2023学年湖北省荆荆襄宜四地七校考试联盟高三第三次测评数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数1ln1yxx的图象大致为()A B C D 2 如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E 为 AD 的中点，若(,)CACEDBR，则 的值为（）A65 B85 C2 D83 3已知曲线2

2、4xy，动点P在直线3y 上，过点P作曲线的两条切线12,l l，切点分别为,A B，则直线AB截圆22650 xyy所得弦长为（）A3 B2 C4 D2 3 4已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，点M为棱1DD的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）A3 B23 C D43 5设集合U R（R为实数集），|0Ax x，|1Bx x，则UAC B（）A1|0 xx B|01xx C|1x x D|0 x x 6某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A2 22 3SS，且 B2 22 3SS，且 C2 22 3SS，且 D2 22 3S

3、S，且 7关于x的不等式0axb的解集是(1,)，则关于x的不等式()(3)0axb x的解集是（）A(,1)(3,)B(1,3)C(1,3)D(,1)(3,)8定义在2 2,上的函数 f x与其导函数 fx的图象如图所示，设O为坐标原点，A、B、C、D四点的横坐标依次为12、16、1、43，则函数 xf xye的单调递减区间是（）A1 4,6 3 B1,12 C11,26 D1,2 9已知 F 是双曲线22:4|C kxyk（k 为常数）的一个焦点，则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为（）A2k B4k C4 D2 10如图，已知三棱锥DABC中，平面DAB 平面ABC，记二面角DA

4、CB的平面角为，直线DA与平面ABC所成角为，直线AB与平面ADC所成角为，则（）A B C D 11设，则是的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 12若复数21 iz，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）Az的虚部为i B2z Cz的共轭复数为1i D2z为纯虚数 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有_种不同的支付方式.14设为锐角，若2cos()64，则sin2的值为_ 15袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球

5、，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为_.16设实数x，y满足020560 xyxyxy，则2zxy的最大值是_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）设函数 ln1f xxax.（1）若函数 yf x在1,是单调递减的函数，求实数a的取值范围；（2）若0nm，证明：2ln2lnnnmm.18（12 分）在平面直角坐标系中，曲线2212:Cxy，曲线2C的参数方程为22cos2sinxy（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线1C、2C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线6与曲线1C，2C分别交于A、B两点

6、（异于极点O），定点(3,0)M，求MAB的面积 19（12 分）在ABC角中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若3asinBbcosA（1）求角 A；（2）若ABC的面积为2 35a，求ABC的周长 20（12 分）已知矩阵1101A,二阶矩阵B满足1001AB.（1）求矩阵B;（2）求矩阵B的特征值 21（12 分）某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件 A 的维修工作 每个工人独立维修 A 元件需要时间相同维修处记录了某月从 1 日

7、到 20 日每天维修元件 A 的个数，具体数据如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这 20 天中随机选取一天，随机变量 X 表示在维修处该天元件 A 的维修个数（）求 X 的分布列与数学期望；（）若 a，b*N，且 b-a=6，求P aXb最大值；（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个

8、维修工人每天维修元件 A 的个数的数学期望不超过 4 个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）22（10 分）在ABC中，M为BC边上一点，45BAM，5cos5AMC.（1）求sinB；（2）若12MCBM，4AC，求MC.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x 时的函数值可排除三个选项【详解】0 x 时，函数为减函数，排除 B，10 x 时，函数也是减函数，排除 D，又1x 时，1 ln20y ，排除 C，只有 A 可满足 故选：A.【点睛】本题考查由

9、函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项 2B【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,CA CE DB，利用(,)CACEDBR，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0，0).不妨设 AB1，则 CDAD2，所以 C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CACEDB CACEDB(2，2)(2，1)(1，2)，2222 解得6525则85.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的

10、结果求参数，属于中档题.3C【解析】设221212,(,3)44xxA xB xP t，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P点坐标代入切线方程，抽象出直线AB方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.【详解】圆22650 xyy可化为22(3)4xy.设221212,(,3)44xxA xB xP t，则12,l l的斜率分别为1212,22xxkk，所以12,l l的方程为21111:24xxlyxx，即112xyxy，22222:24xxlyxx，即222xyxy，由于12,l l都过点(,3)P t，所以11223232xtyxty ，即 1122,A x yB x y

11、都在直线32xty 上，所以直线AB的方程为32xty，恒过定点(0,3)，即直线AB过圆心(0,3)，则直线AB截圆22650 xyy所得弦长为 4.故选:C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.4A【解析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为O，O到平面ACM的距离为d，截面圆的半径为r，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1，又因为O AMCMAOCVV，所以1233AMCAOCdSS，又因为

12、22112 2526,2 2 1222AMCAOCSS，所以12633d，所以63d，所以截面圆的半径22313rd，所以截面圆的面积为2333S.故选：A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.5A【解析】根据集合交集与补集运算,即可求得UAC B.【详解】集合U R,|0Ax x,|1Bx x 所以1UC Bx x 所以 0101UAC Bx xx xxx 故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.6D【解析】如图所示：在边长为2的正方体11

13、11ABCDABC D中，四棱锥1CABCD满足条件，故2,2 2,2 3S，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCDABC D中，四棱锥1CABCD满足条件.故12AB BC CD AD CC，112 2BCDC，12 3AC.故2,2 2,2 3S，故22S，2 3S.故选：D.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.7A【解析】由0axb的解集，可知0a 及1ba，进而可求出方程30axbx的解，从而可求出30axbx的解集.【详解】由0axb的解集为1,，可知0a 且1ba，令30axbx，解得11x ，23x，因为0a，

14、所以30axbx的解集为,13,，故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.8B【解析】先辨别出图象中实线部分为函数 yf x的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数 xf xye的导数为 xfxf xye，由0y，得出 fxf x，只需在图中找出满足不等式 fxf x对应的x的取值范围即可.【详解】若虚线部分为函数 yf x的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数 yf x的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x轴恰好也只有两个交点，合乎题意.对函

15、数 xf xye求导得 xfxf xye，由0y得 fxf x，由图象可知，满足不等式 fxf x的x的取值范围是1,12，因此，函数 xf xye的单调递减区间为1,12.故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.9D【解析】分析可得k0,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当0k 时,等式224|kxyk不是双曲线的方程；当k0时,224|4kxykk,可化为22144yxk,可得虚半轴长2b,所以点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 2.故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程

16、与点到直线的距离.属于基础题.10A【解析】作DDAB于D,DEAC于E,分析可得DED,DAD,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.【详解】作DDAB于D,DEAC于E.因为平面DAB 平面ABC,DD 平面ABC.故,ACDE ACDD,故AC 平面DED.故二面角DACB为DED.又直线DA与平面ABC所成角为DAD,因为DADE,故sinsinDDDDDEDDADDEDA.故,当且仅当,A E重合时取等号.又直线AB与平面ADC所成角为,且DAD 为直线AB与平面ADC内的直线AD所成角,故,当且仅当BD 平面ADC时取等号.故.故选：A【点睛】本题主要考查了

17、线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.11A【解析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，充分性；当，取，验证成立，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.12D【解析】将复数z整理为1i的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】2 121111iziiii z的虚部为1，A错误；1 12z ，B错误；1zi，C错误；2212zii，为纯虚数，D正确 本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.二、填空题

18、：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。131【解析】按照个位上的 9 元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可【详解】9 元的支付有两种情况，522或者521 1，当 9 元采用522方式支付时，200 元的支付方式为2 100，或者1 100250或者1 1001 5022010 共 3 种方式，10 元的支付只能用 1 张 10 元，此时共有1 3 13 种支付方式；当 9 元采用521 1 方式支付时：200 元的支付方式为2 100，或者1 100250或者1 1001 5022010 共 3 种方式，10 元的支付只能用 1 张 10 元，此时共有1 3 13

19、 种支付方式；所以总的支付方式共有3 36 种 故答案为：1【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整 1473 38【解析】为锐角，2cos()64，14sin()64，7sin(2)2sin()cos()3664，23cos(2)2cos()6134 ，故sin2sin(2)sin(2)co713373 342428scos(2)sin333333.1547【解析】基本事件总数n49C126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数 m112121211234234234C C CC C CC C C72，由此能求出其中三种颜

20、色的球都有的概率【详解】解：袋中有 2 个红球，3 个白球和 4 个黄球，从中任取 4 个球，基本事件总数 n49C126，其中三种颜色的球都有，可能是 2 个红球，1 个白球和 1 个黄球或 1 个红球，2 个白球和 1 个黄球或 1 个红球，1 个白球和 2 个黄球，所以包含的基本事件个数 m112121211234234234C C CC C CC C C72，其中三种颜色的球都有的概率是 p7241267mn 故答案为：47【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 161【解析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求

21、出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解【详解】作出实数x，y满足02 056 0 xyxyxy表示的平面区域，如图所示：由2zxy可得2yxz，则z表示直线2zxy在y轴上的截距，截距越小，z越大.由0560 xyxy可得(1,1)C，此时z最大为 1，故答案为：1 【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）2a（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数()fx，由 0fx在1,上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x，不等式凑配后知，利用2a 时 1nffm可证

22、结论【详解】（1）因为 yf x在1,上单调递减，所以 102afxxx，即2ax在1,上恒成立 因为2yx在1,上是单调递减的，所以20,2x，所以2a （2）因为0nm，所以1nm 由（1）知，当2a 时，yf x在1,上单调递减 所以 1nffm 即ln210nnmm 所以2ln2lnnnmm.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明 18（1）22221:cossin2C，2:4cosC；（2）3 332.【解析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先

23、利用极坐标求出弦长AB，再求高，最后求MAB的面积【详解】（1）曲线1C的极坐标方程为：2222cossin2，因为曲线2C的普通方程为：2224xy，2240.xyx 曲线2C的极坐标方程为4cos；（2）由（1）得：点A的极坐标为2,6，点B的极坐标为2 3,6，22 32 32AB，3,0M点到射线06的距离为33sin62d MAB的面积为 1133 332 322222AB d.【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.19（1）3；（2）1.【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinB=

24、3sinBcosA，求得 tanA=3，结合范围 A（0，），可求 A=3（2）利用三角形的面积公式可求 bc=8，由余弦定理解得 b+c=7，即可得解 ABC 的周长的值【详解】（1）由题意，在ABC中，因为3asinBbcosA，由正弦定理，可得 sinAsinB=3sinBcosA，又因为(0,)B，可得 sinB0，所以 sinA=3cosA，即：tanA=3，因为 A（0，），所以 A=3；（2）由（1）可知 A=3，且 a=5，又由 ABC 的面积 23=12bcsinA=34bc，解得 bc=8，由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c

25、）2-3bc=（b+c）2-24，整理得（b+c）2=49，解得：b+c=7，所以 ABC 的周长 a+b+c=5+7=1【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 20（1）1101B（2）特征值为1或1【解析】（1）先设矩阵B,根据1001AB,按照运算规律,即可求出矩阵B.（2）令矩阵B的特征多项式等于0,即可求出矩阵B的特征值【详解】解：（1）设矩阵abBcd由题意,因为1001AB,所以11100101abcd 1001acbdcd ,即1101abcd 所以2101B,（2）矩阵B的特征多项式 11f,令

26、0f ,解得1或1,所以矩阵B的特征值为1 或1【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.21（）分布列见解析，15E X；()34；()至少增加 2 人.【解析】（）求出 X 的所有可能取值为 9，12，15，18，24，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解期望即可（）当 P（aXb）取到最大值时，求出 a，b 的可能值，然后求解 P（aXb）的最大值即可（）利用前两问的结果，判断至少增加 2 人【详解】()X 的取值为：9，12，15，18，24；3920P X,51220P X,71520P X,21820P X,32420P X，X 的分布

27、列为：X 9 12 15 18 24 P 320 520 720 220 320 故 X 的数学期望 35723912151824152020202020E X ；()当 P(aXb)取到最大值时,a,b 的值可能为：915ab,或1218ab,或1824ab.经计算159150(2)PX,14121()820PX,5182()420PX，所以 P(aXb)的最大值为153204.()至少增加 2 人.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.22（1）1010；（2）4【解析】（1）BAMCBAM，利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设MCx，在ABM中，用正弦定理将AM用 x 表示，在ACM中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1）5cos5AMC，2 5sin5AMC，所以，sinsin()BAMCBAM sincoscossinAMCBAMAMCBAM 2 525210525210.（2）12MCBM，设MCx，2BMx，在ABM中，由正弦定理得，sin45sinBMAMB，2210210 xAM，2 55AMx，2222cosACAMMCAM MCAMC，22242 5542555xxx x 4MCx.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.