2020年江苏省数学夏令营试题.pdf

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1、试卷第 1 页，共 2 页 2020 年江苏省数学夏令营试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、填空题 1用三个数字“3，1，4”构成一个四位密码，共有_种不同结果 2在平面直角坐标系xOy中，直线ykx与圆C：2227365xy交于A，B，则OA OB_ 3 已知函数()f x是定义在R上的奇函数，若()xf xxe为偶函数，且 220f af a，则实数a的最大值为_ 4已知复数z满足1z，则22413izzz 的最大值为_ 5 已知正实数a，b，c满足16(3)abbccaa，则2abc 的最小值为_ 6 在长方体1111ABCDABC D中，4AB，12 2BCCC，M是1BC的中

2、点，N是1MC的中点若异面直线AN与CM所成的角为，距离为d，则2020 sind_ 7从集合1,2,3,2020中取出 225 个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有_个 8设O是ABC的外心，满足1324COtCAt CB，若|3AB，则ABC面积的最大值为_.9已知集合1,2,3,4,5,6A，则满足()fff xx的函数f：AA共有_个 10 设,m nN，,2m n，若3333333321 311121 3112nmnm，则mn的值为_ 11 设正整数a，b，c，d满足23ab，45cd，且303bd，则ac的值为_ 12设*nN，欧拉函数 n表示在正整数 1，2，3，n

3、中与n互质的数的个数，试卷第 2 页，共 2 页 例如 1，3 都与 4 互质，2，4 与 4 不互质，所以 42，则2020_ 答案第 1 页，共 5 页 参考答案：181【详解】解析：只有一个数时，3 种；两个数时，221344242CCC 种；三个数时，3 3 436 种，共 81 种 故答案为：81.22020【详解】解析：222020OAOBOCR 故答案为：2020.31【详解】解析：由题意()()()xxxf xxefxxef xxe，则()2xxeef xx，求导可得()f x为单调递增的函数，故 22f afa，则22aa，解得21a，则实数a的最大值为 1 故答案为：1.4

4、3【详解】解析：由题意可得 222224(1)3(1)3i13i13i13i13izzzzzzzz ，则13i13izz 表示复平面上点Z到1,3的距离 如图所示，1,3C，由此可得13ZC故22413izzz 的最大值为 3 故答案为：3.答案第 2 页，共 5 页 510【详解】解析：易知恒等式2()()aabbccaab ac，而 222()()2162 9 1610abcab aca，当且仅当3a，2bc时，等号成立 故答案为：10.61616【详解】因为1CMBC，故90 过点M作MEAN于点E，则MECM，故dME 因为4AB，3BN，所以5AN，则4sin5dMEMNANB，从而

5、可得2020 sin1616d 故答案为：1616.78100#38.1 10【详解】解析：由题意可得2242019d，且d为正整数，则9d 故必须满足12242020ad，分别讨论公差的取值情形；当公差为 1 时，共 1796 组；答案第 3 页，共 5 页 公差为 2 时，共 1572 组；当公差为 3 时，共 1348 组 组数依次构成公差为-24 的等差数列，而公差为 9 时，共有 4 组，故满足要求的数列共有9(41796)81002 故答案：8100.89【分析】设D为BC边中点，化简已知得3cos4bCa，由余弦定理得22218ba，再利用基本不等式求解.【详解】1324COtC

6、At CB1324COCBCCOtABD，其中D为BC边中点，所以304BCCACDBBOC，所以234CBCBCA,所以233cos,cos44abCabCa 又222cos9baabC，所以联立得22218ba，因为in12sSabC,所以2222222291 cos(1)4416a ba baSCb 22222144()1442816464aaaa 答案第 4 页，共 5 页 所以ABC面积的最大值为 9.故答案为：9【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，其一是，化简已知得到3cos4bCa，其二是转化为求2S的最大值，利用基本不等式求最大值.947【详解】解析,值域中元素的个数为 1

7、 或 6，若值域中元素的个数为 1，则()f xm（m为常数），共 6 种；若值域中元素的个数 6，当()f xx时，1 种；当()()()xf xff xfff xx，则 3 个一组，有36240C 因此题述所求为1 64047 个 故答案为：47.106【详解】解析：因为3311(1)111(1)1nnn nnnnn，累乘可得原式22(1)1222(1)33(1)n nnnn nn n，则 232333323122211nnmnnmm，故223232221nnnnm，从而可得 2326131816 162(1)(2)(1)(2)nnmnnnnnn，则12 18nn，且,2m n，在12nn

8、的值为 6，9，18，故4n，2m 故6mn 故答案为：6.11123801【详解】解析：由题意可得ab b，4cdd，则b必为完全平方数，d一定能开 4 次方 设2bn，4dm，则223 101bdnmnm，且注意到 3，101 都是质数，则答案第 5 页，共 5 页 223031nmnm 或者221013nmnm，解得52n，7m，则35123801acnm 故答案为：123801.12800【详解】解析：法一：因为22020 25 101，故能被 2 整除的数有 1010 个，能被 5 整除的数有 404 个，能被 101 整除的数有 20 个，既能被 2 整除又能被 5 整除的数有 202 个，既能被 2 整除又能被 101 整除的数有 10 个，既能被 5 整除又能被 101 整除的数有 4 个，既能被 2 整除又能被 5 和 101 整除的数有 2 个 故与 2020 不互质的有101040420202 10421220，则2020800 故答案为：800.法二：2202025101=800.故答案为：800.