2023届广东省广州市白云区高三第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在ABC中，0OAOBOC，2AEEB，ABAC，若9AB ACAO EC，则实数()A33 B32 C63 D62 2已知复数 z 满足 iz2+i，则 z 的共轭复数是（）A12i B1+2i C12i D1+2i 3以

2、下关于()sin 2cos 2f xxx的命题，正确的是 A函数 f x在区间20,3上单调递增 B直线8x需是函数 yf x图象的一条对称轴 C点,04是函数 yf x图象的一个对称中心 D将函数 yf x图象向左平移需8个单位，可得到2sin 2yx的图象 4如图，正三棱柱111ABCABC各条棱的长度均相等，D为1AA的中点，,M N分别是线段1BB和线段1CC的动点（含端点），且满足1BMC N，当,M N运动时，下列结论中不正确的是 A在DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B平面DMN 平面11BCC B C三棱锥1ADMN的体积为定值 DDMN可能为直角三角形 5函数1()f x

3、axx在(2,)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A1,4 B1,4 C1,)D1,4 6已知12,F F是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，若点2F关于双曲线渐近线的对称点A满足11F AOAOF（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A2yx B3yx C2yx Dyx 7 某工厂利用随机数表示对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001，002，599,600.从中抽取 60 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行：若从表中第 6 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（）A324 B522

4、C535 D578 8已知函数,12,1xexf xf xx，若方程 10f xmx 恰有两个不同实根，则正数 m 的取值范围为（）A1,11,12ee B1,11,12ee C1,11,13ee D1,11,13ee 9下列结论中正确的个数是（）已知函数()f x是一次函数，若数列 na通项公式为 naf n，则该数列是等差数列；若直线l上有两个不同的点到平面的距离相等，则/l；在ABC中，“coscosAB”是“BA”的必要不充分条件；若0,0,24abab，则ab的最大值为 2.A1 B2 C3 D0 10若集合|2020AxN x，2 2a，则下列结论正确的是（）A aA BaA C

5、aA DaA 11若 ab0，0c1，则 Alogaclogbc Blogcalogcb Cacbc Dcacb 12已知函数 exfxx,关于x的方程 2140(fxmf xmmR)有四个相异的实数根,则m的取值范围是()A44,ee1 B4,3 C4e,3e1 D4e,e1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13记nS为数列 na的前n项和.若*32nnaSnN，则5S _.14已知 f x为偶函数，当0 x 时，()xf xex，则(ln2)f_ 15已知数列 na为等比数列，12232,6aaaa，则5a _.16在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为382

6、2xtty （t为参数），曲线C的参数方程为232 3xsys（s为参数）.（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2sin2 cos0aa；直线 l 的参数方程为222xtyt （t 为参数）.直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点.（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若点 P 的极坐标为2,，5 2PMPN

7、，求a的值.18（12 分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在 2018 年这一年内从A 市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度 老年人 中年人 青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10 分(满意)12 1 20 2 20 1 5 分(一般)2 3 6 2 4 9 0 分(不满意)1 0 6 3 4 4（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在 2018 年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中

8、,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A市出发到B市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?并说明理由.19（12 分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出 1 盒该产品获利 50 元，未售出的产品，每盒亏损 30 元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了 160 盒该产品，以x（单位：盒，100200 x）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数

9、和众数；（2）将y表示为x的函数；（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于 4800 元的概率.20（12 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C：1cos,3sin,xryr（为参数，0r），曲线2C：35,213,2xtyt（t为参数）.若曲线1C和2C相切.（1）在以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线1C的普通方程；（2）若点M，N为曲线1C上两动点，且满足3MON，求MON面积的最大值.21（12 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 cossinxy（为参数）.在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin

10、36.（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.22（10 分）如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，1AB，13AA，过顶点A，1C的平面与棱1BB，1DD分别交于M，N两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形1AMC N是平行四边形；（2）求证：AM与AN不垂直；（3）若平面1AMC N与棱BC所在直线交于点P，当四边形1AMC N为菱形时，求PC长.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】将AO、EC用AB、AC表示，再代入9

11、AB ACAO EC中计算即可.【详解】由0OAOBOC，知O为ABC的重心，所以211()323AOABAC()ABAC，又2AEEB，所以23ECACAEACAB，93()AO ECABAC2()3ACAB 2223AB ACABACAB AC，所以2223ABAC，|3622|ABAC.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.2D【解析】两边同乘-i，化简即可得出答案【详解】iz2+i 两边同乘-i 得 z=1-2i,共轭复数为 1+2i，选 D.【点睛】(,)zabi a bR的共轭复数为zabi 3D【解析】利用辅助角公式化简函数得到()2

12、sin(2)4f xx，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin2cos22sin(2)4f xxxx A 选项，132(,)4413220,xx 函数先增后减，错误 B 选项，2084xx不是函数对称轴，错误 C 选项，2444xx，不是对称中心，错误 D 选项，图象向左平移需8个单位得到2sin(2()2sin 284yxx，正确 故答案选 D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.4D【解析】A 项用平行于平面 ABC 的平面与平面 MDN 相交，则交线与平面 ABC 平行；B 项利用线面垂直的判

13、定定理；C 项三棱锥1ADMN的体积与三棱锥1NADM体积相等，三棱锥1NADM的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形 DMN 不可能是直角三角形.【详解】A 项，用平行于平面 ABC 的平面截平面 MND，则交线平行于平面 ABC，故正确；B 项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面DMN 平面11BCC B，故正确；C 项,当 M、N 分别在 BB1、CC1上运动时,A1DM 的面积不变,N 到平面 A1DM 的距离不变,所以棱锥 N-A1DM 的体积不变,即

14、三棱锥 A1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若 DMN 为直角三角形,则必是以MDN 为直角的直角三角形,但 MN 的最大值为 BC1,而此时 DM,DN 的长大于BB1,所以 DMN 不可能为直角三角形,故错误.故选 D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.5B【解析】对a分类讨论，当0a，函数()f x在(0,)单调递减，当0a，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【详解】当0a 时，函数1()f xaxx在(2,)上单调递减，所以0a，1()f xaxx的递增区间是1,a，所以

15、12a，即14a.故选:B.【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.6B【解析】先利用对称得2AFOM，根据11F AOAOF 可得1AFc，由几何性质可得160AFO，即260MOF，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：M为2AF的中点，且2AFOM，所以12F AAF，因为11F AOAOF，所以11AFFOc，故而由几何性质可得160AFO，即260MOF，故渐近线方程为3yx，故选 B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF是解题的关键，属于中档题.7D【解析】因为要对 600 个零件

16、进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第 6 行第 6 列开始向右读取数据，大于 600 的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.【详解】从第 6 行第 6 列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,，因为 535 重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,，故第 6 个数据为 578.选 D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.8D【解析】当1x 时，函数周期为2，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数 f x和1ym

17、x有图像两个交点，计算13ACek，1BCke，根据图像得到答案.【详解】当1x 时，2f xf x，故函数周期为2，画出函数图像，如图所示：方程 10f xmx，即 1f xmx，即函数 f x和1ymx有两个交点.xf xe，xfxe，故 01f，1,Be，3,Ce，13ACek，1BCke.根据图像知：1,11,13eme.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.9B【解析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：已知函数()f x是一次函数，若数列na的通项公式为()naf n，可得1(nnaak k为一次

18、项系数），则该数列是等差数列，故正确；若直线l上有两个不同的点到平面的距离相等，则l与可以相交或平行，故错误；在ABC中，,0,B A，而余弦函数在区间0,上单调递减，故“coscosAB”可得“BA”，由“BA”可得“coscosAB”，故“coscosAB”是“BA”的充要条件，故错误；若0,0,24abab，则422 2aba b，所以2ab，当且仅当22ab时取等号，故正确；综上可得正确的有共 2 个；故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题 10D【解析】由题意|2020AxN

19、x，分析即得解【详解】由题意|2020AxN x，故aA，Aa 故选：D【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.11B【解析】试题分析：对于选项 A，ab1gc1gclog c,log clgalgb，01c，10gc，而0ab，所以lglgab，但不能确定lglgab、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项 B，clglglog,loglglgcababcc,lglgab，两边同乘以一个负数1lgc改变不等号方向，所以选项 B 正确;对于选项 C，利用cyx在第一象限内是增函数即可得到ccab，所以 C 错误;对于选项 D，利用xy

20、c在R上为减函数易得abcc，所以 D 错误.所以本题选 B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12A【解析】exfxx=e,0e,0 xxxxxx,当0 x 时 2e10,1,0,1xxfxxxx时,f x单调递减，1,x时,f x单调递增,且当 0,1,e,xf x时,当 1,e,xf x时,当0 x 时，2e10 xxfxx恒成立，,0 x 时,f x单调递增且 0,f x,方程 2140(fxmf xmmR)有四个相异的实数根.令 2,14f

21、 xt tmtm=0则2120,e1 e40te temm,201 040mm且,即44,ee1m .二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。131【解析】由已知数列递推式可得数列na是以 16 为首项，以12为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解【详解】由32nnaS，得1232a，116a 且1132(2)nnaSn，则110nnnnaaSS，即11(2)2nnana 数列na是以 16 为首项，以12为公比的等比数列，则55116(1)231112S 故答案为：1【点睛】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 1

22、42ln2【解析】由偶函数的性质直接求解即可【详解】ln2ln2ln2ln22ln2ffe.故答案为2ln2【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力 1581【解析】设数列 na的公比为q，利用等比数列通项公式求出1,a q，代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列 na的公比为q，由题意知，23123aaqaa 因为122aa，由等比数列通项公式可得，1132aa，解得11a，由等比数列通项公式可得，44511381aa q .故答案为：81【点睛】本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.16（1）380 xy，24yx；（2）52，3,2 3.【解

23、析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）直线l的普通方程为380 xy.在曲线C的参数方程中，22124ysx，所以曲线C的普通方程为24yx.（2）设点23,2 3Pss.点P到直线l的距离2236831522sssd.当1s 时，min52d，所以点P到直线l的距离的最小值为52.此时点P的坐标为3,2 3.【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1

24、）22211xaya，20 xy；（2）2.【解析】（1）由2sin2 cosa得22 sin2cosa，求出曲线C的直角坐标方程.由直线l的参数方程消去参数t，即求直线l的普通方程；（2）将直线l的参数方程化为标准式22222xtyt （t为参数），代入曲线C的直角坐标方程，韦达定理得121 2,ttt t，点P在直线l上，则12PMPNtt，即可求出a的值.【详解】（1）由2sin2 cosa可得22 sin2cosa，即2222xyyax，即22211xaya，曲线C的直角坐标方程为22211xaya，由直线l的参数方程222xtyt （t 为参数），消去t得20 xy，即直线l的普通方

25、程为20 xy.（）点P的直角坐标为2,0P，则点P在直线l上.将直线l的参数方程化为标准式22222xtyt （t为参数），代入曲线C的直角坐标方程，整理得23 22440ta ta，直线l与曲线C交于,M N两点，23 224 440aa，即210,1aa.设点,M N所对应的参数分别为12,tt，由韦达定理可得121 23 22,44tta t ta，1212120,0,0,0,0attt ttt.点P在直线l上，12123 225 2PMPNtttta，2a.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.18（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）

26、建议甲乘坐高铁从A市到B市.见解析【解析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755，所以12,5XB，即2211155kkkP xkC ，即可求出X的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193

27、929()10050P M（2）由题意，X的所有可能取值为：012.，因为在 2018 年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是151755，所以022116(0)C(1)525P X，12118(1)C(1)5525P X，22211(2)C()525P X，所以随机变量X的分布列为：0 1 2 1625 825 125 故16812()0122525255E X （3）答案不唯一，言之有理即可 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52 1012 5 11 011652121115 乘坐飞机的人满意度均值为：4

28、1014 57 0224 1475 因为11622155，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题 19（1）153x，众数为 150；（2）8048008000 xy 100160160200 xx；（3）0.90【解析】（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当100160 x时，50(160)?30804800yxxx，当160200 x时，160508000y，由此能将y表示为

29、x的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于 4800 元的概率【详解】（1）由直方图可估计需求量x的众数为 150，由直方图可知100 120，的频率为：20 0.0050=0.10 由直方图可知120 140，的频率为：20 0.010=0.20 由直方图可知140 160，的频率为：20 0.0150=0.30 由直方图可知160 180，的频率为：20 0.0125=0.25 由直方图可知180 200，的频率为：20 0.0075=0.15 估计需求量x的平均数为：0.10 1100.20 1300.30 1500.25 1700.15 190153x（2）当100160 x时

30、，5030(160)804800yxxx 当160200 x时，50 160=8000y 8048008000 xy 100160160200（）（）xx（3）由（2）知 当160200 x时，50 160=80004800y 当100160 x时，8048004800yx得120160 x 开学季利润不少于 4800 元的需求量为120200 x 由频率分布直方图可所求概率0.200.300.250.150.90P【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用 20（1）22134xy；（2）3 3【解析】（1）消去

31、参数，将圆C的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用cos,sinxy求得圆C的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得MON的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】（1）由题意得1C：22213xyr，2C：320 xy 因为曲线1C和2C相切，所以1 3222r，即1C：22134xy；（2）设4sin,6M，4cos,3N 所以13sin16 sincos2 3sin 232346MONMNS 所以当22时，MON面积最大值为3 3【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程

32、转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.21（1）22:110Cxyy，:360l xy（2）最大值52，最小值1【解析】（1）由曲线C的参数方程1 cossinxy，得cos1,sinxy两式平方相加求解，根据直线l的极坐标方程sin36，展开有31sincos322，再根据sin,cosyx求解.（2）因为曲线 C 是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为1 cossinxy 所以cos1,sinxy 两式平方相加得：22110 xyy，因为直线l的极坐标方程为sin36.所以31sinc

33、os322 所以31322yx 即360 xy（2）如图所示：圆心 C 到直线的距离为：1 322d 所以圆上的点到直线的最小值为：min1ddr 则点 M(2，0)到直线的距离为最大值：max23522d【点睛】本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=2PC.【解析】（1）由平面11ABB A与平面11DCC D没有交点，可得AM与1NC不相交，又AM与1NC共面，所以/AM1NC，同理可证/AN1MC，得证；（2）由四边形1AMC N是平行四边形，且1MNAC，

34、则1AMC N不可能是矩形，所以AM与AN不垂直；（3）先证11Rt ABMRt C B M，可得M为1BB的中点，从而得出B是PC的中点，可得PC.【详解】（1）依题意1AMCN，都在平面1AC上，因此AM 平面1AC，1NC 平面1AC，又AM 平面11ABB A，1NC 平面11DCC D，平面11ABB A与平面11DCC D平行，即两个平面没有交点，则AM与1NC不相交，又AM与1NC共面，所以/AM1NC，同理可证/AN1MC，所以四边形1AMC N是平行四边形；（2）因为M，N两点不在棱的端点处，所以11MNBDAC，又四边形1AMC N是平行四边形，1MNAC，则1AMC N不可能是矩形，所以AM与AN不垂直；（3）如图，延长1C M交CB的延长线于点P，若四边形1AMC N为菱形，则1AMMC，易证11Rt ABMRt C B M，所以1BMB M，即M为1BB的中点，因此112BMCC，且1/BMCC，所以BM是1PCC的中位线，则B是PC的中点，所以22PCBC.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.