湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1 页，共 5 页 湖南省雅礼十六校 2022-2023 学年高三上学期第一次联考数学试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1下列不属于32x的展开式的项的是（）A3x B26x C12x D8 2已知非空集合|,|,Ax f xaBx ff xaaR，其中 233f xxx，若满足BA，则a的取值范围为（）A3,B,13,C21,16 D13,4 3已知复数123zzz，1z与3z共轭，121R1za az，12232zzzz且1141,2,3iizzi，则2323211zzzz 的值为（）A5 B6 C7 D8 4已知ABC三边abc，所对角分别为A BC，且2223

2、abc，则2tantan2tantanBAAB的值为（）A-1 B0 C1 D以上选项均不正确 5已知正项数列 na满足11a，且1111111nnnnnaaaaa，100S为 na前 100项和，下列说法正确的是（）A1007665S B1006554S C1005443S D1004332S 6长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛 这时候有四位体育老师对最终的比赛试卷第 2 页，共 5 页 结果做出了预测：罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三

3、名；关老师：省实验不是第一名；其中只有一位老师预测对了，则正确的是（）A罗老师 B魏老师 C贾老师 D关老师 7若51eeln5100abc，（e2.71828）试比较,a b c的大小关系（）Aabc Bbac Cacb Dbca 8已知双曲线2221yxa，若过点2 2，能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e取值范围为（）A213，B2113，C12，D以上选项均不正确 二、多选题 9某市有 A，B，C，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 A的概率为23，游览 B，C，D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览景点的个数，下列说法

4、正确的是（）A该游客至多游览一个景点的概率为14 B328P X C1424P X D 136E X 试卷第 3 页，共 5 页 10如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为1234naaaaa，），则称其为可列集下列集合属于可列集的有（）AN BZ CQ DR 11已知某四面体的四条棱长度为a，另外两条棱长度为b，则下列说法正确的是（）A若2a 且该四面体的侧面存在正三角形，则62,62b B若3a 且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积13 30,4V C若4a 且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积2128 30,27V D对任意1

5、a，记侧面存在正三角形时四面体的体积为1V，记对棱均相等时四面体的体积为2V，恒有 12maxmaxVV 12已知函数 2e21Rxf xaxxa，下列说法不正确的是（）A当3a 时，函数 f x仅有一个零点 B对于Ra，函数 f x都存在极值点 C当1a 时，函数 f x不存在极值点 DRa，使函数 f x都存在 3 个极值点 三、填空题 13已知coscoscos，则cos的最大值为_ 14已知向量1e与2e的夹角为4，且11e，23e，若123ee与122ee的夹角为锐角，则的取值范围是_ 15已知双曲线22221()00axyabb，的左、右焦点分别为12FF，过点1F作直线分别交双曲

6、线左支和一条渐近线于点AB，（AB，在同一象限内），且满足试卷第 4 页，共 5 页 1F AAB 联结2AF，满足21AFBF 若该双曲线的离心率为e，求2e的值_ 16若关于 x 的不等式21ln1xxbxa恒成立，则ab的最大值是_.四、解答题 17定义*coscosNnTnn(1)证明：12cos2coscoscosnnnTTT(2)解方程：5328101220Cxxxxx 18已知单调递减的正项数列 na，2n时满足22111111210nnnnnnnnnaaaaa aa aa 112naS，为 na前 n 项和(1)求 na的通项公式；(2)证明：111nSn.19如图，在以 P，

7、A，B，C，D 为顶点的五面体中，四边形 ABCD为等腰梯形，ABCD，12ADCDAB，平面PAD 平面PAB，PAPB (1)求证：平面PAD 平面PBC；(2)若二面角PABD的余弦值为33，求直线 PD与平面 PBC所成角的正弦值 20现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将 1000 只动物平均分成 100 组，任选一组进行试验第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有 9 只或 10 只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗设每只动物是否产生抗体相互独立，两次

8、注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为(01)pp（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含p的多项式表示）；试卷第 5 页，共 5 页（2）记该组动物需要注射次数X的数学期望为()E X，求证：10()10(2)E Xp 21已知平面直角坐标系中有两点122,0,2,0FF，且曲线1C上的任意一点 P 都满足125PFPF(1)求曲线1C的轨迹方程并画出草图；(2)设曲线222:1(1)yCxkk与1C交于顺时针排列的 S、T、M、N四点，求STTMMNNS的值（用含 k的代数式表示）22已知函数 sincosf xaxbxcx，且221ab(1)若1a，且 f x在 R 上单调递增，求c的

9、取值范围(2)若 f x图像上存在两条互相垂直的切线，求abc 的最大值 答案第 1 页，共 18 页 参考答案：1B【分析】按照二项式定理直接展开判断即可.【详解】由二项式定理可知，332(2)6128xxxx，故26x不是展开式的项.故选：B 2A【分析】可设12|Ax xxx，根据题设条件可得12,x x满足的条件，再根据根分布可求实数a的取值范围.【详解】2|33Ax xxa，因为A非空，故可设12|Ax xxx，则12,x x为方程2330 xxa 的两个实数根.设 233g xxxa，又 1212|Bx xxx xxf xx，因为BA，故2xa，所以294 3032330aaaaa

10、 ，解得3a.故选：A.3D【分析】结合复数减法的模的几何意义、椭圆的定义和标准方程等知识求得正确答案.【详解】依题意 11421,2,3iizzi，即复数123,z zz对应的点到点1,0和1,0的距离之和为4，而42，所以复数123,z zz对应的点，在以4为长轴，2为焦距，焦点在x轴的椭圆上，椭圆的长半轴为2，半焦距为1，所以短半轴为22213，所以椭圆的方程为22143xy.1z与3z共轭，说明1z与3z对应点关于长轴对称，1311zz，设111222i,izxyzxy，依题意121R1za az，即11112222i1,1i1ii1xya xya xayxy，所以121211xa x

11、yay，则121211yyxx，即 12120011yyxx ，答案第 2 页，共 18 页 所以点 1122,1,0 x yxy三点共线，1,0为左焦点，而2323122312212111111zzzzzzzzzzzz ，表示：1z与2z两点的距离、2z与右焦点1,0的距离、1z与右焦点1,0的距离，这三个距离之和，即和为4 28.故选：D 4B【分析】由题意，先由余弦定理化简整理，再根据正弦定理进行边化角，由三角形内角和结合诱导公式以及二倍角公式，可得答案.【详解】将2223abc由余弦定理变换得cos0abC 由正弦定理得sinsincos0ABC，三角变换得2tantan0BC，即2t

12、antan()0BAB，变形得tantan2tan01tantanABBAB，两边同时乘以1tantanAB得2tantan2tantan0BAAB，故选：B.5C【分析】首先可得1001254Saa，然后由条件可得1111nnnaaa，然后可得 na为递减数列，1na，然后可得11111112nnnnnnaaaaaa，然后可得11()4nna，然后可证明10043S.【详解】令1n，则可得214a，故1001254Saa，将1111111nnnnnaaaaa两边同除111nnaa得1111nnnaaa，na为递减数列，1na，可得11111112nnnnnnaaaaaa，所以31221111

13、212nnnnnnaaaaaaaaaa，所以11()4nna，答案第 3 页，共 18 页 根据等比数列求和公式得0199991001114114()().()()4443343S，综上，1005443S，故选：C 6C【分析】由题意分别假设四位老师正确，再进行逻辑推理，即可得到结果.【详解】由题意，假设罗老师正确，则另外三位老师错误，又因为魏老师与贾老师的说法中一定有一个正确，所以假设错误，A 不正确；假设魏老师正确，则另外三位老师错误，但是与罗老师的说法矛盾，所以假设错误，B 不正确；假设关老师正确，则另外三位老师错误，但是魏老师与贾老师的说法中一定有一个正确，所以假设错误，D 不正确；故

14、贾老师说法正确.故选:C.7D【分析】先估算出5e，进而求出a的范围，再由21.64e求出b的范围，最后构造函数估算出c即可求解.【详解】由e2.71828得2e7.5，故5e7.5 7.5 2.72153，又1.64 1.642.6896e，故51e1.6e100，由常用数据得ln51.609，下面说明ln51.609，令 26ln146xxf xxx，232226464614146146xxxxxfxxxxx，当1,0 x 时，0fx，f x单增，当0,x时，0fx，f x单减，则 max00f xf，则26ln146xxxx，则5ln52ln2ln4，11121320111ln2lnln

15、 1ln 1ln 110111219101119，令 2646xxg xx，则111ln20.6932101119ggg，591011lnlnln 1ln 148989，511ln0.2232489gg，则5ln52ln2ln2 0.69320.22321.60964，综上，答案第 4 页，共 18 页 bca.故选：D.【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出ln5的范围，放缩得到26ln146xxxx，再由111ln2ln 1ln 1ln 1101119和511lnln 1ln 1489结合5ln52ln2ln4即可求解.8D【分析】设切线方程为(22)yk x，

16、代入双曲线方程后，方程应为一元二次方程，二次项系数不能为 0，然后由0 判别式得关于k的方程，此方程有两个不等的实根，由此可得2a的范围，从而求得e的范围，注意满足二次项系数不为 0 的条件，即可得结论【详解】设切线方程是(22)yk x，由2222(2)1yk xyxa得22222()4(1)4(1)0akxk kxka，显然220ak时，所得直线不是双曲线的切线，所以ka，由0 得22222216(1)4()4(1)0kkakka，整理为223840kka，由题意此方程有两不等实根，所以216412(4)0a，243a，则22713ca（c为双曲线的半焦距），2113cec，即2113e，

17、ka 代入方程223840kka，得1a，此时2e，综上，e的范围是21(1,2)(2,)3 故选：D 9ABD【分析】根据题设确定随机变量 X的可能取值，结合各选项的描述，结合对立、互斥事件概率及独立事件乘法公式求出对应()P X，即可判断 A、B、C，最后应用随机变量期望公式求 E X判断 D.【详解】由题意知，随机变量 X的可能取值为 0，1，2，3，4，A：游客至多游览一个景点，即游览 0 个或 1 个景点，即X0或1，32110113224P X ，1P X 32132121151113232224C，答案第 5 页，共 18 页 游客至多游览 1 个景点概率为1510124244P

18、 XP X，正确；B：221233211212C11C32232P X 13128，正确；C：321143212P X，错误；D：2323332112173C11C3223224P X，所以 1537113012342424824126E X ，正确 故选：ABD 10ABC【分析】根据自然数、整数、有理数、实数的性质，结合题中定义逐一判断即可.【详解】令010,1,Nnaaan n，即可表示所有自然数，故集合 N 可标号表示为01234,.na a a a aa，故N为可列集，同理，Z为可列集，对于 Q，整数与分数统称有理数，由于其区间,可由可列个,1n nnZ区间组成，故可只讨论区间0,1

19、内的情况 令00a，当分母为 1 时，分子只有一种取值，故记作111a，同理213132112,233pqqaaaap，综上，集合 Q 可标号表示为0213132,pqa aaaa，故 Q 为可列集，有理数与无理数统称实数，而无限不循环小数是无理数，所以实数不是可列集，故选：ABC 11ACD【分析】对于 A 选项，结合余弦定理表示出b，进而求得b的取值范围.对于 BCD选项，利用四面体的体积公式求得12,V V的表达式，并求得范围，从而判断出 BCD 选项的正确性.【详解】对于 A 选项，如下图所示，四面体ABCD中，依题意，不妨设2,ACCDADABBCBDb，设E是CD的中点，所以21,

20、3BEbAE，设EAB，则0，在三角形ABE中，由余弦定理得 22223223cosBE ，答案第 6 页，共 18 页 即22174 3cos,84 3cosbb，由于84 3cos84 3,84 3，所以62,62b，故A 选项正确.对于 B 选项，如下图所示，四面体ABCD中，不妨设,ACCDADABa BCBDb，设E是CD的中点，则,BECD AECD BEAEE BE AE平面ABE，所以CD平面ABE.设EAB，则0，由于32AEa，所以11113sin3322ABEVSCDaaa 33sin12a.当3a 时，19 39 3sin,sin1442V时等号成立，B 选项错误.对于

21、 C 选项，如下图所示，四面体ABCD中，不妨设,ABCDb BCADBDACa，设E是 CD 的中点，则,BECD AECD BEAEE BE AE平面ABE，所以CD平面ABE.在三角形ABE中，224bBEAEa，所以22222124422ABEbbbbSbaa，所以2224221132262bbbVabba 3222222223112 3442161664426327bbbabbbaa.当且仅当2222233,4242bbbaaab时等号成立.故当4a 时，322 30,27Va，即2128 30,27V，C 选项正确.对于 D 选项，由上述分析可知，331max39 312108Va

22、a，332max2 38 327108Vaa，答案第 7 页，共 18 页 12maxmaxVV，所以 D 选项正确.故选：ACD 12ABD【分析】由1a 时，0f x 即可判断 A 选项；当1a 时，求导确定函数的单调性即可判断 C 选项；由 C 选项即可判断 B 选项；由 fx的零点个数即可判断 D 选项.【详解】2e21xf xaxx，e22xfxax，令 e22xg xax，则 e2xgxa，对于 A，当1a 时，2220e1e1xxf xxxx，函数 f x无零点，则 A 错误；对于 C，当1a 时，2e21xf xxx，22exfxx，e22xg xx，e2xgx，当ln2x 时

23、，0g x，g x即 fx单增，当ln2x 时，0gx，g x即 fx单减，则 lmin2n2l02n2e24ln2fx，即函数 f x单增，不存在极值点，C 正确；对于 B，由 C 选项知错误；对于 D，假设Ra，使函数 f x都存在 3 个极值点，即 fx存在 3 个变号零点，又由上知 e2xgxa，当0a 时，0g x，g x即 fx单增，fx最多只有 1 个零点；当0a 时，当答案第 8 页，共 18 页 ln2xa时，0g x，g x即 fx单增，当ln2xa时，0gx，g x即 fx单减，fx最多只有 2 个零点，和 fx存在3 个变号零点矛盾，则不存在Ra，使函数 f x都存在

24、3 个极值点，D 错误.故选：ABD.【点睛】解决极值点问题，关键在于求导后由导数的正负确定函数的单调性，对于导数的正负不好直接确定的，可以通过构造函数，再次求导，进而确定导数的正负，使问题得到解决.13 31#13【分析】首先根据题意得到coscos1sinsincos0，设cos,cosP，:cos1sincos0lxy，得到P的轨迹方程为：221xy，且点P在l上，从而得到22cos1cos1sind，再解不等式即可.【详解】coscoscoscoscossinsincoscos0 变形得coscos1sinsincos0，设cos,cosP，:cos1sincos0lxy，因为点P的轨

25、迹方程为：221xy，且点P在l上，所以22cos1cos1sind，整理得：222coscos1sin，即2cos2cos20，解得1cos13 .所以cos的最大值为 31.故答案为：31 1451011 651011 6,66,66【分析】由题意可得1212203eeee，且123ee与122ee不共线，从而可求出的取值范围.答案第 9 页，共 18 页【详解】因为向量1e与2e的夹角为4，且11e，23e，123ee与122ee的夹角为锐角，所以1212203eeee，且123ee与122ee不共线，由1212203eeee，得22211222(6)30ee ee，所以222(6)13

26、902，化简得26226 60，解得51011 66或51011 66，由123ee与122ee共线，得存在唯一实数，使121232eeee，所以23，得26，所以当26时，123ee与122ee不共线，综上51011 66或51011 66，且6，所以的取值范围是51011 651011 6,66,66，故答案为：51011 651011 6,66,66 15124 7【分析】先假设0000,()0,0A xyxy，由21AFBF得222000yxc，再由点A在双曲线上，得到2222002a yxab，进而得到20byc，又由点B在渐近线byxa 上，得到0022bxaybc，平方后将20

27、x，0y代入得到齐次方程22340aabb，求得723ab，再平方即可求得离心率2124 7e.【详解】不妨设0000,()0,0A xyxy，由21AFBF得00001yyxc xc，化简得222000yxc（1），A在双曲线上，所以2200221xyab，即2222002a yxab，代入（1）解得20byc，100,2,2F AABBxcy，又B在渐近线byxa 上，0022byxca，即答案第 10 页，共 18 页 0022bxaybc 两边平方得222222000444b xa yb cabcy（2）将2222002a yxab和20byc代入（2）得242422322224444

28、a ba bb caba bcc 化简得22340aabb，解得723ab，即222114 79aca 化简得2124 7e 故答案为：124 7【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c2a2转化为 a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e的取值范围)16e【分析】由0a，0 x，原不等式可化为ln11xxabxa.再利用导数研究函数 ln1xfxx的图象，根

29、据1yxaba的图象恒在 f x的图象的上方，对a进行分类讨论，即可得到答案.【详解】由0a，0 x，原不等式可化为ln11xxabxa.设 ln1xfxx，则 221ln12lnxxxxfxxx，当20,xe时，0fx，f x递增；2,xe，0fx，f x递减.所以，f x在2xe处取得极大值，且为最大值21e；xe时，0f x.1yxaba的图象恒在 f x的图象的上方，显然0a 不符题意；答案第 11 页，共 18 页 当0a 时，ab为直线1yxaba的横截距，其最大值为 f x的横截距，再令 0f x，可得xe，所以ab取得最大值为e.此时2ae，1be，直线与 f x在点,0e处相

30、切.【点睛】本小题主要考查函数的导数及其应用等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法.17(1)证明见解析(2)方程的解集为572i,2i,cos,cos,cos999【分析】（1）根据定义结合两角和差得余弦公式分别化简cos,cos2nn，整理即可得证；（2）因式分解5322381012228610 xxxxxxx，分220 x 和220 x 两种情况讨论，构造函数 3861f xxx，利用导数结合零点得存在性定理及（1）求出方程38610 xx 的根，从而可得出答案.（1）证明：coscos1cos1cossin1sinnnnn，而cos2c

31、os1cos1cossin1sinnnnn，联立两式可得cos?2cos1coscos2nnn，即12cos2coscoscosnnnTTT；（2）解：5322381012228610 xxxxxxx，若220 x，解得2ix ，若220 x，则38610 xx，记 3861f xxx，22466 21 21fxxxx，当12x 或12x 时，0fx，当1122x时，0fx，答案第 12 页，共 18 页 所以函数 f x在11,22 上单调递增，在1 1,2 2上单调递减，而 11130103011022ffff ，f x有且仅有三个零点，即38610 xx 有三个实根，且均位于区间1,1内

32、，记三个实根分别为123cos,cos,cos，由（1）知3cos32cos2 coscos4cos3cos，31cos34cos3coscos2 23k或cos2 Z3kk，解得12357coscos,coscos,coscos999，综上所述，方程的解集为572i,2i,cos,cos,cos999.【点睛】本题考查了两角和差的余弦公式，考查了利用导数结合方程的根的问题，考查了分类讨论思想和逻辑推理能力，本题解决第二问的关键在于因式分解，属于难题.18(1)11nan(2)证明见解析【分析】（1）通过分组分解法化简已知条件，然后构造等差数列1na，求得1na的通项公式，进而求得 na的通项

33、公式.（2）结合分析法、裂项求和法证得不等式成立.（1）由22111111210nnnnnnnnnaaaaa aa aa，得2221111()20nnnnnnnnaaa aaaa a，即111120nnnnnnnnaaa aaaa a，由 na是单调递减的正项数列，得1120nnnnaaa a，则110nnnnaaa a，即1111nnaa，故1na是以112a为首项，1 为公差的等差数列，答案第 13 页，共 18 页 则11nna，即11nan.（2）要证：111nSn，只需证：11111nannn，即证：21112(1)11nnnn n，即证：221111(1)1nnnn n，即证：22

34、2221(1)1nnn nn n，即证：3224(1)(221)n nnn，即证：324410nn，而此不等式显然成立，所以111nSn 成立.19(1)证明见解析(2)22【分析】（1）由面面垂直的性质得到PB 平面PAD，由面面垂直的判定即可证明；（2）过D作DHPA，DOAB，垂足分别为H，O，连接HO，由几何法可证DOH即为二面角PABD的平面角，过O作OM 平面PAB，以,OA OH OM为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设4AB，再由向量法求出直线 PD与平面 PBC所成角即可（1）（1）因为平面PAD 平面PAB，平面PAD平面PABPA，PAPB，PB 平面PAB，所以PB

35、 平面PAD，又因为PB 平面PBC，所以平面PAD 平面PBC（2）过D作DHPA，DOAB，垂足分别为H，O，连接HO，答案第 14 页，共 18 页 因为平面PAD 平面PAB，平面PAD平面PABPA，DHPA，DH 平面PAD，所以DH 平面PAB，又AB平面PAB，所以DHAB，又DOAB，且DODHD，DO，DH 平面DHO，所以AB 平面DHO，因为HO 平面DHO，所以ABHO，即DOH即为二面角PABD的平面角，不妨设4AB，则可知2ADCDBC，且1AO，3OD，因为3cos3DOH，所以1OH，所以4BAP，过O作OM 平面PAB，以,OA OH OM为 x，y，z轴，

36、建立空间直角坐标系，则0,1,2D，1,2,0P，3,0,0B，2,1,2C，所以1,1,2PD，2,2,0BP，1,1,2CP，设平面PBC的法向量为,mx y z，则22020m BPxym CPxyz，令1x，则1y ，0z，所以1,1,0m，设直线 PD与平面 PBC所成角为，则22sin21 11 12m PDmPD ，直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为22 20（1）910109pp；（2）证明见解析【分析】（1）设第一轮注射有 Y 只动物产生抗体，则10,YBp，则所求概率即(10)(9)P YP Y；（2）先求得 910 10 11E Xpp，由01p显然可得 10E

37、 X，再变形答案第 15 页，共 18 页 910 2101E Xppp，可证得 10(2)E Xp.【详解】（1）平均每组100010100人，设第一轮注射有 Y 只动物产生抗体，则10,YBp，所以109910(10)(9)10(1)109P YP Yppppp，所以该组试验只需第一轮注射的概率为910109pp（2）由（1）得91010109P Xpp，101010(10)(1),2,3,10kkkP XkCppk，所以102()10(10)(10)(10)kE XP Xk P Xk 10109101010210(10(1)(10)(1)kkkkpppk Cpp 101010101010

38、991010100010111kkkkkkkkCppkCppCp p，设10,1Bp，则1010100()(1)10(1)kkkkEkCppp，又10101010100(1)(1)kkkkCpppp，所以109()10(1)10(1)10(1)E Xpppp p 99101010 110 120 101010pp pppp 910 10 11pp，因为01p，所以 10E X，又 991010 10 1120 101010E Xppppp 910 2101ppp，因为01p，所以 10 2E Xp，所以 1010 2E Xp【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：求得 910 10 11

39、E Xpp.21(1)44222228890 xyx yxy；作图见解析(2)2222216344122553412251(21)k kkkkkkkkkk 【分析】（1）设,P x y，则可根据题设条件得到关于,x y的方程，化简后可得轨迹方程并答案第 16 页，共 18 页 可画出草图.（2）联立（1）中的方程和椭圆方程，消元后可求STTMMNNS.（1）设,P x y，由题设有2222225xyxy，整理得到2222444425xxyxxy，故44222212880:9Cxyx yxy，其草图如下图所示：（2）联立44222228890 xyx yxy与221yxk，得2422221268

40、890kkxkkxkk 则22222268421891648100kkkkkkkk 由对称性知 S、T、M、N四点横坐标的绝对值相等且纵坐标的绝对值相等，分别记为00 xy，答案第 17 页，共 18 页 则22220023441225(1)21kkkkxxkk 又00002222STTMMNNSxxyy 2200|161STTMMNNSkxx 222221634412255341225(21)k kkkkkkkkk，其中1k 22(1)1,c(2)2【分析】（1）f x在 R 上单调递增即其导函数在 R 上大于等于 0 恒成立；（2）若 f x图像上存在两条互相垂直的切线即存在12xx、使12()()=-1fxfx，由此可得结论.（1）由题意知0b，则 sinf xxcx，得 cos0fxxc恒成立，即coscx 恒成立，即有1,c.（2）由221ab，令sin,cosab，由 sincosf xaxbxcx，得 cossinsincoscos sinfxaxbxcxxc sinxc，所以 11cfxc 由题意可知，若 f x图像上存在两条互相垂直的切线，只需要10,10cc 且 21111ccc，即211c ，所以20c，0c，sincos2sin24abcab，答案第 18 页，共 18 页 所以abc 的最大值为2