湖北省武汉市2022届高三下学期四月调研数学试题解析版.pdf

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1、试卷第 1 页，共 5 页 湖北省武汉市 2022 届高三下学期四月调研数学试题 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分

2、，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数11 iz，则z的虚部为（）A1 B1 C12 D12 2已知ln21.13e,log 4,2abc，则（）Aabc Bcab Cacb Dcba 3若椭圆2221(0)xyaa的离心率为22，则a的值为（）A2 B12 C2或22 D2或12 4如图，在棱长为 2 的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（）A2 23 B43 C4 23 D83 试卷第 2 页，共 5 页 5设sin32k，则1tan16tan16（）A2k B1k C2k Dk 6已知直线100axbyab 过圆

3、22122022xy的圆心，则11ab的最小值为（）A32 2 B32 2 C6 D9 7定义在R上的函数 f x满足 12f xf x，则下列是周期函数的是（）A yf xx B yf xx C 2yf xx D 2yf xx 8某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X的期望 E X和方差 D X存在但其分布末知的情况下，对事件“XE X”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：,P XE Xf D X，其中,f D X是关于 D X和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定,f D X的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据

4、所学相关知识，确定该形式是（）A 2D X B 21D X C 2D X D 2D X 二、多选题 9已知集合1,4,1,2,3AaB，若1,2,3,4AB，则a的取值可以是（）A2 B3 C4 D5 10在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量y（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：x 12 14 16 18 20 y 17 16 14 13 11 试卷第 3 页，共 5 页 利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为26.2ybx，则下列说法中正确的是（）Ax与y的样本相关系数0r B回归直线必过点16,14.2 C0b D若该产品的零售价定为 22 元，可预

5、测销售量是9.7万件 11函数 sincos0f xxax a在一个周期内的图象可以是（）A B C D 12数列 na共有M项（常数M为大于 5 的正整数），对任意正整数k M，有10kMkaa，且当2Mn时，12nna.记 na的前n项和为nS，则下列说法中正确的有（）A若10231024nS，则20M B na中可能出现连续五项构成等差数列 C对任意小于M的正整数,p q，存在正整数,i j，使得ijpqaaSS D对 na中任意一项ra，必存在,sta a st，使得,rsta a a按照一定顺序排列可以构成等差数列 三、填空题 13若平面向量 1,1,2,abm满足aab，则m _.

6、14若一个偶函数的值域为0,1，则这个函数的解析式可以是 f x _.15如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为 70 米，水平方向上塔身最窄处的半径为 20 米，最高处塔口试卷第 4 页，共 5 页 半径 25 米，塔底部塔口半径为20 2米，则该双曲线的离心率为_.四、双空题 16三棱锥PABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形，且2 2AC，各侧棱长均为 3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的动点，则E到平面ABC的距离为_；设Q到平面PBC的距离为1,d Q到直线AB的距离为2d，则12dd的最小值为_.五、解答题 17公差不

7、为零的等差数列 na满足358aa a，61a.(1)求 na的通项公式；(2)记 na的前n项和为nS，求使nnSa成立的最大正整数n.18某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱 10个.在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取 3 个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件.(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的 3 个电子元件进行检测的次数为X，求X的分布列及期望.19如图，圆台上底面圆1O半径为 1，下底面圆2O半径为2,AB为圆台下底面的一条

8、直径，圆2O上点C满足1,ACBC PO是圆台上底面的一条半径，点,P C在平面1ABO的同侧，且1/POBC.试卷第 5 页，共 5 页 (1)证明：平面PAC 平面ABC；(2)若圆台的高为 2，求直线1AO与平面PBC所成角的正弦值.20如图，ABC内一点P满足,2PBPC ACBP.(1)若6,2ABPC，求sin ACP的值；(2)若15,sin10ABACP，求AP的长.21已知抛物线2:2(0)E ypx p，点1,4Qm为E上一点，且Q到E的准线的距离等于其到坐标原点O的距离.(1)求E的方程；(2)设AB为圆22(2)4xy的一条不垂直于y轴的直径，分别延长,AO BO交E于

9、,C D两点，求四边形ABCD面积的最小值.22定义在,2上的函数 sinf xxkx.(1)当6k 时，求曲线 yf x在点,06处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；(2)将 fx的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 nx，若 120f xf x，求k的值.答案第 1 页，共 16 页 参考答案：1C【解析】【分析】先化简求出z，即可得出答案.【详解】因为11 i11i1 i1 i1 i22z，所以z的虚部为12.故选：C.2B【解析】【分析】利用中间值结合单调性判断两数的大小【详解】ln22ea，33log 4log 92ba，1.1122ca，cab 故选：B 3C【解析】【分

10、析】分21a 和21a，利用离心率的定义求解.【详解】解：当21a，即1a 时，则222122aa，解得2a；当21a，即01a时，则221212a，解得22a，综上：a的值为2或22，故选：C 4B【解析】【分析】答案第 2 页，共 16 页 正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，棱锥的高为1，由体积公式计算可得答案.【详解】该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为14222 133.故选：B.5A【解析】【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16co

11、s16tan16tan16cos16sin16 22sin 16cos 16sin16cos16 11sin322 2k.故选：A.6A【解析】【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21ab，由11112ababab，利用基本不等式可求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心1,2；直线100axbyab 过圆的圆心，210abab；111122233232 2abababababbaba（当且仅当2abba，即答案第 3 页，共 16 页 2ab时取等号），11ab的最小值为32 2.故选：A.7D【解析】【分析】根据已知条件进行化简，结合周期函数的知识确定正确选项.【详解】依题意，定义在R

12、上的函数 f x满足 12f xf x，所以 1212f xxf xx，所以 2yf xx是周期为1的周期函数.故选：D 8D【解析】【分析】由题知 22P XE XP XE X，计算可得结果.【详解】切比雪夫不等式的形式为：,P XE Xf D X，由题知 22222EXE XD XP XE XP XE X，则 2D XD XE X，则,f D X的具体形式为 2D X.故选：D.9AB【解析】【分析】根据并集的结果可得1,4,a1,2,3,4，即可得到a的取值；答案第 4 页，共 16 页【详解】解：因为1,2,3,4AB，所以1,4,a1,2,3,4，所以2a 或3a；故选：AB 10B

13、CD【解析】【分析】对于 A，根据相关系数的公式的特点即可求解；对于 B，C，根据已知条件，求出变量x与y的均值，再利用线性回归直线方程过样本中心，即可得出回归方程，进而可以求解；对于 D，将22x 代入该线性回归方程中即可求解.【详解】由表中数据可知 1214161820801655x，17161413 117114.255y，对于 A，根据相关性系数的公式为12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，故相关系数的正负取决分子 51()()iiixxyy 42.821.800.221.243.2300 故 A 不正确；对于 B,C，由变量x与y的均值，得样本点的中心为1

14、6,14.2，所以样本点的中心16,14.2必过线性回归方程，故 B 正确；将16,14.2代入26.2ybx中，得1626.14.22b，解得0.75b ，所以0.750b ，故 C 正确；因为0.75b ，所以回归直线方程为0.7526.2yx，当22x 时，0.752226.216.526.29.7y ，所以该产品的零售价定为 22 元，可预测销售量是9.7万件，故 D 正确.答案第 5 页，共 16 页 故选：BCD.11AC【解析】【分析】由函数 2sincos1sinf xxaxax，利用平移变换判断.【详解】函数 2sincos1sinf xxaxax，其中tana，因为0a，所

15、以,2 2 ，即2，又函数 f x是由2i1s nyax向左或向右平移个单位得到的，AC 符合题意，故选：AC 12BCD【解析】【分析】根据题中的条件可得数列 na具有对称性，故通过对称性及根据对称性举例来判断选项即可.【详解】对于 A，根据条件可知，数列 na具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为 1 个，则必为 0.下面对M讨论.当M为偶数（数列 na各个数非零），2max2111221023()1102412MnMSS，得102111210242M，所以20M.当M为奇数（数列 na120Ma），12max112211023()121024MnMMSSS，解得答案第 6

16、页，共 16 页 21M，故 A 错误；对于 B，显然满足，如1 111,0,2 442，故 B 正确；对于 C，通过数列具有对称性知，对任意小于M的正整数,p q有，pqSS的值是该数列中的一项或两项，当值为一项时，因为任意小于M正整数,p q，故该项必定为中间项，数列12nna 刚好具备相邻两项差为该数列的某一项；如果为两项，显然直接找出其两项即可，故 C 正确；对于 D，考虑到数列1 1 1 11111,2 4 8 1616842，满足112111122222nnnn，当2Mn 时，22nm nnaaa；当2Mn 时，由对称性，也成立，例：1111248816 .故选：BCD【关键点点睛

17、】解决本题的关键一是对称性的运用，二是通过举例来判断选项，三是分类讨论思想的运用.130【解析】【分析】由题意得0aba，代入坐标进行计算即可【详解】aab，0aba，又 1,1,2,abm，1,1 abm，1 10m ，即0m，故答案为：0 142x（答案不唯一，其它正确答案同样给分）【解析】【分析】取()2xf x，验证函数为偶函数且值域为0,1即可.【详解】答案第 7 页，共 16 页 取()2xf x，函数的定义域为,且关于原点对称，()22()xxfxf x，所以函数()2xf x为偶函数.00,0,0221xxx，即01y 所以函数()2xf x的值域为0,1.故答案为：2x（答案

18、不唯一，其它正确答案同样给分）.155【解析】【分析】以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为222210,0 xyabab，由题意求出ac、可得答案.【详解】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为222210,0 xyabab，由题意知220CDa，所以20a，25,Am，20 2,70Fm，所以222222222512020 270120mbmb，解得4030bm，所以22216004002000cab，所以2000e520ca.故答案为：5.答案第 8 页，共 16 页 1

19、6 72#172 142#1142【解析】【分析】取AC中点O，连接,PO BO，通过得出PO 平面ABC可求出E到平面ABC的距离，以O为原点建立空间直角坐标系设01CQCE，利用向量关系表示出12dd，求导可求出最小值.【详解】取AC中点O，连接,PO BO，因为3PAPC，2 2AC，所以POAC，且2327PO，因为ABC是等腰直角三角形，所以BOAC，且2BO，又3PB，满足222PBPOBO，所以POBO，因为ACBOO，所以PO 平面ABC，因为点E为棱PA的中点，所以E到平面ABC的距离为1722PO；如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设01CQCE,则 270,2,0,0,

20、0,0,7,0,2,0,2,0,022CEPAB，则3 272,0,7,0,2,7,2,2,0,0,22PBPCABCE，设01CQCE，则可得3 270,22CQ，答案第 9 页，共 16 页 则3 270,2,22Q，则3 270,2 2,22AQ，所以243cos254832AQ ABQABAQAB，所以22162416sin254832QAB,所以22sin464dAQQAB,设平面PBC的法向量为,nx y z，则00n PBn PC，即270270 xzyz，令7x，可得7,7,2n，则1144CQ ndn，所以 21214464,014ddf，所以 243144464f，令 0f

21、，解得25，又 2270464464f，所以 f在 0,1单调递增，所以当20,5时，0f，0f单调递减，当2,15时，0f，0f单调递增，所以 min21452ff，即12dd的最小值为142.故答案为：72；142.答案第 10 页，共 16 页 17(1)211nan(2)10n 【解析】【分析】（1）设 na的公差为0d d，利用等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d，由此可得na；（2）由等差数列求和公式可求得nS，由nnSa可构造不等式组求得n的范围，由此可得结果.(1)设等差数列 na的公差为0d d，由35861aa aa得：111124751adadadad，解得：192

22、ad，921211nann .(2)由（1）得：29211102nnnSnn，若nnSa，210211nnn，即212111110nnnn，解得：111n；nnSa成立的最大正整数10n.答案第 11 页，共 16 页 18(1)710；(2)分布列答案见解析，数学期望：10945.【解析】【分析】（1）依题意，利用古典概型的公式计算求解；（2）利用概率的乘法计算每一个随机变量取值的概率，再求数学期望.(1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件 A.则 39310710CP AC；(2)X可能取值为1,2,3，则211105P X；828210945P X，873.1095284P X

23、故X的分布列是 X 1 2 3 P 15 845 2845 故 18281091235454545E X 19(1)证明见解析(2)2 3015【解析】【分析】（1）取AC中点M，四边形12POO M为平行四边形，从而得到12/PMOO，根据12OO 平面ABC可得PM 平面ABC，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO及平面PBC的法向量后可求线面角的正弦值.答案第 12 页，共 16 页(1)取AC中点M，由题意，121,22POBCAB，又1/POBC，故1111/,22POBC POBC.又2211/,22O MBC O MBC，故1212/,POO

24、M POO M，所以四边形12PO O M为平行四边形，则12/PMOO.由12OO 平面ABC，故PM 平面ABC，又PM 面PAC，故平面PAC 平面ABC.(2)以2O为坐标原点，2221,O B O C O O的方向为,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：1222,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,0,222ABCPO，故12,0,2.AO 设平面PBC的法向量,nx y z 而222,2,0,222BCCP ，故220222022n BCxyn CPxyz ，令1z，得2,2,1.n 设所求角的大小为，则111222 30sincos,1565AO nAO

25、 nAOn.所以直线1AO与平面PBC所成角的正弦值为2 3015.答案第 13 页，共 16 页 20(1)1026(2)55【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BC，再利用余弦定理求出cosACB，利用同角三角函数基本关系式求出sinACB，最后利用两角差的正弦公式计算即可（2）设APx，在APB与APC采用余弦定理与正弦定理，然后利用APB与APC的关系列出关于x 的方程，解出x 即可(1)226BCBPPC，此时2326cos,sin3366PCBPPCBPCBBCBC.在ABC中，2226cos26ACBCABACBAC BC，又sin0ACB，故2630sin166ACB 所以

26、sinsinsincoscossinACPACBPCBACBPCBACBPCB 3036610263636(2)设(0)APx x，在APB中，22221cos24APBPABxAPBAP BPx.在APC中，sinsinAPACACPAPC，代入得：1sin5APCx.又32APBAPC，故3coscossin2APBAPCAPC.答案第 14 页，共 16 页 即21145xxx，解得：55x，所以55AP.21(1)22yx(2)16【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义可知，QOQF，即可列式求p；（2）首先设直线AC的方程为：ykx，分别与圆的方程和抛物线方程联立，求点,A C的坐标

27、，利用弦长公式求AC，再利用ACBD，求BD，最后表示四边形的面积12SACBD，再通过换元，利用导数求函数的最值.(1)设抛物线焦点,02pF，由题意QOQF，故1224p，解得：1p.故抛物线的标准方程为22yx.(2)由题意，直线AC斜率存在且不为 0，设直线AC的方程为：ykx，设点1122,A x yC xy，2224ykxxy，联立得：22140kxx，由10 x，得124.1xk 22ykxyx，联立得：2220k xx，由20 x，得222.xk 2221222 311.1kACkxxkk 因为ACBD，用1k代替k，得22222321231111kkkBDkkk.故四边形AB

28、DC面积2222266202 3131121kkkkSACBDk kkk.答案第 15 页，共 16 页 令216882,6tkt tStktt.设函数 222886862,60tf tttftttt，故f t单调递增.故当2t，即1k时，S取到最小值 16，所以四边形ABCD面积的最小值是 16.22(1)2144(2)2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.(1)当6k 时，sin,sincos66fxxx fxxxx，故

29、1sin662f.曲线 yf x在点,06处的切线的斜率为162kf，曲线 yf x在点,06处的切线方程为126yx，令0,12xy.所以切线与y轴的交点0,12.此时所求三角形的面积为212126144.(2)sincosfxxxkx 当22x时，costanfxxxxk.由函数tanyxx在区间,2 2上递增，且值域为R，故存在唯一0,2 2x，使得00tanxxk.此时当02xx时，0,fxf x单调递减；当02xx时，0,fxf x单调递增，因此10 xx.答案第 16 页，共 16 页 同理，存在唯一03,22x，使得00tanxxk.此时当02xx时，0,fxf x单调递增；当0

30、32xx时，0,fxf x单调递减，因此20 xx.由 211111111sin10,tan,coscoscosxfxxkxf xxxx .同理：222222sin1coscoscosxf xxxx.由 120f xf x，整理得：12121coscos10cos cosxxxx.又123222xx，故12cos cos1xx，则有122coscoscosxxx 由222x，故12xx或12xx.又1122tantankxxxx，当12xx时，不满足，舍去.所以12xx，即12xx，则1122tantan22xxxxk.综上所述，2k.【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.