安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题解析版.pdf

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1、试卷第 1 页，共 6 页 安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡

2、交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集U R，集合 1,0,1,2,3M ，R|1Nxx，则下面 Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A(,1)B(,1 C 1,0 D 1,0,1 2设复数z满足i4i0z ，则|z（）A17 B4 C7 D5 3 已知双曲线222210,0 xyabab的渐近线方程150 xy，则双曲线的离心率为（）A15 B4 C2 D4 1515 4 考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s，如果s是奇数，则将

3、其乘3加1；如果s是偶数，试卷第 2 页，共 6 页 则将其除以2，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程若输入s的值为5，则输出i的值为（）A4 B5 C6 D7 5 若1:310lxmy 与23(2)31:0mxly 是两条不同的直线，则“1m”是“12ll”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6设等差数列na的前n项和为nS，15385()mSaaa，则m的值为（）A10 B12 C13 D14 7中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁 4 名航天

4、员开展实验，其中天和核心舱安排 2 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）A16 B14 C13 D12 8已知函数()cos(2)(0)f xx是奇函数，当,3 6x 时，()f x的值域为试卷第 3 页，共 6 页（）A33,22 B31,2 C1,12 D3,12 9函数241()xxf xee（e是自然对数的底数）的图象关于（）A点e,0对称 B点(2,0)对称 C直线2x 对称 D直线ex对称 10抛物线2:20C ypx p的焦点为F，A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线l于M，N两点，2 3MNp，则直线AF的斜

5、率为（）A B2 C3 D3 11设5log 15a，7log 21b，252c，则（）Abac Bcab Ccba Dacb 12在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，12ABACAA，P为该三棱柱表面上一动点，若1CPB P，则P点的轨迹长度为（）A3 2 B3 26 C6 2 D6 26 二、填空题 13已知向量1,2AB ，2,5Bt tC，若A、B、C三点共线，则t _ 14如图，圆柱1OO的轴截面是正方形，AB是底面圆的直径，AD是母线，点C是AB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为_ 试卷第 4 页，共 6 页 15已知数列na前n项和22nnnS，记2nanb，若数

6、列na中去掉数列 nb中的项后，余下的项按原来顺序组成数列 nc，则数列 nc的前 50 项和为_ 16过平面内一点P作曲线|ln|yx两条互相垂直的切线1l，2l，切点为1P，2P（1P，2P不重合），设直线1l，2l分别与y轴交于点A，B，则|AB _ 三、解答题 17 中国统计年鉴 2021数据显示，截止到 2020 年底，我国私人汽车拥有量超过 24千万辆下图是 2011 年至 2020 年十年间我国私人汽车拥有量y（单位：千万辆）折线图 （注：年份代码 1-10 分别对应年份 2011-2020）(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)

7、建立y关于t的线性回归方程（系数精确到 0.01），并预测 2022 年我国私人汽车拥有量 参考数据：15.5y，101160.1iiittyy，1021311.4iiyy，102182.5iitt，25550.5159.8，25690.5160.3 参考公式：相关系数12211niiinniiiittyyrttyy，线性回归方程ybta中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1122211nniiiiiinniiiittyyt yntybtttnt，aybt 18在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，满足_ 试卷第 5 页，共 6 页 从sin6aC是b，2c的等差中项，cos

8、sin2BCbaB这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答(1)求A的大小；(2)若AE是ABC的角平分线，且3b，2AE，求ABC的面积 19如图，在矩形ABCD中，22 2ABAD，点M为边AB的中点，以CM为折痕把BCM折起，使点B到达点P的位置，使得3PMB，连结PA，PB，PD (1)证明：平面PMC 平面AMCD；(2)求点M到平面PAD的距离 20已知函数2()sin1,f xxaxaR(1)设函数()()g xfx，若()yg x是区间0,2上的增函数，求a的取值范围；(2)当2a 时，证明函数()f x在区间(0,)上有且仅有一个零点 21已知椭圆2222:10+xyCa

9、bab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，M为椭圆C上一动点，FAM 面积的最大值为3 32(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M的直线:1l ykx与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D点Q为直线OP上一动点，且2OP OQOD，求证：点Q在定直线上 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1212xtyt （t为参数）.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(0)cos2,aaR 试卷第 6 页，共 6 页(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线()4R与直线l交于点M，直线()6R与曲线C交于点

10、,A B，且AMBM，求实数a的值 23已知函数 212f xxx 的最小值为m(1)求m;(2)已知a，b，c为正数，且2abcm，求22)(abc的最小值 答案第 1 页，共 16 页 参考答案：1D【解析】【分析】根据 Venn图，明确阴影部分表示的集合的含义，即可求得答案.【详解】由题意,可知 Venn图中阴影部分表示的集合是()1,0,1UMN ,故选：D 2A【解析】【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出|z.【详解】22224i4i14i,|(1)417iiizz 故选：A 3B【解析】【分析】求出ba的值，利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近

11、线方程为15byxxa ，所以，15ba，因此，该双曲线的离心率为22214cbeaa.故选：B.4B【解析】【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】答案第 2 页，共 16 页 第一次循环，15Z22s 不成立，3 5 116s ，0 1 1i ，1s 不成立；第二次循环，18Z2s 成立，11682s，1 12i ，1s 不成立；第三次循环，14Z2s 成立，则1842s ，2 13i ，1s 不成立；第四次循环，12Z2s 成立，则1422s，3 14i ，1s 不成立；第五次循环，11Z2s 成立，则1212s，4 15i ，1s 成立.跳出循环体，输出5

12、i.故选：B.5C【解析】【分析】由题意解出12ll时m的值后判断【详解】若12ll，则3(3)3(2)mm ，解得1m 或3m 而3m 时，12l l,重合，故舍去 则“1m”是“12ll”的充要条件 故选：C 6C【解析】【分析】利用等差数列通项公式和等差数列的前n项和公式即可求得答案.【详解】设等差数列 na的公差为d，由已知有115115115()15(214)5(3(8)22aaadSamd，解得13m，故选：C 7A【解析】答案第 3 页，共 16 页【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解】从甲，乙，丙，丁 4 名航天员

13、中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有2242=62=12CA种可能，要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有22=2A种可能.所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率21126P.故选：A 8D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出，然后，根据,3 6x ，利用数形结合求出()f x的值域【详解】因为函数()cos(2)(0)f xx是奇函数，可得()cos()cosff，得cos0，又0，得2，得()cos(2)sin22f xxx，,3 6x ，得22,33x ，所以，3(),12f x 故选：D 9C【解析】【分析】根据

14、对称性结合奇偶函数的定义逐一判断即可.【详解】函数244e1()eeexxxxf x 对于 A，e 4ee 4e(e)(e)eeee0 xxxxfxf x ，即图象不关于点e,0对称，答案第 4 页，共 16 页 故 A 错误；对于 B，6262(2)(2)eeee0 xxxxfxf x ，即图象不关于点2,0对称，故 B错误；对于 C，2222(2)ee(2)eexxxxfxf x ，即图象关于直线2x 对称，故 C 正确；对于 D，e 4ee 4e(e)ee(e)ee0 xxxxfxf x ，即图象不关于直线ex对称，故 D 错误；故选：C 10D【解析】【分析】根据题意求出点A坐标，即可

15、求出直线AF的斜率.【详解】由题意可知：FAFMR，设准线与x轴交于H，因为2 3MNp，所以3MHp，且FHp，所以222FFMFHMpAH，设00,A x y，由抛物线定义可知02FApx，所以032px，代入抛物线中得03yp，所以3,32pAp，且,02pF，所以直线AF的斜率为3.故选：D 答案第 5 页，共 16 页 11C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】55553log 15log3 51 log 31 log52a ，77773log 21log7 31 log 31 log72b ，215232222c，因为lg7

16、lg5lg30，所以，11lg5lg7，则lg3lg3lg5lg7，即57log 3log 3，因此，cba.故选：C.12B【解析】【分析】将三棱柱补形为正方体，容易找到 BC的中垂面，因为1CPB P，所以确定点 P在中垂面内，通过几何关系求解中垂面与三棱柱相交的轨迹长度即可.【详解】因为ABAC，12ABACAA，所以可将直三棱柱111ABCABC补形为边长为 2 的正方体1111ABCDABC D，取111111,AB AA AC C D DD DB的中点 E，F，G，H，K，L 按顺序连接.11HGBCM，ELBCN，BCMNO如图所示，答案第 6 页，共 16 页 正方体1111A

17、BCDABC D中11ACAC，111ACB A，1111B AACA，所以1AC 面11B AC，所以11BCAC，因为1GFAC，所以1BCGF.同理可得1BCEF，因为GFEFF，所以1B C 面EFGHKL，其中EFGHKL为正六边形.因为 E，G，H，L为1111,AB AC C D DB的中点，所以 M，N 为1,BC BC的四等分点，根据正方体对称性，知 O为 MN 中点也是 BC中点，因为1CPB P，所以点 P在过点 O垂直于 BC 的平面内，即点 P 在面EFGHKL内.又因为点 P在三棱柱表面上，所以 P点的轨迹为五边形 MNEFG，221162MNBCBB，由正六边形及

18、正方体对称性可知 332NEEFFGMGEF，故点 P 的轨迹长度为326，故选：B【点睛】处理此类问题的关键是熟练掌握立体几何中的点线面垂直平行异面的关系，找到与包含未知点的量和已知量之间的等量关系或不等关系即可.本题把到两点距离问题转化为找中垂面，再通过线面垂直的判定定理即可证明垂面位置，由此确定点 P 的轨迹为五边形，求出长度即可.131 答案第 7 页，共 16 页【解析】【分析】由已知可得/AB BC，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数t的值.【详解】由已知/AB BC，则45tt，解得1t.故答案为：1.1466【解析】【分析】以OA、OC为邻边作平行四边形OAEC，连接DE，可

19、知异面直线AB与CD所成角为DCE，计算出CE、CD的长，即可求得DCE的余弦值.【详解】设圆柱底面半径为r，连接OC，以OA、OC为邻边作平行四边形OAEC，连接DE，则/CE OA且CEOAr，所以，异面直线AB与CD所成角为DCE，C为AB的中点，且AB为圆O的一条直径，所以，2AOC，即OCAB，因为OAOCr，所以，平行四边形OAEC为正方形，AECEr，AD 平面ABC，CE、AE 平面ABC，ADAE，ADCE，则225DEADAEr，CEAE，ADAEA，CE平面ADE，DE 平面ADE，CEDE，226CDCEDEr，答案第 8 页，共 16 页 在RtCDE中，6cos66

20、CErDCECDr.故答案为：66.151478【解析】【分析】根据22nnnS求出na，从而求出nb，根据数列na、nb项的关系得到数列 nc的前 50项并求和即可.【详解】22nnnS，1n 时，111aS，2n时，221(1)122nnnnnnnaSSn，当1n 时也满足上式，nan，*.nN 2nnb，1234562,4,8,16,32,64bbbbbb，nc的前 50 项为数列na的前 55 项中去掉数列 nb的前 5 项后余下的项，数列 nc的前 50 项和为123455555 115406214782bbbbb.故答案为：1478.162【解析】【分析】设1,P m n，0,Aa

21、.2,P s t，0,Bb，利用导数表示出ln1am，ln1bs，即可求出|AB.【详解】设1,P m n，0,Aa.2,P s t，0,Bb，所以|ABab.答案第 9 页，共 16 页 ln,1lnln,01x xyxxx.不妨设1l与ln,1yxx相切于点1P，则有ln10nmnamm，解得：ln1am.同理可求：ln1bs.因为切线1l，2l互相垂直，所以111ms，即1ms.所以|ln1ln1ln22ABabmsms .故答案为：2.【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P xy出的切线：00(,)P xy为切点，直接写出切线方程：000()()yyfxxx；(2)过0

22、0(,)P xy出的切线：00(,)P xy不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标11,x y，再写出切线方程：111()()yyfxxx.17(1)说明见解析(2)1.944.83yt，28.11 千万辆【解析】【分析】（1）根据相关系数公式及相关数据计算可求解；（2）根据题中的数据及公式先求得1.944.83yt，再令12t 代入可求解.(1)由题意得，10110102211160.1160.1160.10.9988160.382.5 311.425690.5iiiiiiittyyrttyy，相关系数0.9988r，说明y与t的线性相关性很高，所以，可以用线性回归模型拟合y与t的关系

23、(2)由5.5t，102182.5iitt，答案第 10 页，共 16 页 所以160.11.9482.5b，因此15.51.945.54.83ayb t，所以1.944.83yt当12t 时，1.94 124.8328.11y 所以 2022 年我国私人汽车拥有量约为28.11千万辆.据此可以预测，2022 年我国私人汽车拥有量将达到 28.11 千万辆 18(1)条件选择见解析，23A(2)9 32【解析】【分析】（1）选：根据等差中项的性质以及正弦定理的边化角公式得出A的大小；选：根据正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出A的大小（2）由ABCBAECAESSS结合三角形面积公式得出6

24、c，再由公式得出ABC的面积 (1)若选：sin6aC是b，2c的等差中项，2 sin26aCbc，即cos3 sin20aCaCbc 由正弦定理得sincos3sinsinsin2sin0ACACBC，即sincos3sinsinsin()2sinACACACC sincos3sinsinsincoscossin2sin0ACACACACC，3sinsincossin2sin0ACACC，注意到sin0C，所以3sincos20AA，即sin16A(0,)A，5666A，62A，即23A 若选；由题设及正弦定理得sincossinsin2BCBAB 0A，sin0B，cossin2BCA 答

25、案第 11 页，共 16 页 ABC，cossin22BCA，可化为sin2sincos222AAA 022A，sin02A，1cos22A，23A，23A(2)AE是ABC的角平分线，3BAECAE ABCBAECAESSS，即111sinsinsin222bcBACc AEBAEb AECAE，即1211sinsinsin232323bcc AEb AE，326cc，6c，12139 3sin3 623222ABCSbc 19(1)证明见解析(2)2 1111【解析】【分析】（1）取CM的中点O，连结BO，PO，根据等腰三角形以及勾股定理证明POCM，POBO，再由面面垂直的判定证明即可；

26、（2）设点M到平面PAD的距离为d，根据等体积法得出P MADMPADVV，从而得出点M到平面PAD的距离(1)证明：3PMB，PMBM，PMB为等边三角形，2PBPMPCBMBC，2CM 取CM的中点O，连结BO，PO，则POCM 又2CBMCPM，112BOPOCM，222BOPOPB，POBO CM，BO 平面AMCD，CMBOO，PO平面AMCD 又PO 平面PMC，平面PMC 平面AMCD 答案第 12 页，共 16 页 (2)由（1）知，PO 平面AMCD，且1PO 连结DO，DM，则DMCM，且2DM，225DODMOM，226PDPOOD 12PMAB，2BPA 226PAAB

27、PB，122112222PADS 设点M到平面PAD的距离为d，则 P MADMPADVV，即1 111122 13 232d，解得2 1111d，点M到平面PAD的距离为2 1111 20(1)2,)(2)证明见及解析【解析】【分析】（1）求导()2cosfxxax令()2cosg xxax，求导，根据函数()g x是区间0,2上的增函数，由()0g x在区间0,2上恒成立求解；（2）求导()22cosfxxx利用导数法证明.(1)解：()2cosfxxax 设()2cosg xxax，则()2sing xax 答案第 13 页，共 16 页 函数()g x是区间0,2上的增函数，()2si

28、n0g xax在区间0,2上恒成立 若0 x，则()20g x恒成立，此时aR；若0,2x，此时0sin1x，()2sin0g xax恒成立，即2sinax 恒成立；2a 综合上：a的取值范围是 2,)(2)当2a 时，2()2sin1,(0,)f xxxx，则()22cosfxxx()fx在区间(0,)上单调递增 320662f，20022f，存在0,6 2x，使得 00fx 当00,xx时，()0fx，()f x单调递减；当0,xx时，()0fx，()f x单调递增 又(0)10f ，2()10f，函数()f x在区间(0,)上有且仅有一个零点 21(1)22143xy(2)证明见解析【解

29、析】【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将 M，N，P，Q，D的坐标用斜率 k 表示出来，(3)按照向量数量积的运算规则即可.(1)答案第 14 页，共 16 页 设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位于椭圆的短轴端点时，FAM 的面积取得最大值，此时1()2FAMSac b，13 3()22ac b，()3 3.ac b 由离心率12ca得2ac，3bc，解得1c，2a，3b，椭圆C的标准方程为22143xy；(2)由题意作下图：设11,M x y，22,N xy由221143ykxxy得2234880kxkx 点(0,1)在这个椭圆内部，所以0，122

30、843kxxk，122843x xk，212122286224343kyyk xxkk，点P的坐标为2243,43 43kkk 当0k 时，直线OP的斜率为34k，直线OP的方程为34yxk，即43kxy，将直线OP的方程代入椭圆方程得22943Dyk，2221643Dkxk，设点4,3kQy y，由 2OP OQOD得22222443169433434343kkkyykkkk，化简得2222169169433 43kkykk，化简得3y，点Q在直线3y 上，当直线l的斜率0k 时，此时(0,1)P，(0,3)D，由2OP OQOD得(0,3)Q，也满足条件，点Q在直线3y 上；答案第 15

31、页，共 16 页 综上，椭圆C的标准方程为22143xy，点Q在直线3y 上.【点睛】本题的难点在于联立方程，把 M，N，P，Q，D点的坐标用 k 表示出来，有一定的计算量，其中由于 OP与椭圆有两个交点，在表示OD 的时候用2OD 表示，可以避免讨论点 D 在那个位置.22(1)cossin2，22xya(2)1【解析】【分析】（1）消去参数t可把参数方程化为普通方程，由公式cossinxy可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2）用极坐标法求出,M A B的极坐标，12AB，再利用直角三角形性质可求得a (1)由1212xtyt （t为参数）得2xy，直线l的极坐标方程为cossin2 由2

32、cos2a得2cos2a，222cossina，2222cossina 22xya，曲线C的直角坐标方程为22xya(2)直线l的极坐标方程为cossin2，将4代入直线l的极坐标方程得2，点M的极坐标为2,4 将6代入曲线C的极坐标方程2cos2a得122,2aa，12|2 2ABa AMBM，且O为线段AB的中点，答案第 16 页，共 16 页 1|22OMABa，即22a，1a 23(1)1(2)6【解析】【分析】（1）去绝对值符号，然后分段求出函数的最值，即可得出答案；（2）由（1）知，22abcm，然后利用基本不等式可得2222()224ababacabccb，再利用基本不等式即可得出答案.(1)解：依题意得，34,2()212,2134,1xxf xxxxxxx ，当2x时，2f x，当21x 时，12f x，当1x 时，1fx，综上当1x 时，()f x取得最小值 1，即()f x的最小值1m；(2)由（1）知，22abcm，222()4abcabc（当且仅当ab时等号成立），22223334223(2)(2)3 4()3 4 26abcababcabab cabc，当且仅当22abc，即1ab，2c 时等号成立，22()abc的最小值为 6