2023届甘肃省武山高三压轴卷数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，在平面四边形ABCD中，满足,ABBC CDAD，且10,8ABADBD，沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使2PC，则三棱锥PBCD体积的最大值为（）A1

2、2 B12 2 C16 23 D163 2已知向量a，b满足4a，b在a上投影为2，则3ab的最小值为()A12 B10 C10 D2 3若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，y，z成等比数列，则xyz（）A52 B2 C2 D72 4 已知抛物线22(0)ypx p上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（）A2yx B22yx C24yx D28yx 5已知 i 为虚数单位，则2312ii i（）A7455i B7455i C4755i D4755i 6已知函数()cos(2)(0)f xAx 的图像向右平移8个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，(0

3、)1f，当取得最小值时，函数()f x的解析式为（）A()2cos(2)4f xx B()cos(2)4f xx C()2cos(2)4f xx D()cos(2)4f xx 7过抛物线2:20E xpy p的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q，若111|4ABCD，则|PFPQ的最小值是（）A1 B2 C3 D4 8函数 cos2xf xx的图象可能为（）A B C D 9如图所示的程序框图，若输入4a，3b，则输出的结果是（）A6 B7 C5 D8 10下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为0,的是（）Alg1yx B12yx C2xy D

4、lnyx 11设22(1)1zii（i是虚数单位），则|z（）A2 B1 C2 D5 12若aR，则“3a”是“51xax的展开式中3x项的系数为 90”的（）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设x，y满足约束条件2633xyxyy，若3zxya的最大值是 10，则a _.14已知向量(,4),(3,2)amb，且ab，则m _.15已知函数 202lnf xaxxxa有两个极值点1x、212xxx，则 12f xf x的取值范围为_.16如图，在平面四边形ABCD中，点A，C是椭圆22143

5、xy短轴的两个端点，点B在椭圆上，90BADBCD，记ABC和ADC的面积分别为1S，2S，则12SS_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：22221xyab(ab0)的离心率为12且经过点(1，32)，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D，E 两点（其中 D 在 x 轴上方）（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 AEF 与 BDF 的面积之比为 1：7，求直线 l 的方程 18（12 分）我国在贵州省平塘县境内修建的 500 米口径球面射电望远镜（

6、FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现 132 颗优质的脉冲星候选体，其中有 93 颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪 60 年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到 0.0014 秒，最长的也不过 11.765735 秒.某-天文研究机构观测并统计了 93 颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.（1）在 93 颗新发现的脉冲星中，自转周期在 2 至 10 秒的大约有多少颗？（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.19（12 分）在A

7、BC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且22ccosBab（1）求角C的大小；（2）若函数()2sin 2cos2()6f xxmx mR图象的一条对称轴方程为2Cx 且625f，求(2)cosC的值 20（12 分）选修 45；不等式选讲 已知函数()|1|f xxx(1)若()|1|f xm的解集非空，求实数m的取值范围；(2)若正数,x y满足22xyM，M为（1）中 m 可取到的最大值，求证：2xyxy 21（12 分）设函数2()11xf xeekx（其中(0,)x），且函数()f x在2x 处的切线与直线2(2)0exy平行.（1）求k的值；（2）若函数()lng xxx

8、，求证：()()f xg x恒成立.22（10 分）在四棱锥PABCD中，1,/,2ABPA ABCD ABCDPAD是等边三角形，点M在棱PC上，平面PAD 平面ABCD （1）求证：平面PCD 平面PAD；（2）若ABAD，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值的最大值；（3）设直线AM与平面PBD相交于点N，若ANPMAMPC，求ANAM的值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】过P作PEBD于E，连接CE，易知CEBD，PECE，从而可证BD 平面PCE，进而可知1833P BCDB PC

9、ED PCEPCEPCEVVVSBDS，当PCES最大时，P BCDV取得最大值，取PC的中点F，可得EFPC，再由2112PCESPC EFPE，求出PE的最大值即可.【详解】在BPD和BCD中，PBBCPDCDBDBD，所以BPDBCD，则PBDCBD，过P作PEBD于E，连接CE，显然BPEBCE，则CEBD，且PECE，又因为PECEE，所以BD 平面PCE，所以1833P BCDB PCED PCEPCEPCEVVVSBDS，当PCES最大时，P BCDV取得最大值，取PC的中点F，则EFPC，所以2112PCESPC EFPE，因为10,8PBPDBD，所以点P在以,B D为焦点的

10、椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为 10，焦距长为 8，所以PE的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE最大值为22543，所以PCES最大值为2 2，故P BCDV的最大值为82 2316 23.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.2B【解析】根据b在a上投影为2，以及cos,1,0a b，可得min2b；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入minb即可求得min3ab.【详解】b在a上投影为2，即cos,2ba b 0b cos,0a b 又cos,1,0a b min2b 2222223696cos,996

11、4abaa bbaa ba bbb min3946410ab 本题正确选项：B【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b的最小值.3A【解析】由题意，可得2xzy，2zxy，消去y得2220 xxzz,可得2xz，继而得到2zy ，代入即得解【详解】由x，y，z成等差数列，所以2xzy，又x，z，y成等比数列，所以2zxy，消去y得2220 xxzz，所以220 xxzz，解得1xz或2xz，因为x，y，z是不相等的非零实数，所以2xz，此时2zy ，所以15222xyz 故选：A【点睛

12、】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4B【解析】由抛物线的定义转化，列出方程求出 p，即可得到抛物线方程【详解】由抛物线 y22px（p0）上的点 M 到其焦点 F 的距离比点 M 到 y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得122p，1p，所以抛物线的标准方程为：y22x 故选 B【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题 5A【解析】根据复数乘除运算法则，即可求解.【详解】2322323741222255iiiiii iiii.故选：A.【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.6A【解析】先求出平移后

13、的函数解析式，结合图像的对称性和 01f得到 A 和.【详解】因为 cos 2cos 284f xAxAx关于y轴对称，所以4kkZ，所以4k，的最小值是4.0cos14fA，则2A，所以 2cos 24fxx.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意 x 的系数和平移量之间的关系.7C【解析】设直线 AB 的方程为2pykx，代入22xpy得：2220 xpkxp，由根与系数的关系得2ABxxpk，2ABx xp，从而得到2|21ABpk，同理可得21|2(1)CDpk，再利用111|4ABCD求得p的值，当 Q，P，M 三点共线时，即可得答案.【详解】根据题意，可知抛

14、物线的焦点为(0,)2p，则直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为2pykx，代入22xpy得：2220 xpkxp.由根与系数的关系得2ABxxpk，2ABx xp，所以2|21ABpk.又直线 CD 的方程为12pyxk，同理21|2(1)CDpk，所以221111111|2(1)242(1)ABCpkpkDp，所以24p.故24xy.过点 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得|PFPM.所以|3PFPQPMPQMQ，当 Q，P，M 三点共线时，等号成立.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化

15、归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.8C【解析】先根据 f x是奇函数，排除 A，B，再取特殊值验证求解.【详解】因为 cos2cos2xxfxxxf x ，所以 f x是奇函数，故排除 A，B，又 1cos20f，故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9B【解析】列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】4i，3S，22Sa b不成立，239S，4 15i ；22Sa b不成立，2981S，5 16i ；22Sa b不成立，2816561S，6 17i ；22Sa b成立，输出i的值为7.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框

16、图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.10B【解析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.【详解】对于A，lg1yx图象如下图所示：则函数lg1yx在定义域上不单调，A错误；对于B，12yxx的图象如下图所示：则yx在定义域上单调递增，且值域为0,，B正确；对于C，2xy 的图象如下图所示：则函数2xy 单调递增，但值域为0,，C错误；对于D，lnyx的图象如下图所示：则函数lnyx在定义域上不单调，D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.11A【解析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z，即可根据复数的模计

17、算公式求出|z【详解】22)1121(1ziiiii ，22|112z 故选：A【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，属于容易题 12B【解析】求得51xax的二项展开式的通项为15Ckkkax,令2k 时,可得3x项的系数为 90,即25290C=a,求得a,即可得出结果.【详解】若3a 则55=11 3xaxxx二项展开式的通项为+15C3kkkx,令13k ,即2k,则3x项的系数为252C3=90,充分性成立;当51xax的展开式中3x项的系数为 90,则有25290C=a,从而3a,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条

18、件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1372【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示：目标函数3zxya可转化为133zayx 与直线13yx 平行，数形结合可知当且仅当目标函数过点9,32A，取得最大值，故可得91092a，解得72a .故答案为：72.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.146【解析】由向量平行的坐标表示得出24 30m ，求解即可得出答案.【详解】因为ab，所以24 30m ，解得6m .故

19、答案为：6【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.15,16ln 224【解析】确定函数 yf x的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求 12f xf x的取值范围【详解】函数 22lnf xaxxx的定义域为0,，21222212xaxafxaxxx，依题意，方程22220 xaxa有两个不等的正根1x、2x（其中12xx），则241604aaa，由韦达定理得120 xxa，120 x xa，所以 22121212122 ln2f xf xax xxxa xx2222121212122 ln222 ln222 ln2ax xxxx xa xxaa

20、aaaaaaa，令 22 ln24h aaaaa a，则 2ln2h aaa，2 122ahaaa，当4a 时，0ha，则函数 yh a在4,上单调递减，则 44ln2 80h ah，所以，函数 yh a在4,上单调递减，所以，416ln 224h ah.因此，12f xf x的取值范围是,16ln 224.故答案为：,16ln 224.【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将 12f xf x的取值范围转化为以a为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.1643【解析】依题意易得 A、B、C、D 四点共圆且圆心在 x 轴上，然后设出圆心，由圆的方程

21、与椭圆方程联立得到 B 的横坐标，进一步得到 D 横坐标，再由12|BDSxSx计算比值即可.【详解】因为90BADBCD，所以 A、B、C、D 四点共圆，直径为BD，又 A、C 关于 x 轴对称，所以圆心 E 在 x 轴上，设圆心 E 为(,0)t，则圆的方程为222()3xtyt，联立椭圆方程22143xy 消 y 得280 xtx，解得8xt，故 B 的横坐标为8t，又 B、D 中点是 E，所以 D 的横坐标为6t，故12|BDSxSx43.故答案为：43.【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出 B、D 横坐标，是一道

22、有区分度的压轴填空题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）22143xy（2）3344yx【解析】（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.（2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.【详解】解：（1）设焦距为 2c，由题意知：22222191412abbacca；解得22431abc，所以椭圆的方程为22143xy.（2）由（1）知：F(1，0)，设 l：1xmy，D(1x，1y)，E(2x，2y)，2y01y 1112221()372=713()()2BDFAEFac ySyyySyacy，22221(34)69034

23、12xmymymyxy，2144(1)0m，122634myym；122934y ym；由得：2292(34)mym，1221002(34)mymm，代入得：222221899164(34)349mmmm，又0m，故43m，因此，直线 l 的方程为3344yx【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18（1）79 颗；（2）5.5 秒.【解析】（1）利用各小矩形的面积和为 1 可得a，进而得到脉冲星自转周期在 2 至 10 秒的频率，从而得到频数；（2）平均值的估计值为各小

24、矩形组中值与频率的乘积的和得到.【详解】（1）第一到第六组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.2，2a，0.05，其和为 1 所以210.1 0.20.30.20.05a ，0.075a，所以，自转周期在 2 至 10 秒的大约有931 0.1579.0579（颗）.（2）新发现的脉冲星自转周期平均值为 0.1 1 0.2 3 0.3 50.2 70.15 90.05 115.5 （秒）.故新发现的脉冲星自转周期平均值为 5.5 秒.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.19（1）23C（2）7225cosC（）【解析】（1）由已知利用三角函数恒

25、等变换的应用，正弦定理可求1cosC2，即可求C的值（2）利用三角函数恒等变换的应用，可得 f x3sin2xm 1 cos2x，根据题意，得到 2f 0f3，解得m2，得到函数的解析式，进而求得sin 6的值，利用三角函数恒等变换的应用可求cos 2C的值【详解】（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB2sinAsinB，又由ABC，所以 sinsinsin coscos sinABCBCBC，可得2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB，即2sinBcosCsinB0，又因为0,B，则sin0B，可得1cosC2，0,C，2C3（2）由（1）可得 f x2s

26、in 2x1mcos2x2sin2xcos2cos2xsinmcos2x 3sin2xm 1 cos2x，所以函数 f x的图象的一条对称轴方程为x3，2f 0f3，得44m13sinm1 cos33，即m2，f x3sin2xcos2x2sin 2x6，又6f2sin 265，3sin 65，227cos 2Ccos 2cos 2-cos2 2sin1336625 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 20(1)0,2;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得 1,0,21,01,1,1

27、,xf xxxx所以 max1f x，由此得11m，解得02m；（2）利用分析法，由（1）知，2M，所以222xy，因为0,0 xy，要证2xyxy，只需证2224xyx y，即证2110 xyxy，只需证1xy 即可得结果.试题解析：（1）去绝对值符号，可得 1,0,21,01,1,1,xf xxxx 所以 max1f x，所以11m，解得02m，所以实数m的取值范围为0,2（2）由（1）知，2M，所以222xy 因为0,0 xy，所以要证2xyxy，只需证2224xyx y，即证 2210 xyxy，即证2110 xyxy.因为210 xy ，所以只需证1xy，因为2222xyxy，1xy

28、 成立，所以2xyxy 解法二：x2+y2=2，x、yR+，x+y2xy 02 设：2022xsinycos 证明：x+y-2xy=2sin2cos2 2sincos =2 sincos4sincos 令sincost 212sin cost，02 12t 22sin cos1t 原式=2221tt =2222tt =22222tt =当2t 时，min22220y 2xyxy 21（1）1k（2）证明见解析【解析】（1）求导得到222(2)(1)2feeke，解得答案.（2）变形得到-2(1)1lnxeexxx，令函数()1lnh xxxx，求导得到函数单调区间得到22()()1h xh e

29、e，2()(0)(1)F xFe，得到证明.【详解】（1）2()(1)xfxeek，222(2)(1)2feeke，解得1k.（2）()()f xg x得-2(1)1lnxeexxx ，变形得-2(1)1lnxeexxx，令函数()1lnh xxxx，()2lnh xx ，令2ln0 x 解得2xe，当2(0,)xe时()0h x，2(,)xe时()0h x.函数()h x在2(0,)e上单调递增，在2(,)e上单调递减，22()()1h xh ee，而函数-2()(1)xF xee在区间(0,)上单调递增，2()(0)(1)F xFe，2()(0)(1)()1lnF xFeh xxxx，即2

30、(1)1lnxeexxx，即2(1)1lnxeexxx ，()()f xg x恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.22（1）证明见解析（2）2 1919（3）12ANAM【解析】（1）取AD中点为O,连接PO,由等边三角形性质可得POAD,再由面面垂直的性质可得PODC,根据平行直线的性质可得CDPA,进而求证；（2）以O为原点,过O作AB的平行线OF,分别以OA,OF,OP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设2ABAD,由点M在棱PC上,可设(1)(,4,3(1),0,1OMt OPtOCtttt,即可得到AM,再求得

31、平面PBC的法向量,进而利用数量积求解；（3）设2,ADDCm,ANPMkAMPC,则,PMkPC ANkAM,求得AM,AN,即可求得点N的坐标,再由DN与平面PBD的法向量垂直,进而求解.【详解】（1）证明:取AD中点为O,连接PO,因为PAD是等边三角形,所以POAD,因为PADABCD平面平面且相交于AD,所以PO平面ABCD,所以PODC,因为/,ABCD ABPA,所以CDPA,因为POPAP,在平面PAD内,所以CDPAD 平面,所以PCDPAD平面平面.（2）以O为原点,过O作AB的平行线OF,分别以OA,OF,OP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设2ABAD,则(1

32、,0,0)A,(1,2,0)B,(1,4,0)C,(0,0,3)P,因为M在棱PC上,可设(1)(,4,3(1),0,1OMt OPtOCtttt,所以(1,4,3(1)AMttt ,设平面PBC的法向量为(,)nx y z,因为(2,2,0),(1,4,3)BCPC ,所以00n BCn PC,即220430 xyxyz,令1x,可得113xyz,即(1,1,3)n,设直线AM与平面PBC所成角为,所以21sincos,5(51)AM nAM nAM ntt ,可知当110t 时,sin取最大值2 1919.（3）设2,ADDCm,则有(0,0,3),(1,0)PCm,得(1,3)PCm,设

33、ANPMkAMPC,那么,PMkPC ANkAM,所以(,3)PMk mkk,所以(,3(1)Mk mkk.因为(1,0,0),(1,3(1)AAMkmkk 所以,22,(,3(1)ANkAMANkk mkkk 因为所以,所以22(1,3(1)Nkkmkkk.又因为(1,0,0),1,02mDB,所以22(2,3(1)DNkkmkkk,(1,0,3),2,02mPDDB,设平面PDB的法向量为(,)mx y z,则00m PDm DB,即30202xzmxy,3x 令,可得34 31xymz,即4 33,1mm 因为N在平面PDB内,所以DNm,所以0DN m,所以224 33(2)3(1)0kkmkkkm,即2210kk,所以12k 或者1k（舍）,即12ANAM.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.