2023年江苏省无锡市玉祁初级中考数学最后一模试卷含解析及点睛.pdf

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1、2023 中考数学模拟试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1关于 x 的一元二次方程 x24x+k=0 有两个相等的实数根,则 k 的值是（）A2 B2 C4 D4 2如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得

2、到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b应满足的条件是（）A2ab B2ab C2ab D2ab 3下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4下列运算正确的是（）A（a2）3=a5 B23aaa C（3ab）2=6a2b2 Da6a3=a2 5如图，已知O 的半径为 5，AB 是O 的弦，AB=8，Q 为 AB 中点，P 是圆上的一点（不与 A、B 重合），连接PQ，则 PQ 的最小值为（）A1 B2 C3 D8 6下列实数 0，23，3，其中，无理数共有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7关于 x

3、的方程=无解，则 k 的值为（）A0 或 B1 C2 D3 8如图，ABCD，FEDB，垂足为 E，1=60，则2 的度数是（）A60 B50 C40 D30 9如图，四边形 ABCD 内接于O，ADBC，BD 平分ABC，A130，则BDC 的度数为（）A100 B105 C110 D115 10一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，那么估计盒子中小球的个数 n 为（）A20 B24 C28 D30 二、填空题（本大题共 6 个小题

4、，每小题 3 分，共 18 分）11已知：正方形 ABCD 求作：正方形 ABCD 的外接圆 作法：如图，（1）分别连接 AC，BD，交于点 O；（2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作O，O 即为所求作的圆 请回答：该作图的依据是_ 12如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形 ABCD，DCAB，测得迎水坡的坡角=30，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部 DC 宽为 2m，坝高为 6m，则坝底 AB 的长为_m 13因式分解：x23x+（x3）=_ 14不等式组51232 4xxxx 的解集是_ 15如图，在 ABC 中，AB=AC，BE、AD 分别是边 AC、BC 上的高，CD=2，AC

5、=6，那么 CE=_ 16关于 x 的一元二次方程2210axx 有实数根，则 a 的取值范围是 _.三、解答题（共 8 题，共 72 分）17（8 分）如图，在 ABC 中，C=90，以 AB 上一点 O 为圆心，OA 长为半径的圆恰好与 BC 相切于点 D，分别交 AC，AB 于点 E，F（1）若B=30，求证：以 A，O，D，E 为顶点的四边形是菱形；（2）填空：若 AC=6，AB=10，连接 AD，则O 的半径为 ，AD 的长为 18（8 分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图 1），完全开启后，把手 AM 的仰角=37，此时把手端点A、出水口 B 和点落水点 C 在同一直线上

6、，洗手盆及水龙头的相关数据如图 2.（参考数据：sin37=35，cos37=45，tan37=34）(1)求把手端点 A 到 BD 的距离；(2)求 CH 的长.19（8 分）已知：如图，梯形 ABCD，DCAB，对角线 AC 平分BCD，点 E 在边 CB 的延长线上，EAAC，垂足为点 A（1）求证：B 是 EC 的中点；（2）分别延长 CD、EA 相交于点 F，若 AC2=DCEC，求证：AD：AF=AC：FC 20（8 分）综合与探究：如图 1，抛物线 y=33x2+233x+3与 x 轴分别交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于 C 点经过点 A 的直线 l

7、 与 y 轴交于点 D（0，3）（1）求 A、B 两点的坐标及直线 l 的表达式；（2）如图 2，直线 l 从图中的位置出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动，运动中直线 l 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，点 A 关于直线 l 的对称点为 A，连接 FA、BA，设直线 l 的运动时间为 t（t0）秒探究下列问题：请直接写出 A的坐标（用含字母 t 的式子表示）；当点 A落在抛物线上时，求直线 l 的运动时间 t 的值，判断此时四边形 ABEF 的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，探究：在直线 l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点 P，使得以 P，A，B，E

8、 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 21（8 分）如图，已知 ABC 内接于O，BC 交直径 AD 于点 E，过点 C 作 AD 的垂线交 AB 的延长线于点 G，垂足为 F连接 OC（1）若G=48，求ACB 的度数；（1）若 AB=AE，求证：BAD=COF；（3）在（1）的条件下，连接 OB，设 AOB 的面积为 S1，ACF 的面积为 S1若 tanCAF=12，求12SS的值 22（10 分）如图，在 Rt ABC 中，90ACB，CDAB 于点 D，BEAB 于点 B，BE=CD，连接 CE，DE（1）求证：四边形 CDBE 为矩形；（2

9、）若 AC=2，1tan2ACD，求 DE 的长 23（12 分）为评估九年级学生的体育成绩情况，某校九年级 500 名学生全部参加了“中考体育模拟考试”，随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本，并绘制出如下两幅不完整的统计表和频数分布直方图：成绩 x 分 人数 频率 25x30 4 0.08 30 x35 8 0.16 35x40 a 0.32 40 x45 b c 45x50 10 0.2（1）求此次抽查了多少名学生的成绩；（2）通过计算将频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于 40 分为优秀，请估计本次测试九年级学生中成绩优秀的人数 24计算：（1）22sin45+（2018）0+

10、|参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1、C【解析】对于一元二次方程 a2x+bx+c=0，当=2b-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根.即 16-4k=0，解得：k=4.考点：一元二次方程根的判别式 2、B【解析】由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b，宽为14a，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论【详解】解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b，宽为14a，小长方形与原长方形相似，,14abba 2ab 故选 B【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键 3、B【解析】简单几

11、何体的三视图【分析】左视图是从左边看到的图形，因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体 2 个故选 B 4、B【解析】分析：本题考察幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法.解析：326aa，故 A 选项错误；a3a=a4故 B 选项正确；(3ab)2=9a2b2故 C 选项错误;a6a3=a3故 D 选项错误.故选 B.5、B【解析】连接 OP、OA，根据垂径定理求出 AQ，根据勾股定理求出 OQ，计算即可【详解】解：由题意得，当点 P 为劣弧 AB 的中点时，PQ 最小，连接 OP、OA，

12、由垂径定理得，点 Q 在 OP 上，AQ=12AB=4，在 Rt AOB 中，OQ=22OAAQ=3，PQ=OP-OQ=2，故选：B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键 6、B【解析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数【详解】解：无理数有：3，.故选 B.【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数 7、A【解析】方程两边同乘 2x(x+3)，得 x+3=2kx，（2k-1）x=3，方程无解，当整式方程无解时，2k-1=0，k=，当分式方程无解时，x=0 时，k 无解，x=-3 时，k=0，k=0 或 时，方程

13、无解，故选 A.8、D【解析】由 EFBD，1=60，结合三角形内角和为 180即可求出D 的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论 【详解】解：在 DEF 中，1=60，DEF=90，D=180-DEF-1=30 ABCD，2=D=30 故选 D【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为 180,解题关键是根据平行线的性质，找出相等、互余或互补的角 9、B【解析】根据圆内接四边形的性质得出C 的度数，进而利用平行线的性质得出ABC 的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可【详解】四边形 ABCD 内接于O，A=130，C=180-130=50，ADBC，ABC=180-

14、A=50，BD 平分ABC，DBC=25，BDC=180-25-50=105，故选：B【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出C 的度数 10、D【解析】试题解析：根据题意得9n=30%，解得 n=30，所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球 故选 D 考点：利用频率估计概率 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11、正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆【解析】利用正方形的性质得到 OA=OB=OC=OD，则以点 O 为

15、圆心，OA 长为半径作O，点 B、C、D 都在O 上，从而得到O 为正方形的外接圆【详解】四边形 ABCD 为正方形，OA=OB=OC=OD，O 为正方形的外接圆 故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 12、（7+63）【解析】过点 C 作 CEAB，DFAB，垂足分别为：E，F，得到

16、两个直角三角形和一个矩形，在 Rt AEF 中利用 DF 的长，求得线段 AF 的长；在 Rt BCE 中利用 CE 的长求得线段 BE 的长，然后与 AF、EF 相加即可求得 AB 的长【详解】解：如图所示：过点 C 作 CEAB，DFAB，垂足分别为：E，F，坝顶部宽为 2m，坝高为 6m，DC=EF=2m，EC=DF=6m，=30，BE=6 3tan30EC（m），背水坡的坡比为 1.2：1，1.21.21DFAFAF，解得：AF=5（m），则 AB=AF+EF+BE=5+2+63=（7+63）m，故答案为（7+63）m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的

17、概念和坡度的概念求解 13、(x-3)(x+1)；【解析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x23x+x3=x22x3=（x3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把 x-3 看做整体提公因式：原式=x（x3）+（x3）=（x3）（x+1）.故答案为（x3）（x+1）点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式22ababab，完全平方公式2222aabbab）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可.14、2x1【解析】分别解两个不等式得到 x1 和 x2，

18、然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集【详解】解：512(1)32 4(2)xxxx，解得 x1，解得 x2，所以不等式组的解集为 2x1 故答案为 2x1【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 15、43【解析】AB=AC，ADBC，BD=CD=2，BE、AD 分别是边 AC、BC 上的高，ADC=BEC=90，C=C，ACDBCE，ACCDBCCE，624CE，CE=43，故答案为43.16、a1 且 a0【解析】

19、关于 x 的一元二次方程2210axx 有实数根，20240aa ，解得：a1，a 的取值范围为：a1且0a .点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此0a ；（2）这道一元二次方程有实数根，因此2240a ；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略.三、解答题（共 8 题，共 72 分）17、(1)见解析；（2）15,3 54【解析】(1)先通过证明 AOE 为等边三角形,得出 AE=OD,再根据“同位角相等,两直线平行”证明 AE/OD,从而证得四边形 AODE 是平行四边形,再根据“一组邻边相等的平行四边形为菱形”即可得证(2)利用在 Rt OB

20、D 中，sinB=可得出半径长度，在 Rt 中 BD=，可求得的长，由CD=CBBD 可得的长，在 中，AD=，即可求出 AD 长度【详解】解：（1）证明：连接 OE、ED、OD，在 Rt ABC 中，B=30，A=60，OA=OE，AEO 是等边三角形，AE=OE=AO OD=OA，AE=OD BC 是圆 O 的切线，OD 是半径，ODB=90，又C=90 ACOD，又AE=OD 四边形 AODE 是平行四边形，OD=OA 四边形 AODE 是菱形（2）在 Rt ABC 中，AC=6，AB=10，sinB=，BC=8 BC 是圆 O 的切线，OD 是半径，ODB=90，在 Rt OBD 中，

21、sinB=，OB=OD AO+OB=AB=10，OD+OD=10 OD=OB=OD=BD=5 CD=CBBD=3 AD=3【点睛】本题主要考查圆中的计算问题、菱形以及相似三角形的判定与性质 18、（1）12；（2）CH 的长度是 10cm【解析】(1)、过点 A 作ANBD于点 N，过点 M 作MQAN于点 Q，根据 Rt AMQ 中 的三角函数得出得出 AN 的长度；(2)、根据 ANB 和 AGC 相似得出 DN 的长度，然后求出 BN 的长度，最后求出 GC 的长度，从而得出答案【详解】解：(1)、过点 A 作ANBD于点 N，过点 M 作MQAN于点 Q.在tRAMQ中，310,sin

22、5AB.35AOAB，365AOAB，12AN.(2)、根据题意：NBGC.ANBAGC.BNANGCAG.8MQDN，4BNDBDN.41236GC.12GC.308 1210CH .答：CH的长度是 10cm.点睛：本题考查了相似三角形的应用以及三角函数的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题 19、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出BCA=BAC，进而可得出 BA=BC，根据

23、等角的余角相等结合等角对等边，即可得出 AB=BE，进而可得出 BE=BA=BC，此题得证；（2）根据 AC2=DCEC结合ACD=ECA可得出 ACDECA，根据相似三角形的性质可得出ADC=EAC=90，进而可得出FDA=FAC=90，结合AFD=CFA 可得出 AFDCFA，再利用相似三角形的性质可证出 AD：AF=AC：FC【详解】（1）DCAB，DCA=BAC AC 平分BCD，BCA=BAC=DCA，BA=BC BAC+BAE=90，ACB+E=90，BAE=E，AB=BE，BE=BA=BC，B 是 EC 的中点；（2）AC2=DCEC，ACDCECAC ACD=ECA，ACDEC

24、A，ADC=EAC=90，FDA=FAC=90 又AFD=CFA，AFDCFA，AD：AF=AC：FC 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出 BA=BC、BE=BA；（2）利用相似三角形的判定定理找出 AFDCFA 20、（1）A（1，0），B（3，0），y=3x3；（2）A（32t1，32 t）；ABEF 为菱形，见解析；（3）存在，P 点坐标为（53，4 33）或（73，2 33）【解析】（1）通过解方程33x2+233x+30 得 A（1，0），B（3，0），然后利用待定系数法确定直线 l 的解析式；（2）作

25、 AHx 轴于 H，如图 2，利用 OA1，OD3得到OAD60，再利用平移和对称的性质得到 EAEAt，AEFAEF60，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系表示出 AH，EH 即可得到 A的坐标；把 A（32t1，32t）代入 y33x22 33x3得33（32t1）22 33（32t1）332t，解方程得到 t2，此时 A点的坐标为（2，3），E（1，0），然后通过计算得到 AFBE2，AFBE，从而判断四边形 ABEF为平行四边形，然后加上 EFBE 可判定四边形 ABEF 为菱形；（3）讨论：当 ABBE 时，四边形 ABEP 为矩形，利用点 A和点 B 的横坐标相同得到32t

26、13，解方程求出 t 得到 A（3，4 33），再利用矩形的性质可写出对应的 P 点坐标；当 ABEA，如图 4，四边形 ABPE 为矩形，作 AQx轴于 Q，先确定此时 A点的坐标，然后利用点的平移确定对应 P 点坐标【详解】（1）当 y=0 时，33x2+233x+3=0，解得 x1=1，x2=3，则 A（1，0），B（3，0），设直线 l 的解析式为 y=kx+b，把 A（1，0），D（0，3）代入得03kbb ，解得33kb ，直线 l 的解析式为 y=3x3；（2）作 AHx 轴于 H，如图，OA=1，OD=3，OAD=60，EFAD，AEF=60，点 A 关于直线 l 的对称点为

27、A，EA=EA=t，AEF=AEF=60，在 Rt AEH 中，EH=12EA=12t，AH=3EH=32t，OH=OE+EH=t1+12t=32t1，A（32t1，32 t）；把 A（32t1，32 t）代入 y=33x2+2 33x+3得33（32t1）2+2 33（32t1）+3=32t，解得 t1=0（舍去），t2=2，当点 A落在抛物线上时，直线 l 的运动时间 t 的值为 2；此时四边形 ABEF 为菱形，理由如下：当 t=2 时，A点的坐标为（2，3），E（1，0），OEF=60 OF=3OE=3，EF=2OE=2，F（0，3），AFx 轴，AF=BE=2，AFBE，四边形 AB

28、EF 为平行四边形，而 EF=BE=2，四边形 ABEF 为菱形；（3）存在，如图：当 ABBE 时，四边形 ABEP 为矩形，则32t1=3，解得 t=83，则 A（3，4 33），OE=t1=53，此时 P 点坐标为（53，4 33）；当 ABEA，如图，四边形 ABPE 为矩形，作 AQx 轴于 Q，AEA=120，AEB=60，EBA=30 BQ=3AQ=332t=32t，32t1+32t=3，解得 t=43，此时 A（1，2 33），E（13，0），点 A向左平移23个单位，向下平移2 33个单位得到点 E，则点 B（3，0）向左平移23个单位，向下平移2 33个单位得到点 P，则

29、P（73，2 33），综上所述，满足条件的 P 点坐标为（53，4 33）或（73，2 33）【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质 21、（1）48（1）证明见解析（3）34 【解析】（1）连接 CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（1）先根据等腰三角形的性质得：ABE=AEB，再证明BCG=DAC，可得 CDPBPD，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过 O 作 OGAB 于 G，证明 COFOAG，则 OG=CF=x，AG=O

30、F，设 OF=a，则 OA=OC=1x-a，根据勾股定理列方程得：（1x-a）1=x1+a1，则 a=34x，代入面积公式可得结论【详解】（1）连接 CD，AD 是O 的直径，ACD=90，ACB+BCD=90，ADCG，AFG=G+BAD=90，BAD=BCD，ACB=G=48；（1）AB=AE，ABE=AEB，ABC=G+BCG，AEB=ACB+DAC，由（1）得：G=ACB，BCG=DAC，CDPB，AD 是O 的直径，ADPC，CDPD，CDPBPD，BAD=1DAC，COF=1DAC，BAD=COF；（3）过 O 作 OGAB 于 G，设 CF=x，tanCAF=12=CFAF，AF

31、=1x，OC=OA，由（1）得：COF=OAG，OFC=AGO=90，COFOAG，OG=CF=x，AG=OF，设 OF=a，则 OA=OC=1xa，Rt COF 中，CO1=CF1+OF1，（1xa）1=x1+a1，a=34x，OF=AG=34x，OA=OB，OGAB，AB=1AG=32x，12133221242ABOGx xSSx xCF AF 【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出ACB+BCD=90；（1）根据外角的性质和圆的性质得：CDPBPD；（3）利用三角函数设未知数，根据勾

32、股定理列方程解决问题 22、(1)见解析；（2）1【解析】分析：(1)根据平行四边形的判定与矩形的判定证明即可;(2)根据矩形的性质和三角函数解答即可.详解：（1）证明：CDAB 于点 D，BEAB 于点 B，90CDADBE CDBE 又 BE=CD，四边形 CDBE 为平行四边形 又90DBE，四边形 CDBE 为矩形 （2）解：四边形 CDBE 为矩形，DE=BC 在 Rt ABC 中，90ACB，CDAB，可得 ACDABC 1tan2ACD，1tantan2ABCACD 在 Rt ABC 中，90ACB，AC=2，1tan2ABC，4tanACBCABC DE=BC=1 点睛：本题考

33、查了矩形的判定与性质，关键是根据平行四边形的判定与矩形的判定解答.23、（1）50；（2）详见解析；（3）220.【解析】(1)利用 1 组的人数除以 1 组的频率可求此次抽查了多少名学生的成绩;(2)根据总数乘以 3 组的频率可求 a,用 50 减去其它各组的频数即可求得 b 的值,再用 1 减去其它各组的频率即可求得 c的值,即可把频数分布直方图补充完整;(3)先得到成绩优秀的频率,再乘以 500 即可求解.【详解】解：（1）40.08=50（名）答：此次抽查了 50 名学生的成绩；（2）a=500.32=16（名），b=50481610=12（名），c=10.080.160.320.2=0.24，如图所示：（3）500（0.24+0.2）=5000.44=220（名）答：本次测试九年级学生中成绩优秀的人数是 220 名【点睛】本题主要考查数据的收集、处理以及统计图表。24、1【解析】原式第一项利用乘方法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简即可得到结果【详解】解：原式=11+1+=1+1+=1【点睛】此题考查了含有特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.