广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题解析版.pdf

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1、试卷第 1 页，共 6 页 广东省潮州市 2022 届高三下学期二模数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单

2、项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合1Ax x 或2x，则 RA（）A12xx B12xx C12xx D1Ax x 或2x 2复数2i 1 2iz（其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A5,0 B0,5 C4,5 D4,5 3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出 2 粒恰好是不同色的概率是（）A17 B1235 C1735 D1835 4已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为36，则该圆柱的体积为（）A16 B27

3、C36 D54 5若点 P 是双曲线22114:12xyC上一点，1F，2F分别为1C的左、右焦点，则“25PF”是“19PF”的（）试卷第 2 页，共 6 页 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为3,4B，若将军从点2,0A 处出发，河岸线所在直线方程为yx，则“将军饮马”的最短总路程为（）A5 B3 5 C45 D5

4、 3 7已知ABC是边长为 3 的等边三角形，三棱锥PABC全部顶点都在表面积为16的球 O的球面上，则三棱锥PABC的体积的最大值为（）A3 B332 C9 34 D32 8已知函数,0()ln2,0 xexf xx x，若函数()()F xf xa的两个零点分别在区间(1,0)和1,12内，则实数a的取值范围为（）A1,ln2e B0,1 Cln2,1 D1,1e 二、多选题 9某旅游景点 2021 年 1 月至 9 月每月最低气温与最高气温（单位：）的折线图如图，则（）试卷第 3 页，共 6 页 A1 月到 9 月中，最高气温与最低气温相差最大的是 4 月 B1 月到 9 月的最高气温与

5、月份具有比较好的线性相关关系 C1 月到 9 月的最高气温与最低气温的差逐步减小 D1 月到 9 月的最低气温的极差比最高气温的极差大 10已知函数 sin1f xx，则下列说法正确的是（）A函数 f x的最小正周期为 B点,1M是 f x图像的一个对称中心 C f x的图像关于直线2x 对称 D f x在区间,02单调递减 11已知幂函数 fx的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）A函数 fx的定义域为R B函数 fx为非奇非偶函数 C过点10,2P且与 fx图象相切的直线方程为1122yx D若210 xx，则 121222fxfxxxf 12已如斜率为 k的直线 l经过抛物线24yx

6、的焦点且与此抛物线交于11,A x y，22,B xy两点，8AB，直线 l与抛物线24yx交于 M，N 两点，且 M，N两点在y 轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（）试卷第 4 页，共 6 页 A12y y为定值 B12yy为定值 Ck 的取值范围为,11,4 D存在实数 k 使得21313MNk 三、填空题 13记nS为等比数列 na的前 n项和若11a，334S，则4a _ 14已知2x，1sincos5xx，则sincosxx_ 15设4432432102xa xa xa xa xa，则0124aaaa_ 16设函数 2464xxxfx，点,nA n f nnN在 fx图象

7、上，点0A为坐标原点，设向量1,0i，若向量01121nnnaA AA AAA，且n是na与i的夹角，则tann的最大值是_ 四、解答题 17已知数列 na的前 n 项和为nS，且1nnSa (1)求数列 na的通项公式；(2)设2211loglognnnbaa，求数列 nb的前 n项和nT 18已知在ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，2 coscbB，23C (1)求角 B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出 BC边上的中线的长度 ABC的面积为3 34；ABC的周长为42 3 19如图，平面ABCDE 平面 CEFG，四边形 CEFG 中，FGEC，CGEC

8、，点E 在正方形 ACDE的外部，且5ABBC，4AC，CGCE，2FG 试卷第 5 页，共 6 页 (1)证明：ADEF；(2)求二面角BFGE的余弦值 20我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为 30的概率为p，收益率为10的概率为1p；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为 30的概率为 0.4，收益率为20的概率为 0.1，收益率为零的概率为 0.5(1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；(2)若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4 年累计

9、投资数据如下表：年份 x 2018 2019 2020 2021 1 2 3 4 累计投资金额 y（单位：亿元）2 3 5 6 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于的线性回归方程yba，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到 0.75 亿元 附：收益投入的资金获利的期望；线性回归ybxa中，1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx 21设椭圆221222:1(0),xyCabF Fab为左右焦点,B为短轴端点,长轴长为 4,焦距为2c,试卷第 6 页，共 6 页 且bc,12BF F的面积为3.()求椭圆C的方程()设动

10、直线:l ykxm椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线4x 相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标,若不存在.请说明理由.22已知函数 1ln2a xfxxx，aR(1)若函数 fx在区间0,1内单调递增，求实数 a的取值范围；(2)若12,t t R，且12tt，求证：1212121eee2etttttt 答案第 1 页，共 16 页 参考答案：1B【解析】【分析】利用补集的概念求解 RA.【详解】因为1Ax x 或2x，所以 RA 12xx，故选：B 2B【解析】【分析】化简5zi，即得解.【详解】解：由题得22i 1 2ii5i

11、42iz，所以复数z在复平面内对应的点的坐标是0,5.故选：B 3D【解析】【分析】由取出 2 粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，根据对立事件的概率公式求解即可,【详解】围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出 2 粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，由对立事件概率计算公式得：从中任意取出 2 粒恰好是不同色的概率是：11218173535P .故选：D.【点睛】答案第 2 页，共 16 页 本题主要考查对立事件的概率公式，属于基础题.4D【解析】【分析】设圆柱底面半径为 R，高为 h，由题意列方程组求出 R、h，即可求出圆柱的体积.【详解】设圆柱底面半径为 R，高为

12、 h，设2236hRRh，解得36Rh，圆柱的体积为254VR h 故选：D 5A【解析】【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案.【详解】由题意可知，2a，4124c，12PFca，若25PF，则154PF，19PF 或 1（舍去），若19PF，294PF，25PF 或 13，故“25PF”是“19PF”的充分不必要条件 故选：A 6B【解析】【分析】先求出点2,0A 关于直线yx的对称点A，则线段AB的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】因为点2,0A 关于直线yx的对称点为0,2A，答案第 3 页，共 16 页 所以AB即为“将军饮马”的最短总路程，

13、则“将军饮马”的最短总路程为9363 5A B 故选：B 7C【解析】【分析】求出球心到底面 ABC 的距离和球的半径，从而确定三棱锥PABC的高的最大值为 3，利用椎体体积公式求出体积的最大值.【详解】球 O 的半径为 R，则2416R，解得：2R，由已知可得：239 3344ABCS，其中233AEAD 球心 O到平面 ABC的距离为2231R，故三棱锥PABC的高的最大值为 3，体积最大值为19 3334ABCS 故选：C 8A【解析】先作出,0()ln2,0 xexf xx x的图像，令()f xa，利用数形结合法求解即可【详解】答案第 4 页，共 16 页 先作出,0()ln2,0

14、xexf xx x的图像，令()f xa，在区间(1,0)内时，xea，lnxa，得到1ln0a，所以，11ae；在区间1,12内时，ln 2xa，2aex，得到1122ae，解得12ae，所以，0ln2a；综上，得a1,ln2e 故选A【点睛】解题的关键在于先作出,0()ln2,0 xexf xx x的图像，并令()f xa，然后，分段讨论出a的范围，属于中档题 9BD【解析】【分析】由该旅游景点 2019 年 1 月至 9 月每月最低气温与最高气温的折线图逐项观察出选项可得答案.【详解】1 月到 9 月中，最高气温与最低气温相差最大的是 1 月，故 A 选项错误；1 月到 9 月的最高气温

15、与月份具有比较好的线性相关关系，故 B 选项正确；答案第 5 页，共 16 页 最高气温与最低气温的差不稳定，故 C 选项错误；最低气温的极差超过 35，最高气温的极差约为 25，故 D 选项正确 故选：BD 10ACD【解析】【分析】直接作出 f x的图像，利用图像法对四个选项一一判断.【详解】由sinyx的图像得到 f x的图像如图所示：可以得到：数 f x的最小正周期为.故 A 正确；函数图像不是中心对称图形，故 B 错误；f x的图像关于直线2x 对称.故 C 正确；f x在区间,02单调递减.故 D 正确.故选：ACD 11BC【解析】【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出

16、函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项 A错误、选项 B 正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P求出切线方程，进而判定选项 C 正确；平方作差比较大小，进而判定选项 D 错误.【详解】设 f xx，将点4,2代入 f xx，答案第 6 页，共 16 页 得24，则12，即12()f xx，对于 A：fx的定义域为0,，即选项 A 错误；对于 B：因为 fx的定义域为0,，所以 fx不具有奇偶性，即选项 B 正确；对于 C：因为12()f xx，所以 12fxx，设切点坐标为00,xx，则切线斜率为 0012kfxx，切线方程为0001()2yxxxx，又因为切线过点1(0,)2P，所以0

17、0011(0)22xxx，解得01x，即切线方程为11(x 1)2y，即1122yx，即选项 C 正确；对于 D：当120 xx时，212122212122222f xf xxxxxxxf 21212121212122204244xxxxx xx xxxxx，即 1212()22fxfxxxf成立，即选项 D 错误 故选：BC 12ACD【解析】【分析】设 l的方程为10yk xk，联立241yxyk x，整理得2440kyyk，根据根与系数的关系可判断 A、B 选项 答案第 7 页，共 16 页 由弦长公式122448ABxxpk，得21k，再联立214yk xyx，M，N两点在 y轴的两侧

18、，求得4k，由此判断 C 设33,M x y，44,N xy，由弦长公式得221416MNkkk，继而由已知得241613kk，求解即可判断 D 选项【详解】解：由题意可设 l的方程为10yk xk，联立241yxyk x，得2440kyyk，则1244ky yk 为定值，故 A 正确 又124yyk，故 B 不正确 12122422yyxxkk，则122448ABxxpk，即21k，联立214yk xyx，得240 xkxk，M，N 两点在 y 轴的两侧，22444160kkkk，且40k，4k 由21k 及4k 可得1k 或14k，故 k的取值范围为,11,4，故 C 正确 设33,M x

19、 y，44,N xy，则34xxk，344x xk，则22223434141416MNkxxx xkkk 假设存在实数 k，则由21313MNk，得241613kk，解得1k 或 3，故存在3k 满足题意D 正确 故选：ACD 1318【解析】【分析】由已知223111314Saa qa qqq 解出公比，根据通项公式即可求解4a 答案第 8 页，共 16 页【详解】设等比数列的公比为 q，由已知223111314Saa qa qqq，即2104qq，解得12q ，所以3411128a 故答案为：18 1475#1.4#215【解析】【分析】先对1sincos5xx两边平方得到242sinco

20、s25xx ，从而求出249sincos25xx，结合2x，求出sincosxx.【详解】21sincos12sincos25xxxx，得242sincos25xx ，249sincos1 2sincos25xxxx，因为2x，所以sincosxx，故7sincos5xx 故答案为：75 159【解析】【分析】令1x，可求得432101aaaaa，再根据二项式定理可求出3a的值，进而求出结果.【详解】在4432432102xa xa xa xa xa中，令1x 得，432101aaaaa，13428aC，所以，0124189aaaa 答案第 9 页，共 16 页 故答案为：9.16116【解析

21、】【分析】先利用平面向量的线性运算化简na，再利用直线的斜率公式求出tann的表达式，再利用基本不等式求其最值.【详解】由向量的线性运算，得 011210nnnnaA AA AAAA A，因为点2,464nnnnAn在函数 2464xxxfx的图象上，0A为坐标原点，向量1,0i，n是na与i的夹角，所以0202464tan0464nnnnnA Annkn 11164162 6422nn，（当且仅当6422nn，即3n时取等号），即tann的最大值是116 故答案为：116.17(1)12nna；(2)1nnTn.【解析】【分析】（1）当2n时，1nnSa（1），111nnSa（2），（1）（

22、2）即得解；（2）由（1）得111nbnn，再利用裂项相消法求和得解.答案第 10 页，共 16 页(1)解：当1n 时，111Sa，所以112a，当2n时，1nnSa（1），111nnSa（2），由（1）（2）得1nnnaaa，即1122nnana，所以 na是首项12，公比为12的等比数列，故12nna(2)解：由（1）得12211111111loglog22nnnbn nnn，所以111122111111131nnTnnnn.18(1)6B (2)答案见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin2sincosCBB，再由23C 和B的范围可得答案；（2）选择（1），由（1）可得ab，

23、则1sin2ABCSabC解得a，则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：选择（2）：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得c，则周长23abcRR解得R，由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度(1)2 coscbB，则由正弦定理可得sin2sincosCBB，23sin 2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B (2)若选择（1），由（1）可得6A，即ab 答案第 11 页，共 16 页 则21133 3sin2224ABCSabCa，解得3a，则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb 若选

24、择（2）：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得2 sin6abRR，22 sin33cRR，则周长2342 3abcRR，解得2R，则2a，2 3c，由余弦定理可得 BC边上的中线的长度为：222 312 2 3 1 cos76 19(1)证明见解析；(2)8 7373.【解析】【分析】（1）证明AD 平面 CEFG，即得证；（2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，再利用向量法求解.(1)证明：正方形 ACDE中，ADCE，平面CEFG 平面 ABCDE，交线为 CE，所以AD 平面 CEFG，又EF 平面 CEFG，所以ADEF(2)解：以

25、C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，答案第 12 页，共 16 页 因为5ABBC，4AC，所以点 B 到 AC的距离为 1，4 2CECG，则0,0,4 2G，2,2,4 2F，2,1,0B，0,4,0D，4,0,0A，所以2,2,0GF，2,1,4 2BG 设平面 BFG 的法向量为,nx y z，则0n GFn BG，即22024 20 xyxyz，令4 2x，得4 2,4 2,3n4,4,0DA为平面 CEFG的一个法向量，所以16 216 28 73cos,7373 4 2n DA，故二面角BFGE的余弦值为8 7373 20(1)该风投公司投资光刻胶项目；(2)1

26、.40.5y；2022 年年末【解析】【分析】（1）设投资光刻机项目和光刻胶项目的年收益分别为1和2，分别列出1和2的分布列，计算出数学期望，使期望值相等求解出p的值，再计算方差即可比较；（2）根据题目所给公式先计算回归系数b和 a，写出回归直线方程，列出收益的表达式，使收益大于或等于0.75亿元，求解x的取值范围(1)若投资光刻机项目，设收益率为1，则1的分布列为 1 0.3 0.1 P p 1p 所以 10.30.110.40.1Eppp 若投资光刻胶项目，设收益率为2，则2的分布列为 2 0.3 0.2 0 P 0.4 0.1 0.5 答案第 13 页，共 16 页 所以 20.3 0.

27、40.20.1 0 0.50.1E 因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以0.40.10.1p，所以12p 因为 221110.30.10.10.10.0422D，22220.30.10.40.20.10.100.10.50.03D，所以 12EE，12DD，这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥 综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目(2)1 2342.54，235644y，411 22 33 54 647iiiy ，4222221123430ii，则41422214474 2.5 41.4304 2.54iiiiiyyb ，4 1.42.50.5 ayb，故线性回

28、归方程为1.40.5y 设该公司在芯片领域的投资收益为 Y，则0.1 1.40.50.75Y，解得5，故在 2022 年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过 0.75 亿元 21（1）22143xy（2）存在定点 P(1,0)【解析】【分析】（）由椭圆长轴长为 4，焦距为 2c，且 bc，BF1F2的面积为3，列方程组，求出a，b，c，得椭圆方程（）将直线 l 方程与椭圆方程联立，由直线与椭圆有且只有一个公共点，求出 M，由4xykxm，得 N（4，4k+m）假设存在定点 P满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x轴上设 P（x1，0），由0PMPN，得（4x14）km+x124x1+

29、3答案第 14 页，共 16 页 0，由此可求出满足条件的定点.【详解】(1)由题意知222241232ac babc，解得：231abc，故椭圆 C 的方程是22143xy (2)由22143ykxmxy得(4k23)x28kmx4m2120 因为动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M(x0，y0)，所以 m0 且 0，即 64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得 4k2m230.(*)此时 x02443kmk 4km，y0kx0m3m，所以 M(43,?)kmm 由4xykxm得 N(4,4km)假设平面内存在定点 P 满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x 轴上 设

30、 P(x1,0)，则0PM PN对满足(*)式的 m、k 恒成立 因为PM(143,?)kxmm，PN(4x1,4km)，由0PM PN，得-16km14kxm4x1x 12km30，整理，得(4x14)kmx 4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的 m，k 恒成立，所以121144430 xxx解得 x11.故存在定点 P(1,0)，使得以 MN 为直径的圆恒过点 M.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 22(1),3(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件将问题转化为434axx

31、在0,1上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出答案第 15 页，共 16 页 a的范围；（2）根据条件将问题转化为1121221ln2xxxxxx成立问题,令12(0,1)xtx，即1ln02ttt成立，再利用函数的单调性证明即可.(1)解：因为 1ln2a xfxxx的定义域为(0,)，所以 2224341322xa xafxxxx x，若函数 fx在区间0,1递增，则24340 xa x在0,1上恒成立，即434axx在0,1上恒成立，则只需min43(4)axx，令4()4g xxx，则 222241xxgxxx，当(0,1x时，0gx，()g x单调递减，即4()4g xxx在1x 时

32、取得最小值 9，所以min43(4)9axx，所以 a 的取值范围为,3(2)解：令11etx，22etx，则11lntx，22lntx 由12,t t R，且12tt，得120 xx，所以120 xx，1201xx，所以要证1212121eee2etttttt成立，答案第 16 页，共 16 页 只需证121212lnln12xxxxxx，即112212ln2xxxxxx，即1121221ln2xxxxxx成立即可，令120,1xtx，则需证1ln02ttt，由（1）可知1a 时，函数 fx在0,1单调递增，所以 10f xf，所以1ln02ttt成立，所以121212lnln12xxxxxx【思路点睛】1、一般地，若 fx在区间,a b上可导，且 0(0)fxfx，则 fx在,a b上为单调增（减）函数；反之，若 fx在区间,a b上可导且为单调增（减）函数，则 00fxfx恒成立 2、对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.