 1 233 故选：A【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何

16、体的形状是解题的关键 12B【解析】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可 由 p 是q的充分不必要条件知“若 p 则q”为真，“若q则 p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若 q 则p”为真，“若p则 q”为假，故选 B 考点：逻辑命题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。135【解析】设直线AB的方程为xyc，与byxa 联立得到 A 点坐标，由3FBFA得，3BAyy，代入可得2ba，即得解.【详解】由题意，直线AB的方程为xyc，与byxa 联立得Abcyab，Bbcyba，由3FBFA得，3BAyy，从而3bcbcbaba，即2b

17、a，从而离心率5cea 故答案为：5【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.141 元【解析】设分别生产甲乙两种产品为x 桶，y桶，利润为z元 则根据题意可得2122120 xyxyxyxyN，且，目标函数300400zxy，作出可行域，如图所示 作直线340L xy：，然后把直线向可行域平移，由图象知当直线经过A 时，目标函数300400zxy 的截距最大，此时z 最大，由212 212xyxy 可得44xy，即4 4A（，）此时z 最大300 4400 42800z ，即该公司每天生产的甲 4 桶，乙 4 桶，可获得最大利润，最大利润为

18、1【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键 15713【解析】采用数形结合，计算1FE以及1AF，然后根据椭圆的定义可得2AF，并使用余弦定理以及cea，可得结果.【详解】如图 由1260EF F，所以12cos60cFEc 由112FEAF，所以1112AFFEc 又122AFAFa，则22AFac 所以222121212121cos2AFF FAFAFFAF F F 所以 22222cos12022ccaccc 化简可得：227227cacacc 则271371ca 故答案为：713【点睛】本题考查椭圆的定义以及余

19、弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.161 3i【解析】由于42i(42i)(1i)13i1i2 z，则13i z 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析；（2）63【解析】（1）记ACBDO，连结PO，推导出BDPO，BD 平面PAC，由此能证明平面PAC 平面ABCD；（2）推导出PHAC，PH 平面ABCD，连结HB，由题意得H为ABD的重心，BCBH，从而平面PHB 平面PBC，进而HPB是PH与平面PBC所成角，由此能求出PH与平面PBC所成角的正弦值【详解】（1）证明：记ACBDO，连结PO，

20、PBD中，OBOD，PB PD，BDPO，BDAC，ACPOO，BD平面PAC，BD 平面ABCD，平面PAC 平面ABCD（2）POB中，2POB，1OB，2PB，1PO，3AO，33OH，2262()33PH，222PHPOOH，PHAC，PH平面ABCD，PHBC，连结HB，由题意得H为ABD的重心，6HBO，2HBC，BCBH，BC平面PHB 平面PHB 平面PBC，H在平面PBC的射影落在PB上，HPB是PH与平面PBC所成角，Rt PHB中，63PH，2PB，2 33BH，2 316sin332BHBPHBP PH与平面PBC所成角的正弦值为63 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考

21、查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18（1）见解析；（2）24ea 【解析】分析：(1)先构造函数 211xg xxe，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究 f x零点，等价研究 21xh xax e 的零点，先求 h x导数：2xh xax xe，这里产生两个讨论点，一个是 a 与零，一个是 x 与 2，当0a 时，0h x，h x没有零点；当0a 时，h x先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得 a 的值.详解：（1）当1a 时，1fx 等价

22、于2110 xxe 设函数 211xg xxe，则 22211xxgxxxexe 当1x 时，0gx，所以 g x在0,单调递减 而 00g，故当0 x 时，0g x，即 1fx （2）设函数 21xh xax e f x在0,只有一个零点当且仅当 h x在0,只有一个零点 （i）当0a 时，0h x，h x没有零点；（ii）当0a 时，2xh xax xe 当0,2x时，0h x；当2,x时，0h x 所以 h x在0,2单调递减，在2,单调递增 故 2421ahe 是 h x在0,的最小值 若 20h，即24ea，h x在0,没有零点；若 20h，即24ea，h x在0,只有一个零点；若

23、20h，即24ea，由于 01h，所以 h x在0,2有一个零点，由（1）知，当0 x 时，2xex，所以 333244216161614111102aaaaahaeaae 故 h x在2,4a有一个零点，因此 h x在0,有两个零点 综上，f x在0,只有一个零点时，24ea 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19（1）2cos21(,)4 4 （2）5【解析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cosx，sin

24、y，得到曲线的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解；【详解】解：（1）曲线C：22tttteexeey消去参数t得到：221(1)xyx，由cosx，siny，得2222cossin1(,)4 4 所以2cos21(,)4 4 （2）12525xmym代入221xy，2343055mm 设1PAm，2PBm，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PBm m 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题 20（1）212（2）512.【解析】（1）根据2baaa ba，由向量

25、a，b的坐标直接计算即得；（2）先求出bc，再根据向量平行的坐标关系解得.【详解】（1）由题，向量cos,sina，cos,sin44b，则2baaa ba 22coscossinsincossin44 2cos1142.（2）1,1c，cos1,sin144bc.bca，cos1 sinsin1 cos044，整理得sincossincoscossin44，化简得2sinsin44，即1sin42，02，444，46，即512.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.21（1）1(,)2e（2）详见解析【解析】（1）将原不等式转化为2ln xax，构造函数2ln()xg

26、 xx，求得()g x的最大值即可；（2）首先通过求导判断()f x的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数()()(2)h xf xfx，将问题转化为证明()0h x，探究()h x在区间内的最大值即可得证【详解】解：（1）由1()f xaxx，即ln xaxx，即2ln xax，令2ln(),(0)xg xxx，则只需max()ag x，312ln()xg xx，令()0g x，得xe，()g x在(0,)e上单调递增，在(,)e 上单调递减，max1()()2g xgee，a的取值范围是1(,)2e；（2）证明：不妨设122ln,()xxxfxx，当(0,1)x时，()0,()fxf

27、x单调递增，当(1,)x时，()0,()fxf x单调递减，1(1)1,0ffe，当x时，()0f x，1210m1,1xxe ，要证122xx，即证212xx，由211,21,()xxf x在(1,)上单调递增，只需证明 212f xfx，由 12f xf x，只需证明 112f xfx，令()()(2)h xf xfx，(0,1)x，只需证明()0h x，易知22lnln(2)(1)0,()()(2)(2)xxhh xfxfxxx，由(0,1)x，故22ln0,(2)xxx，22lnln(2)ln(2)()0(2)(2)xxxxh xxx，从而()h x在(0,1)上单调递增，由(1)0h

28、，故当(0,1)x时，()0h x，故122xx，证毕【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题 22113441122A.【解析】根据特征多项式可得(4)(42)(4 1)30ft，可得2t，进而可得矩阵 A 的逆矩阵1A.【详解】因为矩阵A的特征多项式()(2)(1)3ft，所以(4)(42)(4 1)30ft，所以2t.因为2321A，且2 1 2 340 ，所以11313444422114422A.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题.