2023届甘肃省张掖市甘州区张掖高三最后一卷数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 Ay|y21x，Bx|ylg（x2x2），则R（AB）（）A0，12）B（，0）12，+）C（0

2、，12）D（，012，+）2存在点00,M xy在椭圆22221(0)xyabab上，且点 M 在第一象限，使得过点 M 且与椭圆在此点的切线00221x xy yab垂直的直线经过点0,2b，则椭圆离心率的取值范围是（）A20,2 B2,12 C30,3 D3,13 3已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为12FF、，圆222xyb与双曲线在第一象限内的交点为 M，若123MFMF则该双曲线的离心率为 A2 B3 C2 D3 4若22nxx的二项式展开式中二项式系数的和为 32，则正整数n的值为（）A7 B6 C5 D4 5已知函数()2cos(0)3f xx在,3 2

3、上单调递增，则的取值范围（）A2,23 B20,3 C2,13 D(0,2 6复数12zi，若复数12,z z在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12zz等于（）A345i B345i C34i D345i 7在ABC中，,a b c分别为,ABC所对的边，若函数 322213fxxbxacac x 1有极值点，则B的范围是（）A0,3 B0,3 C,3 D,3 8 在四边形ABCD中，/ADBC，2AB，5AD，3BC，60A，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，点M在边CD所在直线上，则AM ME的最大值为（）A714 B24 C514 D30 9已知3sin2cos1,(,)2，则1ta

4、n21tan2（）A12 B2 C12 D2 10定义在2 2,上的函数 f x与其导函数 fx的图象如图所示，设O为坐标原点，A、B、C、D四点的横坐标依次为12、16、1、43，则函数 xf xye的单调递减区间是（）A1 4,6 3 B1,12 C11,26 D1,2 11已知实数0a，1a，函数 2,14ln,1xaxf xxax xx在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A12a B5a C35a D25a 12已知命题 p：若1a，1bc，则loglogbcaa；命题 q：00,x，使得0302logxx”，则以下命题为真命题的是（）Apq Bpq Cpq D pq 二、填空题：

5、本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知函数21,0()(2),0 xxf xf xx，若关于 x 的方程3()2f xxa有且只有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是_.14曲线3yx在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=a所围成的三角形面积为16，则实数a=_。15若函数()0 xf xeax恒成立,则实数a的取值范围是_.16已知过点O的直线与函数3xy 的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数9xy 的图象于C点，当BCx轴，点A的横坐标是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知数列na满足：

6、对任意,u vN，都有2uvuvaaa.（1）若23692aaaa，求18a的值；（2）若na是等比数列，求na的通项公式；（3）设kN，3k，求证：若123,kkkaaa成等差数列，则12,ka aa也成等差数列.18（12 分）在平面直角坐标系xOy中，点P是直线:1l x 上的动点，1,0F为定点，点Q为PF的中点，动点M满足0MQ PF，且MPOFR，设点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点F的直线交曲线C于A，B两点，T为曲线C上异于A，B的任意一点，直线TA，TB分别交直线l于D，E两点.问DFE是否为定值？若是，求DFE的值；若不是，请说明理由.19（12 分）已知

7、动圆 E 与圆221:14Mxy外切，并与直线12x 相切，记动圆圆心 E 的轨迹为曲线 C.（1）求曲线 C 的方程；（2）过点2,0Q 的直线 l 交曲线C 于 A，B 两点，若曲线C 上存在点P 使得90APB，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.20（12 分）已知 f xxa aR（1）若 21f xx的解集为0,2，求a的值；（2）若对任意xR，不等式()12sin()4fxx 恒成立，求实数a的取值范围 21（12 分）已知函数 123f xxx.（1）求不等式 1f x 的解集；（2）若存在实数x，使得不等式 230mmf x成立，求实数m的取值范围.22（10 分）已知函数

8、lnf xxxx，xxg xe.（1）若不等式 2f x g xax对1,x恒成立，求a的最小值；（2）证明：1f xxg x.（3）设方程 f xg xx的实根为0 x.令 00,1,f xxxxF xg xxx若存在1x，21,x，12xx，使得 12F xF x，证明：2012F xFxx.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】求函数的值域得集合A，求定义域得集合B，根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合 Ay|y21xy|y00，+）；Bx|ylg（x2x2）x|x2x20 x|0

9、 x12（0，12），AB（0，12），R（AB）（，012，+）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.2D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点 M 椭圆的切线方程为00221x xy yab,所以切线的斜率为2020b xa y,由20020021byb xxa y ,解得3022bybc,即222bc,所以2222acc,所以33ca.故选：D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.3D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过M点作12FF垂线交

10、12FF于点H，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF的形状并求出高MH的长度，MH的长度即M点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐标，最后将M点坐标带入双曲线方程即可得出结果。【详解】根据题意可画出以上图像，过M点作12FF垂线并交12FF于点H，因为123MFMF，M在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MFMFa，即2232MFMFa，2MFa，因为圆222xyb的半径为b，OM是圆222xyb的半径，所以OMb，因为OMb，2MFa，2OFc，222abc，所以290OMF，三角形2OMF是直角三角形，因为2MHOF，所以22OFMHOMMF，abcMH，即

11、M点纵坐标为abc，将M点纵坐标带入圆的方程中可得2 2222a bcxb，解得2bcx，2,babccM，将M点坐标带入双曲线中可得422 221baa cc，化简得4422baa c，222422caaa c，223ca，3cae，故选 D。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。4C【解析】由二项式系数性质，()nab的展开式中所有二项式系数和为2n计算【详解】22nxx的二项展开式中二项式系数和为2n，232,5nn 故选：C【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌

12、握二项式系数性质是解题关键 5B【解析】由32x,可得33332x,结合cosyx在,0上单调递增,易得,03332,即可求出的范围.【详解】由32x,可得33332x,0 x 时,(0)2cos3f,而,3 20,又cosyx在,0上单调递增,且,03,所以,03332,则330230,即2230,故203.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.6A【解析】先通过复数12,z z在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22zi ，再利用复数的除法求解12zz.【详解】因为复数12,z z在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12zi，所以22z

13、i 所以122223422255 iiziiziii 故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.7D【解析】试题分析：由已知可得 22220fxxbxacac有两个不等实根2222222221440cos22acbbacacacbacBBac ,3.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为 22220fxxbxacac有两个不等实根，从而可得2222222221440cos22

14、acbbacacacbacBBac,3.8A【解析】依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AEBE求出E的坐标，求出边CD所在直线的方程，设,35 3M xx，利用坐标表示,AM ME，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB，5AD，3BC，60A，0,0A，1,3B，4,3C，5,0D 因为点E在线段CB的延长线上，设0,3E x，01x AEBE 2220031xx解得01x 1,3E 4,3C，5,0D CD所在直线的方程为35 3yx 因为点M在边CD所在直线上，故设,35 3M xx,35 3AMx

15、x 1,34 3ExMx 34 335 31AM MExxxx 242660 xx 242660 xx 23714144x 当134x 时max714AM ME 故选：A 【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.9B【解析】结合22sincos1求得sin,cos的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由22sin2cos1sincos1，以及3(,)2，解得34sin,cos55 .1tan21tan2222sin21cossincoscossin1 2cossin2222222sincossincossincossincossin2222222221c

16、os2311sin524cos5.故选：B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.10B【解析】先辨别出图象中实线部分为函数 yf x的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数 xf xye的导数为 xfxf xye，由0y，得出 fxf x，只需在图中找出满足不等式 fxf x对应的x的取值范围即可.【详解】若虚线部分为函数 yf x的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数 yf x的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x轴恰好也只有两个交点，合乎题意.对函数 xf x

17、ye求导得 xfxf xye，由0y得 fxf x，由图象可知，满足不等式 fxf x的x的取值范围是1,12，因此，函数 xf xye的单调递减区间为1,12.故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.11D【解析】根据题意，对于函数分 2 段分析：当1,()xxf xa，由指数函数的性质分析可得1a，当241,()lnxf xxaxx，由导数与函数单调性的关系可得24()20afxxxx，在1,)上恒成立，变形可得2a，再结合函数的单调性，分析可得1 4a ，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，

18、函数 2,14ln,1xaxf xxax xx在R上单调递增，当1,()xxf xa，若 f x为增函数，则1a，当241,()lnxf xxaxx，若 f x为增函数，必有24()20afxxxx在1,)上恒成立，变形可得：242axx，又由1x，可得 242g xxx在1,)上单调递减，则2442212xx，若242axx在1,)上恒成立，则有2a，若函数 f x在R上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有1 45a ，联立可得：25a.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.12B【解析】先判断命题,p q的真假,进而根据

19、复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】1loglogbaab，1loglogcaac，因为1a，1bc，所以0loglogaacb，所以11loglogaacb，即命题 p为真命题；画出函数2xy 和3logyx图象，知命题 q 为假命题,所以pq 为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q的真假,难度较易.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13(,3)【解析】画出函数()f x的图象，再画32yxa的图象，求出一个交点时的a的值，然后平行移动可得有两个交点时的a的范围【详解】函数()f x的图象如图所示：因为

20、方程3()2f xxa有且只有两个不相等的实数根，所以()yf x图象与直线32yxa有且只有两个交点即可，当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a 时，32yxa与函数()f x有一个交点，由图象可知，直线向下平移后有两个交点，可得3a，故答案为：(,3)【点睛】本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题 1413a 或 1【解析】利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与x轴和xa的交点，由三角形的面积公式可得所求值【详解】3yx的导数为23yx，可得切线的斜率为 3，切线方程为13(1)yx，可得32yx，可得切线与x轴的交点为2(3，

21、0)，切线与xa的交点为(,32)aa，可得121 32236aa，解得1a 或13。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。150ae【解析】若函数()0 xf xeax恒成立，即min()0f x，求导得()xfxea，在0,0,0aaa三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min()f x，解关于a的不等式，再取并集，即得。【详解】由题意得,只要min()0f x即可，()xfxea，当0a 时，令()0fx 解得lnxa，令()0fx，解得lnxa，()f x单调递减，令()0fx，解得lnxa，()f x单调递增，故()f x在lnxa

22、时，()f x有最小值，min()(ln)(1ln)f xfaaa，若()0f x 恒成立，则(1ln)0aa，解得0ae；当0a 时，()0 xf xe恒成立;当0a 时，()xfxea，()f x单调递增，,()xf x ,不合题意,舍去.综上,实数a的取值范围是0ae.故答案为：0ae【点睛】本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。163log 2【解析】通过设出 A 点坐标，可得 C 点坐标，通过BCx轴，可得 B 点坐标，于是再利用OAOBkk可得答案.【详解】根据题意，可设点,3aA a，则,9aC a,由于BCx轴，故9aCByy，代入3xy，可得2Bxa，即2,9a

23、Ba，由于A在线段OB上，故OAOBkk，即392aaaa，解得 3log 2a.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）3；（2）2na ；（3）见解析.【解析】（1）依据下标的关系，有18292aaa，18362aaa，两式相加，即可求出18a；（2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。利用关系式2uvuvaaa，列出方程，可以解出首项和公比；（3）利用等差数列的定义，即可证出。【详解】（1）因为对任意,u vN，都有2uvuvaaa，所以18292aaa，18362aaa，两式相加，18236924246aaaaa，解得18=3a；（2）设等

24、比数列na的首项为1a，公比为q，因为对任意,u vN，都有2uvuvaaa，所以有2122aaa，解得12a ，又616232=2aaaaa，即有1623=aaaa，化简得，5231qqq，即2311=0qq，1q或1q ，因为4222aaa，化简得3210qq，所以 1q 故2na 。（3）因为对任意,u vN，都有2uvuvaaa，所以有 1112(1)213131(1)12222kkkkkkk kkkaaaaaaaaaaaa（），123,kkkaaa成等差数列，设公差为d，212(1)1(1)kkaaaakd，323(1)2(1)(1)kkaaaakd，1(1)(1)(1)(1)kkk

25、 kkkaaaakd，由等差数列的定义知，12,ka aa也成等差数列。【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考查学生的逻辑推理，数学建模，综合运用数列知识的能力。18（1）24yx；（2）是定值，2DFE.【解析】（1）设出 M 的坐标为(,)x y，采用直接法求曲线C的方程；（2）设 AB 的方程为1xty，211(,)4yAy，222(,)4yBy,200(,)4yTy，求出 AT 方程，联立直线l方程得 D 点的坐标，同理可得 E 点的坐标，最后利用向量数量积算FDFE即可.【详解】（1）设动点 M 的坐标为(,)x y，由MPOFR知MPOF，又P在直线:1l

26、 x 上，所以 P 点坐标为(1,)y，又1,0F，点Q为PF的中点，所以(0,)2yQ，(2,)PFy，(,)2yMQx，由0MQ PF得2202yx，即24yx；（2）设直线 AB 的方程为1xty，代入24yx得2440yty，设211(,)4yAy，222(,)4yBy，则124yyt，124y y ，设200(,)4yTy，则10221010444ATyykyyyy，所以 AT 的直线方程为200104()4yyyxyy即1010104y yyxyyyy，令1x，则 10104y yyyy，所以 D 点的坐标为10104(1,)y yyy，同理 E 点的坐标为20204(1,)y y

27、yy，于是FD 10104(2,)y yyy，FE 20204(2,)y yyy，所以FD4FE 10104y yyy20204y yyy212001221212004()164()y yyyyyy yyyyy 20020041616444ytytyy 2200002001616441616044tyyytytyy，从而FD FE，所以2DFE是定值.【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.19（1）24yx；（2）66,00,66.【解析】（1）根据抛物线的定义，

28、结合已知条件，即可容易求得结果；（2）设出直线l的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则0，结合由90APB得到的斜率关系，即可求得斜率k的范围.【详解】（1）因为动圆E与圆221:14Mxy外切，并与直线12x 相切，所以点E到点M的距离比点E到直线12x 的距离大12.因为圆221:14Mxy的半径为12，所以点E到点M的距离等于点E到直线1x 的距离，所以圆心E的轨迹为抛物线，且焦点坐标为1,0.所以曲线C的方程24yx.（2）设00,P x y，11,A x y，22,B x y 由242yxyk x得2480kyyk，由2016320kk得2222k且0k.124yyk，128

29、y y 010122010101444PAyyyykyyxxyy，同理024PBkyy 由90APB，得0102441yyyy，即200121216yyyyy y，所以2004240yyk，由24960k，得6666k且0k，又2222k且0k，所以k的取值范围为66,00,66.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程，涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围，属综合中档题.20（1）1a；（2）-2，【解析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a的值；（2）利用绝对值不等式求出 f xxa的最小值，把不等式()12sin()4fxx 化为只含有a的不等式，

30、求出不等式解集即可【详解】（1）不等式 21f xx，即21xax 两边平方整理得2232410 xaxa 由题意知0和2是方程2232410 xaxa 的两个实数根 即22402310 23aa，解得1a （2）因为 2f xxaxaxaxaxaa 所以要使不等式()12sin()4fxx 恒成立，只需232aa 当0a 时，232aa，解得2a，即02a；当0a 时，232aa，解得25a，即0a；综上所述，a的取值范围是,2【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题 21（1）,62,；（2）1,4.【解析】（1）将函数 yf x的解析式表示为分段

31、函数，然后分3x、31x、1x 三段求解不等式 1f x，综合可得出不等式 1f x 的解集；（2）求出函数 yf x的最大值 maxf x，由题意得出 2max3mmf x，解此不等式即可得出实数m的取值范围.【详解】7,312335,317,1xxf xxxxxxx .（1）当3x时，由 71f xx，解得6x ，此时6x ；当31x 时，由 351f xx ，解得2x ，此时21x；当1x 时，由 71f xx ，解得8x ，此时1x.综上所述，不等式 1f x 的解集,62,；（2）当3x时，函数 7f xx单调递增，则 34f xf；当31x 时，函数 35f xx 单调递减，则 1

32、3ff xf，即 84f x；当1x 时，函数 7f xx 单调递减，则 18f xf.综上所述，函数 yf x的最大值为 max34f xf，由题知，2max34mmf x，解得14 m.因此，实数m的取值范围是1,4.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.22（1）1e（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）由题意可得，ln1xxae，令 ln1xxk xe，利用导数得 k x在1,上单调递减，进而可得结论；（2）不等式转化为11lnxxxe，令 1lnt xxx，1xh xe，利用导数得单调

33、性即可得到答案；（3）由题意可得001lnxxe，进而可将不等式转化为 1012F xFxx，再利用单调性可得01011122lnxxxxxxe，记 0022lnxxxxm xxxe，01xx，再利用导数研究单调性可得 m x在01,x上单调递增，即 00m xm x，即01011122lnxxxxxxe，即可得到结论.【详解】（1）2f x g xax，即2lnxxxxxaxe，化简可得ln1xxae.令 ln1xxk xe，1ln1xxxkxe，因为1x，所以11x，ln1 1x.所以 0k x，k x在1,上单调递减，11k xke.所以a的最小值为1e.（2）要证 1f xxg x，即

34、ln10 xxxxxe.两边同除以x可得11lnxxxe.设 1lnt xxx，则 22111xtxxxx.在0,1上，0tx，所以 t x在0,1上单调递减.在1,上，0tx，所以 t x在1,上单调递增，所以 11t xt.设 1xh xe，因为 h x在0,上是减函数，所以 01h xh.所以 t xh x，即 1f xxg x.（3）证明：方程 f xg xx在区间1,上的实根为0 x，即001lnxxe，要证 2012F xFxx，由 12F xF x可知，即要证 1012F xFxx.当01xx时，lnF xxx，1 ln0F xx，因而 F x在01,x上单调递增.当0 xx时，

35、xxF xe，10 xxFxe，因而 F x在0,x 上单调递减.因为101,xx，所以0102xxx，要证 1012F xFxx.即要证01011122lnxxxxxxe.记 0022lnxxxxm xxxe，01xx.因为001lnxxe，所以0000lnxxxxe，则 00000ln0 xxm xxxe.0000022212121ln1lnxxxxxxxxxxm xxxeee .设 ttn te，1ttn te，当0,1t时，0n t.1,t时，0n t，故 max1n te.且 0n t，故 10n te，因为021xx，所以002120 xxxxee.因此 0m x，即 m x在01,x上单调递增.所以 00m xm x，即01011122lnxxxxxxe.故 2012F xFxx得证.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.