2023届天津市和平区高三第四次模拟考试数学试卷含解析.pdf

《2023届天津市和平区高三第四次模拟考试数学试卷含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届天津市和平区高三第四次模拟考试数学试卷含解析.pdf（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023 年高考数学模拟试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20 60,上的频率为0.8，则估计样本在40,50、50,60内的数据个数共有（）A14 B15 C1

2、6 D17 2已知函数21,0()ln,0 xxf xx x,则方程()3ff x的实数根的个数是（）A6 B3 C4 D5 3某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为 1，等腰三角形的腰长为 3，则该几何体表面积为（）A7 B6 C5 D4 4若,x a b均为任意实数，且22231ab，则22lnxaxb 的最小值为（）A3 2 B18 C3 21 D196 2 5已知公差不为 0 的等差数列 na的前n项的和为nS，12a，且139,a a a成等比数列，则8S（）A56 B72 C88 D40 6若 1,6a，则函数2xayx在区间2,内单调递增的概率是（）A45 B35 C25 D1

3、5 7 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A1213 B1314 C2129 D1415 8 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a，2 3c，sinsin3bAaB，则sinC（）A37 B217 C2112 D5719 9已知函数 32,0log,0 xxf xx x，则3=3ff（）A22

4、 B12 C3log 2 D3log 2 10已知抛物线2:4C yx和点2,0D，直线2xty与抛物线C交于不同两点A，B，直线BD与抛物线C交于另一点E给出以下判断：直线OB与直线OE的斜率乘积为2；/AEy轴；以BE为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（）A B C D 11 已知 3log1,1,84,8,6xxf xxx 若 120fmf x在定义域上恒成立，则m的取值范围是（）A0,B1,2 C1,D0,1 12抛物线24yx的焦点为 F，点(,)P x y为该抛物线上的动点，若点(1,0)A，则PFPA的最小值为（）A12 B22 C32 D2 23 二、填空题

5、：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13如图，在平面四边形中，则_ 14若变量x，y满足约束条件1,3215,xyxxy则2zxy的最大值是_.15 双曲线222210,0 xyabab的左焦点为12,0F，点0,5A，点 P 为双曲线右支上的动点，且1APF周长的最小值为 8，则双曲线的实轴长为_，离心率为_.16袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知椭圆C：222210 xyabab的两个焦点是1F，2F，2,1M在椭圆C上，且124MFMF

6、，O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：ODOE为定值.18（12 分）健身馆某项目收费标准为每次 60 元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了 100 为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次 30 元，根据给出的数据回答下列问题：（1）估计 1 位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费 4 次，求这 4 次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费 4 次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之

7、差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望()E X 19（12 分）已知函数21()ln()2f xxaxx aR，函数()23g xx.（）判断函数1()()()2F xf xag x的单调性；（）若21a 时，对任意12,1,2x x，不等式1212()()()()f xf xt g xg x恒成立，求实数t的最小值.20（12 分）如图，在四棱锥MABCD中，ABAD，2ABAMAD，2 2MBMD.（1）证明：AM 平面ABCD；（2）若/CDAB，2CDAB，E为线段BM上一点，且2BEEM，求直线EC与平面BDM所成角的正弦值.21（12 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数()|1

8、|f xx.（1）求不等式()5(3)f xf x的解集；（2）已知关于x的不等式2()|4f xxax在 1,1上有解，求实数a的取值范围.22（10 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，2ABAC，12BCAA，O为BC的中点，点M在线段1AA上，且OM平面11CB A（1）求证：1AMAM；（2）求平面1MOB与平面11CB A所成二面角的正弦值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】计算出样本在20 60,的数据个数，再减去样本在20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，

9、样本在20 60,的数据个数为30 0.824，样本在20,40的数据个数为459，因此，样本在40,50、50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2D【解析】画出函数21,0()ln,0 xxf xx x,将方程()3ff x看作 ,3tf xf t交点个数，运用图象判断根的个数【详解】画出函数21,0()ln,0 xxf xx x 令 ,3tf xf t有两解120,1,1,+tt，则 12,tf xf xt分别有3 个，2 个解，故方程()3ff x的实数根的个数是 3+2=

10、5 个 故选：D 【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题 3C【解析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为 1，圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为 1，圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，故几何体的表面积为213 22152.故选：C.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.4D【解析】该题可以看做是圆上的动点到曲线lnyx上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线lnyx上的动点的距离减去半径的平方的

11、最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线lnyx上的点与以2,3C 为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线lnyx上的点与圆心2,3C 的距离的最小值，在曲线lnyx上取一点,lnM mm，曲线有lnyx在点M 处的切线的斜率为1km，从而有1CMkk，即ln3 112mmm，整理得2ln230mmm，解得1m，所以点1,0满足条件，其到圆心2,3C 的距离为222 1303 2d ，故其结果为23 21196 2，故选 D.【点睛】本题考查

12、函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.5B【解析】2319aa a2111(2)(8)ada ad，将12a 代入，求得公差 d，再利用等差数列的前 n 项和公式计算即可.【详解】由已知，2319aa a，12a，故2111(2)(8)ada ad，解得2d 或0d（舍），故2(1)22nann，1888()4(228)722aaS.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.6B【解析】函数2xayx在区间2,内单调递增，22210axayxx，在2,恒成立，2ax在2,恒成立，4a，1,6,1,4,aa

13、函数2xayx在区间2,内单调递增的概率是4 136 15，故选 B.7C【解析】由题意知：2BC，5B C，设ACx，则2ABABx，在Rt ACB中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx得出答案.【详解】解：由题意知：2BC，5B C，设ACx，则2ABABx 在Rt ACB中，列勾股方程得：22252xx，解得214x 所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx 故选 C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.8B【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得3tan3B，可得出6B，然后利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理可求出sinC

14、的值.【详解】31sinsincossin322bAaBaBaB，即31sinsinsincossinsin22ABABAB，即3sinsin3sincosABAA，sin0A，3sin3cosBB，得3tan3B，0B，6B.由余弦定理得2232cos1 122 1 2 372bacacB ，由正弦定理sinsincbCB，因此，12 3sin212sin77cBCb.故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.9A【解析】根据分段函数解析式，先求得33f的值，再求得33ff的值.【详解】依题

15、意1233331loglog 3332f，123122322fff.故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.10B【解析】由题意，可设直线DE的方程为2xmy，利用韦达定理判断第一个结论；将2xty代入抛物线C的方程可得，18Ay y，从而，2Ayy，进而判断第二个结论；设F为抛物线C的焦点，以线段BE为直径的圆为M，则圆心M为线段BE的中点设B，E到准线的距离分别为1d，2d，M的半径为R，点M到准线的距离为d，显然B，E，F三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线DE的方程为2xmy，代入抛物线C的方程，有2480ymy 设点B，E的坐标分

16、别为11,x y，22,xy，则124yym，128y y 所21212121222244x xmymym y ym yy 则直线OB与直线OE的斜率乘积为12122y yx x 所以正确 将2xty代入抛物线C的方程可得，18Ay y，从而，2Ayy，根据抛物线的对称性可知，A，E两点关于x轴对称，所以直线/AEy轴所以正确 如图，设F为抛物线C的焦点，以线段BE为直径的圆为M，则圆心M为线段BE的中点设B，E到准线的距离分别为1d，2d，M的半径为R，点M到准线的距离为d，显然B，E，F三点不共线，则12|222ddBFEFBEdR所以不正确 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几

17、何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题 11C【解析】先解不等式 2f x，可得出89x ，求出函数 yf x的值域，由题意可知，不等式 819mfx 在定义域上恒成立，可得出关于m的不等式，即可解得实数m的取值范围.【详解】3log1,1,84,8,6xxf xxx，先解不等式 2f x.当18x 时，由 3log12f xx，得32log12x，解得889x，此时889x；当8x 时，由 426fxx，得8x.所以，不等式 2f x 的解集为89x x.下面来求函数 yf x的值域.当18x 时，019

18、x，则3log12x，此时 3log10f xx；当8x 时，62x，此时 40,26fxx.综上所述，函数 yf x的值域为0,，由于 120fmf x在定义域上恒成立，则不等式 819mfx 在定义域上恒成立，所以，10m，解得m1.因此，实数m的取值范围是1,.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.12B【解析】通过抛物线的定义，转化PFPN，要使|PFPA有最小值，只需APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值【详解】解：由题意可知，抛物线24yx的准线方程为1x，(1,0)A，过P作PN垂直

19、直线1x 于N，由抛物线的定义可知PFPN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，|PFPA有最小值，则APN最大，即PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：(1)yk x，所以2(1)4yk xyx，解得：2 222(24)0k xkx k，所以224()2440kk，解得1k ，所以45NPA，|2cos|2PFNPAPA 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13【解析】由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可【详解】由题意得，【点睛】突破本题的关键是抓住题中所

20、给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷 149【解析】做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出2zxy的最大值.【详解】做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，目标函数2zxy过点A时取得最大值，联立3215yxxy，解得33xy，即(3,3)A，所以2zxy最大值为 9.故答案为:9.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.152 2 【解析】设双曲线的右焦点为22,0F，根据1APF周长为11223PFPAAFAFa，计算得到答案.【详解】设双曲线222

21、210,0 xyabab的右焦点为22,0F.1APF周长为：11222323628PFPAAFPFaPAAFaa.当2APF共线时等号成立，故1a，即实轴长为22a，2cea.故答案为：2；2.【点睛】本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.1647【解析】基本事件总数 n49C126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数 m112121211234234234C C CC C CC C C72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率【详解】解：袋中有 2 个红球，3 个白球和 4 个黄球，从中任取 4 个球，基本事件总数 n49C126，其中三种颜色

22、的球都有，可能是 2 个红球，1 个白球和 1 个黄球或 1 个红球，2 个白球和 1 个黄球或 1 个红球，1 个白球和 2 个黄球，所以包含的基本事件个数 m112121211234234234C C CC C CC C C72，其中三种颜色的球都有的概率是 p7241267mn 故答案为：47【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）22142xy（2）证明见解析【解析】（1）根据椭圆的定义可得2a，将M代入椭圆方程，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）设直线AB的

23、方程，代入椭圆方程，求得直线MA和MB的方程，求得D和E的横坐标，表示出ODOE，根据韦达定理即可求证ODOE为定值.【详解】（1）因为124MFMF，由椭圆的定义得24a，2a，点2,1M在椭圆C上，代入椭圆方程，解得22b，所以C的方程为22142xy；（2）证明：设11,A x y，22,B x y，直线AB的斜率为22，设直线l的方程为22yxt，联立方程组2222142yxtxy，消去y，整理得22220 xtxt，所以122xxt，2122x xt，直线MA的直线方程为111122yyxx，令0y，则11221Dxxy，同理22221Exxy，所以：1212222211xOxyOE

24、yD1212222 211xxyy 122112222121222 211xyttxxyx 12121212212 22 211x xxxtxxyy，代入整理得2 2ODOE，所以ODOE为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.18（1）25（2）22.5（3）见解析，249200【解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望【详解】解：（1）估计 1 位会员至少消费两次的概率25 10521005p；（2）第 1 次消费利润60

25、 0.953027；第 2 次消费利润60 0.903024；第 3 次消费利润60 0.853021；第 4 次消费利润60 0.803018；这 4 次消费获得的平均利润：272421 1822.54（3）1 次消费利润是 27，概率是35；2 次消费利润是272425.52，概率是14；3 次消费利润是272421243，概率是110；4 次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,3,22X 3311111187(0)554410102020200P X 33111119()2()254410102025P X 311129(3)2()510420200P X 9313()22

26、52050P X 故分布列为：X 0 32 3 92 P 87200 925 29200 350 期望为:87392993249()03200225200250200E X 【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 19(1)故函数 yF x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减;(2)114.【解析】试题分析：（）根据题意得到 F x的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性（）分析题意可得 2211f xtg xf xtg x对任意21a，1212xx恒成立，构造函数 2

27、1ln1232h xf xtg xxaxt xt，则有 1120h xaxtx对任意2,1a ，1,2x恒成立，然后通过求函数的最值可得所求 试题解析：（I）由题意得 2113ln1222F xf xag xxaxa xa，x0,，21111axa xFxaxaxx 11axxx.当0a 时，0Fx，函数 yF x在0,上单调递增；当0a 时，令 0Fx，解得10 xa；令 0Fx，解得1xa.故函数 yF x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.综上，当0a 时，函数 yF x在0,上单调递增；当0a 时，函数 yF x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.（II）由题意知0t.21

28、11axxfxaxxx，当21a 时，函数 yf x单调递增 不妨设1 122xx，又函数 yg x单调递减，所以原问题等价于：当21a 时，对任意1212xx，不等式 21f xf x 12t g xg x恒成立，即 2211f xtg xf xtg x对任意21a，1212xx恒成立.记 21ln1232h xf xtg xxaxt xt，由题意得 h x在 1,2上单调递减.所以 1120h xaxtx对任意2,1a ，1,2x恒成立.令 112H axatx，2,1a ，则 max122120H aHxtx 在0,x上恒成立.故max1212txx，而12yxx在 1,2上单调递增，所

29、以函数12yxx在 1,2上的最大值为92.由9212t ，解得114t.故实数t的最小值为114 20（1）证明见解析（2）15953【解析】（1）利用线段长度得到AM与,AB AD间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明；（2）以AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.【详解】（1）2ABAMAD，2 2MBMD，222AMADMD，222AMABMB AMAD，AMAB ABADA，AD平面ABCD，AM 平面ABCD（2）由（1）知ABAD，AMAD，AMAB 又A为坐标原点，分别以

30、AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,0,0A，0,2,0M，2,0,0D，0,0,2B，2,0,1C，2,0,2BD，2,2,0DM ，2BEEB，4 20,3 3E，412,33CE 设,nx y z是平面BDM的一个法向量 则00n BDn DM，即220220 xzxy，取1x 得1,1,1n 41215933cos,53|5333CECECEnnn 直线EC与平面BDM所成的正弦值为15953【点睛】本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.2

31、1(1)23xx(2)24a 【解析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题xa2x在1,1上有解，去绝对值分离变量 a 即可.【详解】（1）不等式 f x5 f x3，即x 1x25 等价于1,125,xxx 或12,125,xxx 或2,125,xxx 解得 2x3，所以原不等式的解集为x2x3；（2）当x1,1 时，不等式 2f xxax4，即xa2x，所以xa2x在1,1上有解 即2a22x 在1,1上有解，所以，2a4 【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.22见解析【解析】（1）如图，连接1BC，交1CB于点

32、N，连接1A N，ON，则N为1CB的中点，因为O为BC的中点，所以1ONBB，又11MABB，所以1ONMA，从而O，N，1A，M四点共面 因为OM平面11CB A，OM 平面1ONA M，平面1ONA M平面111CB ANA，所以1OMNA 又1ONMA，所以四边形1ONA M为平行四边形，所以1111122MAONBBAA，所以1AMAM （2）因为ABAC，O为BC的中点，所以AOBC，又三棱柱111ABCABC是直三棱柱，1ONBB，所以OA，OB，ON互相垂直，分别以OB，ON，OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，因为2ABAC，12BCA

33、A，所以(0,0,0)O，11,()2,0B，(0,1,1)M，(1,0,0)C，所以10,1,)1(OMNA，11,2,0()OB，12,2,0()CB 设平面1MOB的法向量为(,)x y zm，则100OMOBmm，即020yzxy，令1z，可得1y ，2x，所以平面1MOB的一个法向量为,1(2,)1m 设平面11CB A的法向量为(,)na b c，则1100NACBnn，即0220bcab，令1c，可得1b ，1a，所以平面11CB A的一个法向量为(1,1,1)n，所以2222222 1 1(1)1 142 2cos,33 22(1)11(1)1 m n，所以平面1MOB与平面11CB A所成二面角的正弦值为13