2023届天津市第二十五高三第三次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知向量(1,2)a，(4,1)b，且ab，则（）A12 B14 C1 D2

2、2下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A12 B13 C41 D42 3已知函数()sin()(0,)2f xx 的最小正周期为,f x的图象向左平移6个单位长度后关于y轴对称，则()6f x的单调递增区间为()A5,36kkkZ B,36kkkZ C5,1212kkkZ D,63kkkZ 4若实数,x y满足不等式组121210 xyxyxy ，则234xy的最大值为（）A1 B2 C3 D2 5对于正在培育的一颗种子，它可能 1 天后发芽，也可能 2 天后发芽，.下表是 20

3、颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 A2 B3 C3.5 D4 6要得到函数1cos2yx的图象，只需将函数1sin 223yx的图象上所有点的（）A横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3个单位长度 B横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6个单位长度 C横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位长度 D横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移3个单位长度 7历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻

4、求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加华理斯在 1655 年求出一个公式：22446621 3 3 5 57 ，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的2.8T，若判断框内填入的条件为?km，则正整数m的最小值是 A2 B3 C4 D5 8已知向量(,4)am，(,1)bm（其中m为实数），则“2m”是“ab”的（）A充分

5、不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知复数11zai aR，212zi（i为虚数单位），若12zz为纯虚数，则a（）A2 B2 C12 D12 10已知曲线cos(2)|2Cyx：的一条对称轴方程为3x，曲线C向左平移(0)个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标为,04，则的最小值是（）A6 B4 C3 D12 11数列na满足：3111,25nnnnaaaa a，则数列1nna a前10项的和为 A1021 B2021 C919 D1819 12若 是第二象限角且sin=1213，则tan()4=A177 B717 C177 D717 二、填空题：本题共

6、4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在长方体1111ABCDABC D中，1AB，2AD，11AA，E为BC的中点，则点A到平面1ADE的距离是_.14若函数()sin2cos2f xxx在0,2m和3,m上均单调递增，则实数m的取值范围为_ 15已知单位向量,a b的夹角为23,则|2|ab=_.16已知3cos24sin()4，(4，)，则sin2_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：22221xyab(ab0)的离心率为12且经过点(1，32)，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，

7、过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D，E 两点（其中 D 在 x 轴上方）（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 AEF 与 BDF 的面积之比为 1：7，求直线 l 的方程 18（12 分）已知三棱锥 P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为边长等于2的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥 P-ABC 中：（1）证明：平面PAC 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求直线 MA 与平面 MBC 所成角的正弦值.19（12 分）如图，平面四边形ABCD中，/,90,120BCADADCABC，

8、E是AD上的一点，2,ABBCDE F是EC的中点，以EC为折痕把EDC折起，使点D到达点P的位置，且PCBF.（1）证明：平面PEC 平面ABCE；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.20（12 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：2sin2 cos0aa.过点2,4P 的直线l：222242xtyt （t为参数）与曲线C相交于M，N两点.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若MNPNPMMN，求实数a的值.21（12 分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各地纷纷驰

9、援.截至 1 月 30 日 12 时，湖北省累计接收捐赠物资 615.43 万件，包括医用防护服 2.6 万套 N95 口軍 47.9 万个，医用一次性口罩 172.87 万个，护目镜 3.93 万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车，6 辆载重为 10t 的 B 型卡车，10 名驾驶员，要求此运输队每天至少运送 720t 物资.已知每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车 16 次，B 型卡车 12 次；每辆卡车每天往返的成本：A 型卡车 240 元，B 型卡车 378 元.求每天派出 A 型卡车与 B 型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？22

10、（10 分）已知数列na的前n项和为nS，且满足21(*)nnSanN（）求数列na的通项公式；（）证明：21143nkka 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于向量(1,2)a，(4,1)b，且ab，所以 1 4210 解得12.故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.2C【解析】令圆的半径为 1，则2241SPS，故选 C 3D【解析】先由函数()sin()f xx的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数()

11、sin()f xx的解析式，从而得出()6f x的解析式，再根据正弦函数()sinf xx的单调递增区间得出函数()6f x的单调递增区间，可得选项.【详解】因为函数()sin()(0,)2f xx 的最小正周期是，所以2，即2，所以()sin 2f xx，()sin 2f xx的图象向左平移6个单位长度后得到的函数解析式为sin 2+sin 2+63yxx，由于其图象关于y轴对称，所以+2,32kkZ，又2，所以6，所以()sin 26f xx，所以sin 2(+)6sin 2666xfxx，因为()sinf xx的递增区间是：2,222kk，kZ，由+222262kxk，kZ，得：63kx

12、k，kZ，所以函数()6f x的单调递增区间为,63kk（kZ）.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.4C【解析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l，平移该直线可得最优解【详解】作出可行域，如图由射线AB，线段AC，射线CD围成的阴影部分（含边界），作直线:2340lxy，平移直线l，当l过点(1,1)C时，234zxy取得最大值 1 故选：C 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形 5C【解析】根据表中数据，即可容易求得中位数.【详解】由图表可知，

13、种子发芽天数的中位数为343.52，故选：C.【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.6C【解析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.【详解】为得到11sin222ycosxx，将1sin 223yx横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），故可得1sin23yx；再将1sin23yx 向左平移6个单位长度，故可得111sinsin236222yxxcosx.故选：C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.7B【解析】初始：1k，2T，第一次循环：22822.8133T，2k，继续循环；第二次循环：8441282.833545T，3k，此时2.8T

14、，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是3?k，所以正整数m的最小值是 3，故选 B 8A【解析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由2m，则(2,4)(2,1)440a b ，所以ab；而 当ab，则2(,4)(,1)40abmmm ，解得2m 或2m .所以“2m”是“ab”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.9C【解析】把1211 2zai aRzi ，代入12zz，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0

15、 求解即可【详解】1211 2zai aRzi ，121(1)(1 2)1 221 2(1 2)(1 2)55zaiaiiaaiziii，12zz为纯虚数，1 2020aa，解得12a 故选 C【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题 10C【解析】cos(2)yx在对称轴处取得最值有2cos()13，结合|2，可得3，易得曲线E的解析式为cos 223yx，结合其对称中心为04可得()26kkZ即可得到的最小值.【详解】直线3x是曲线C的一条对称轴.2()3kk Z，又|2.3.平移后曲线E为cos 223yx.曲线E的一个对称中心为04.22()432kkZ.(

16、)26kkZ，注意到0 故的最小值为3.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.11A【解析】分析：通过对 anan+1=2anan+1变形可知1112nnaa，进而可知121nan，利用裂项相消法求和即可 详解：112nnnnaaa a，1112nnaa，又31a=5，3112 n32n1naa，即121nan，111111222121nnnna aaann，数列1nna a前10项的和为1111111110112335192122121，故选 A 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很

17、难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)11 11n nkknnk；（2）1nkn 1nknk；（3）111121 212 2121nnnn；（4）11122n nn 11112n nnn；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12B【解析】由 是第二象限角且 sin=1213知：25cos1 sin13 ，5t n1a2 所以tantan 457tan()41tantan 4517 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1363【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，11

18、112 1 1=323AADEV ，221115,2,3ADDEEAA AAE，所以22211A DDEA E，所以1DEAE，11623=22A DES 设点A到平面1ADE的距离为h 1161=323A A DEVh，解得6=3h 故答案为：63【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.145,244 【解析】化简函数，求出 f x在0,上的单调递增区间，然后根据 f x在0,2m和3,m上均单调递增，列出不等式求解即可【详解】由()sin2cos22sin(2)4f xxxx知，当0,x时，f x在0,8和5,8上单调递增，f x在

19、0,2m和3,m上均单调递增，28538mm，5244m，m的取值范围为：5,24 4 故答案为：5,24 4 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于 m 的方程组，属中档题 157【解析】因为单位向量,a b的夹角为23，所以21|cos32 a bab，所以|2|ab=2214414()42 aa bb=7.1619【解析】先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得2 2sincos3，平方可得sin2.【详解】3cos24sin()4，3(cossin)(cossin)2 2(cossin)，则2 2sincos3，平方可得1sin29 故答案为：19

20、.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）22143xy（2）3344yx【解析】（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.（2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.【详解】解：（1）设焦距为 2c，由题意知：22222191412abbacca；解得22431abc，所以椭圆的方程为22143xy.（2）由（1）知：F(1，0)，设 l：1xmy，D(1x，1y)，E(2x，2y)，2y01y 1112221()372=713()

21、()2BDFAEFac ySyyySyacy，22221(34)6903412xmymymyxy，2144(1)0m，122634myym；122934y ym；由得：2292(34)mym，1221002(34)mymm，代入得：222221899164(34)349mmmm，又0m，故43m，因此，直线 l 的方程为3344yx【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18（1）见解析（2）2 2211【解析】(1)设AC的中点为O,连接,BO PO.由展开图可知2PAP

22、BPC,1PO，1AOBOCO.O为AC的中点,则有POAC,根据勾股定理可证得POOB,则PO平面ABC,即可证得平面PAC 平面ABC(2)由线面成角的定义可知BMO是直线BM与平面PAC所成的角，且1tanBOBMOOMOM,BMO最大即为OM最短时,即M是PA的中点 建立空间直角坐标系,求出AM与平面MBC的法向量m利用公式|sin|AM mAMm即可求得结果.【详解】（1）设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO 由题意，得2PAPBPC，1PO，1AOBOCO 在PAC中，PAPC，O 为 AC 的中点，POAC，在POB中，1PO，1OB，2PB，222POOBPB，POOB A

23、COBO，,AC OB 平面，PO平面 ABC，PO 平面 PAC，平面PAC 平面 ABC （2）由（1）知，BOPO，BOAC，BO 平面 PAC，BMO是直线 BM 与平面 PAC 所成的角，且1tanBOBMOOMOM，当 OM 最短时，即 M 是 PA 的中点时，BMO最大 由PO平面 ABC，OBAC，POOB，POOC，于是以 OC，OB，OD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，则(0,0,0),O(1,0,0),C(0,1,0),B(1,0,0),A(0,0,1),P11,0,22M，(1,1,0),BC(1,0,1),PC 31,0,22MC11

24、,0,22AM，设平面 MBC 的法向量为111,mxyz，直线 MA 与平面 MBC 所成角为，则由00m BCm MC得：1111030 xyxz.令11x，得11y，13z，即(1,1,3)m.则|22 22sin11|1112AM mAMm.直线 MA 与平面 MBC 所成角的正弦值为2 2211.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.19（1）见解析；（2）55【解析】（1）要证平面PEC 平面ABCE，只需证BF 平面PEC，而PCBF，所以只需证BFEC，而由已知的数据可证得BCE为等边三角形，又由于F是EC的中点，所以

25、BFEC，从而可证得结论；（2）由于在Rt PEC中，122PEDEPFECa，而平面PEC 平面ABCE，所以点P在平面ABCE的投影恰好为EF的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】（1）由/,90,2BCADADCABBCDE，所以平面四边形ABCD为直角梯形，设24ABBCDEa，因为120ABC.所以在RtCDE中，32 3,4,tan3DECDa ECaECDCD，则30ECD，又90ADCBCD，所以60BCE，由4ECBCABa，所以BCE为等边三角形，又F是EC的中点，所以BFEC，又,BFPC EC PC平面,PEC ECPCC，则有BF 平面PEC，

26、而BF 平面ABCE，故平面PEC 平面ABCE.（2）解法一：在Rt PEC中，122PEDEPFECa，取EF中点O，所以POEF，由（1）可知平面PEC 平面ABCE，平面PEC平面ABCEEC，所以PO平面ABCE，以O为坐标原点，OC方向为y轴方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,3),(2 3,3,0),(2 3,0),(0,3,0)PaAaaBa aCa，(2 3,3,3),(2 3,3),(0,3,3)PAaaaPBa aaPCaa，设平面PAB的法向量(,)mx y z，由0,0m PAm PB得2 3330,2 330,axayazaxayaz取1x，则(1,0,

27、2)m 设直线PC与平面PAB所成角大小为，则22222 35sin512(3)(3)m PCam PCaa，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为55.解法二：在Rt PEC中，122PEDEPFECa，取EF中点O，所以POEF，由（1）可知平面PEC 平面ABCE，平面PEC平面ABCEEC，所以PO平面ABCE，过O作OHAB于H，连PH，则由PO平面,ABCE AB 平面ABCE，所以ABPO，又ABOHPOOHO，则AB 平面POH，又PH 平面POH所以ABPH，在Rt POH中，3,2 3POa OHBFa，所以15PHa，设C到平面PAB的距离为d，由C PABP ABCVV

28、，即1133PABBECSdSOP，即111141542 333232aadaaa，可得615da，设直线PC与平面PAB所成角大小为，则6515sin52 3adPCa.故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为55.【点睛】此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.20（1）220yax a，20 xy；（2）1a.【解析】（1）将cos,sinxy代入2sin2 cosa求解，由222242xtyt （t为参数）消去t即可.（2）将222242xtyt （t为参数）与22yax联立得22 2 48 40ta ta，设M，N两点对应的参数为1t，

29、2t，则122 2 4tta，1 28 4t ta，再根据MNPNPMMN，即2MNPM PN，利用韦达定理求解.【详解】（1）把cossinxy代入2sin2 cosa，得220yax a，由222242xtyt （t为参数），消去t得20 xy，曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是220yax a，20 xy.（2）将222242xtyt （t为参数）代入22yax得22 2 48 40ta ta，设M，N两点对应的参数为1t，2t，则122 2 4tta，1 28 4t ta，由MNPNPMMN得2MNPM PN，所以2121 2ttt t，即2121 25ttt t，所以28

30、45 8 4aa，而0a，解得1a.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21每天派出 A 型卡车8辆，派出 B 型卡车0辆，运输队所花成本最低【解析】设每天派出 A 型卡车x辆，则派出 B 型卡车y辆，由题意列出约束条件，作出可行域，求出使目标函数取最小值的整数解，即可得解.【详解】设每天派出 A 型卡车x辆，则派出 B 型卡车y辆，运输队所花成本为z元，由题意可知，861016 612 10720,xyxyxyx yN，整理得86104530,xyxyxyx yN，目标函数240378zxy，如图所示，为不等式

31、组表示的可行域，由图可知，当直线240378zxy经过点A时，z最小，解方程组45300 xyy，解得7.50 xy，7.5,0A，然而,x yN，故点7.5,0A不是最优解.因此在可行域的整点中，点8,0使得z取最小值，即min240 8378 01920z，故每天派出 A 型卡车8辆，派出 B 型卡车0辆，运输队所花成本最低.【点睛】本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题，考查了数形结合的思想，解题关键在于列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，同时注意整点的选取，属于中档题.22（）12nna，*nN（）见解析【解析】（1）由11,1,2nnnS naSSn，分1

32、n 和2n 两种情况，即可求得数列 na的通项公式；（2）由题，得121 211111()(2)44nnnna，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.【详解】（）解：由题，得 当1n 时，11121aSa，得11a；当2n时，112121nnnnnaSSaa，整理，得12nnaa 数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，111 22nnna，nN；（）证明：由（）知，121 211111()(2)44nnnna，故22221121111nkknaaaa 1211111()()()444n 11()4114n 4414()3343n 故得证 【点睛】本题主要考查根据,nnaS的关系式求通项公式以及利用等比数列的前 n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.