天津市和平区2022届高三下学期一模数学试题解析版.pdf

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1、试卷第 1 页，共 4 页 天津市和平区 2022 届高三下学期一模数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单

2、选题 1全集UZ，集合22,1,0,1,2AxxxNB，则UAB（）A1,2 B1,0 C 0,1 D2 2已知命题:0,1 e1xpxx，则命题p的否定为（）A0,1 e1xxx B0000,1 e1xxx C0,1 e1xxx D0000,1 e1xxx 3下列函数中，图像为下图的是（）A1()|1|f xx B1()|1|f xx C1()|1|f xx D1()|1f xx 4为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图 若要对 40%成绩较高的学生进行奖励，则获试卷第 2 页，共 4 页 奖学生的最低成绩可能为（）A65 B

3、75 C85 D95 5已知1e,1x，记lnln1ln,e2xxax bc，则,a b c的大小关系是（）Aacb Babc Ccba Dbca 6中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，若鳖牖PADE的体积为 l，则阳马PABCD的外接球的表面积等于（）A17 B18 C19 D20 7设函数 4sinf xx，其中01，若348f，908f，则 f x在0,2上的单调减

4、区间是（）A30,8 B185,2 C315,88 D0,8已知双曲线22221(0,0)yxabab的一条渐近线过点3,2，且双曲线的一个焦点在抛物线24 7xy的准线上，则双曲线的方程为（）试卷第 3 页，共 4 页 A2212128yx B2212821xy C22143xy D22143yx 9已知函数2sin,022()68,24xxf xxxx，若函数()()1g xf xkx恰有三个零点，则实数k的取值范围为()A31,44 B31,44 C41,34 D41,34 二、双空题 10若复数z满足3434i zi，则z的模为_，虚部为_ 11为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“

5、k合 1 检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还要对本组的每个人再做检测.若有 100 人，已知其中 2 人感染病毒，采用“10 合一检测法”，若 2名患者在同一组，则总检测次数为_次；若两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，则数学期望 E X为_.12在ABC中，3ABAC，23ADBD，2CFAD，514AF CD，则BC _，延长DF交AC于点E，点P在边BC上，则DP EP的最小值为_.三、填空题 13在812xx的展开式中，1x的系数是_.14已知圆C的圆心在直线220 xy上，且与直线l：34280

6、xy相切于点(4,4)P.则圆C的标准方程为_.15已知0ab，则41aabab的最小值为_ 四、解答题 16已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，满足2sin2sin2 sinabAbaBcC.(1)求角C的大小；(2)若3tan2A，求sin 2A C的值.17平行四边形ABCD所在的平面与直角梯形ABEF所在的平面垂直，BEAF，试卷第 4 页，共 4 页 112ABBEAF，且,2,4ABAFCBABCP为DF的中点.(1)求证：ACEF；(2)求点P到平面BCE的距离；(3)若直线EF上存在点H，使得直线,CF BH所成角的余弦值为105，求直线BH与平面ADF成角的

7、大小.18已知椭圆 C：2222xyab1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P（1，22）在椭圆 C 上，且|PF2|3 22（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，若椭圆 C 上存在点 N，满足ON 3OM（O 为坐标原点），求直线 l 的方程 19已知等差数列 na各项均不为零，nS为其前n项和，点211,nnaS在函数 2(1)f xx的图像上.(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足13nnnab，求 nb的前n项和nT；(3)若数列 nc满足114(1)nnnnnca a，求 nc的前n项和的

8、最大值、最小值.20设函数2()ln1f xxa xx，其中Ra.(1)1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；(2)讨论函数 fx极值点的个数，并说明理由；(3)若 0,0 xf x 成立，求a的取值范围.答案第 1 页，共 17 页 参考答案：1A【解析】【分析】先求的A，再求UA，最后求解UAB即可.【详解】因为22,AxxxN 0,1，UZ，故UA|x xZ且0,1xx，则UAB 1,2.故选：A.2D【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法求解即可.【详解】:0,1 e1xpxx 的否定为000:0,1 e1xpxx.故选：D.3B【解析】【分析】根据奇偶性可

9、排除 AC，利用112f可排除 D.【详解】由图象可知：f x 定义在 ,11,11,上的偶函数，对于 AC，f x为非奇非偶函数，可排除 AC；对于 D，当12x 时，112112312f，与图象不符，可排除 D；答案第 2 页，共 17 页 对于 B，1,111,1011,0111,11xxxxf xxxxx ，可知图象与函数相符，B 正确.故选：B.【点睛】方法点睛：判断函数图象或根据图象选择解析式的问题，通常采用排除法来排除错误选项，进而得到正确结论，排除的依据有：奇偶性；特殊位置函数值的符号；单调性.4C【解析】【分析】根据频率分布直方图分别求出成绩在90,100，80,90的频率，

10、进而得解.【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在90,100的频率为0.018 100.18 成绩在80,90的频率为0.044100.44，0.440.044 100.222 又0.180.220.4，所以 40%成绩较高的学生的分数在80,100之间，且最低分数为85 故选：C 5A【解析】【分析】根据1e,1x，利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】解：因为1e,1x，所以lnln1ln1,0,e211,2,1e xxaxbc，所以acb，答案第 3 页，共 17 页 故选：A 6A【解析】【分析】先根据鳖牖PADE的体积为 l，求得3PA，再根据阳马PABCD的外接球的直径是以,

11、AD AB AP为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积【详解】由题意，因为PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，又由鳖牖PADE的体积为1，所以1112 11332p AEDAEDVPA SPA ，解得3PA，而阳马PABCD的外接球的直径是以,AD AB AP为宽，长，高的长方体的体对角线，所以2222244917RADABAP（），即2417R，球的表面积为2417R 故选 A 【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马PABCD的外接球的直径是以,AD AB AP为宽，长，高的长方体的体对角线

12、是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 7C【解析】【分析】根据 f x的对称中心、零点求得，进而求得，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.【详解】答案第 4 页，共 17 页 据题意可以得出直线38x 和点98,0分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，所以21 932121 2 3488442kkkT，即423k（Zk），所以23；又由348f得23sin138，即2 42k（Zk），所以4，所以 4sinf x 234x；由 232 2 2342kxk得 f x的单调减区间为3153 ,3 88kk（Zk），所以 f x在0,2上的单调减区间是315,88.故选：C 8

13、D【解析】【分析】根据题意列出,a b c满足的等量关系式，求解即可.【详解】因为3,2在双曲线22221(0,0)yxabab的一条渐近线ayxb上，故可得32ab；因为抛物线24 7xy的准线为7y ，故7c ，又222abc；解得224,3ab，故双曲线方程为：22143yx.故选：D.9B【解析】【分析】作出函数()yf x的图象，则函数()yg x有三个不同的零点，等价于直线1ykx与曲线()yf x的图象有三个不同交点，考查直线1ykx与圆22(3)1xy相切，且切点位答案第 5 页，共 17 页 于第三象限时以及直线1ykx过点(4,0)时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值

14、范围【详解】解：当24x时，268yxx ，则0y，等式两边平方得2268yxx，整理得22(3)1xy，所以曲线268(24)yxxx 表示圆22(3)1xy的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数()yg x有三个不同的零点，等价于直线1ykx与曲线()yf x的图象有三个不同交点，直线1ykx过定点(0,1)P，当直线1ykx过点(4,0)A时，则410k ，可得14k ；当直线1ykx与圆22(3)1xy相切，且切点位于第三象限时，0k，此时2|31|11kk，解得34k 由图象可知，当3144k时，直线1ykx与曲线()yf x的图象有三个不同交点 因此，实数k取值范围是31,44 故

15、选：B【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题 10 1 45【解析】【分析】答案第 6 页，共 17 页 把已知等式变形，利用复数的代数形式的乘除运算，再利用复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数z满足3434i zi，可得345 343434343455iiziiii，所以2234()()155z，且复数z的虚部为45.故答案为：1，45.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念及复数模的计算，着重考查了计算能力，属于基础题.11 20 32011【解析】【分析】采

16、取“k合 1 检测法”，每组检查一次，共需 10 次，又两名患者在同一组，需再检查 10次，可得一共需要检查的次数；由题意得随机变量X可能取的值是 20，30，分别求得20P X，30P X，从而得其分布列和期望.【详解】解：采取“k合 1 检测法”，每组检查一次，共需 10 次，又两名患者在同一组，需再检查 10次，因此一共需要检查 20 次；由题意得，随机变量X可能取的值是 20，30，12011P X，103011P X，所以随机变量X的分布列为：X 20 30 P 111 1011 所以 11032020+30111111E X，答案第 7 页，共 17 页 故答案为：20；32011

17、.12 3 316【解析】【分析】(1)以AC，AB为基底表示AF，CD，根据数量积的运算律化简514AF CD，由此可求BC，(2)建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式表示DP EP，再求其最小值.【详解】解：由23ADBD，可得3CDCAADCAAB 由2CFAD，可得32AFACCFACAB，332AF CDABACABAC 229322ABAB ACAC 93513333cos224A ，则1cos2A.3BC.如图建立平面直角坐标系，可得3,02B，3,02C，30,2A，设,0P x，3322x.2CFAD，/CF AD，2CFAD1，C为AE中点，2AEAC，3333 3

18、3,3,32222PDPAADPAABxx ，33332,2,3,2222PEPAAEPAACxx ，23 33333222DP EPPD PExxxx 3322x，34x 时，DP EP最小，最小值为316.答案第 8 页，共 17 页 答案为：3，316.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 13112【解析】【分析】由二项式定理求解【详解】由二项式定理知812xx的展开式的通项为 388821881221rrrrrrrrTCxCxx 令3812r 得6r 故7112Tx

19、故答案为：112 1422125xy【解析】【分析】由圆C与直线l：34280 xy相切于点(4,4)P，可得过切点与圆心的直线m的方程再根据圆C的圆心在直线220 xy上，可求得圆心坐标，从而可得答案.【详解】答案第 9 页，共 17 页 解：过点4,4P与直线l：34280 xy垂直的直线m的斜率为43k，所以直线m的方程为4443yx，即4340 xy，由4340220 xyxy，解得1,0C，所以224 1405r.故圆C的方程为：22125xy.故答案为：22125xy.153 2【解析】由0ab可知0ab，0ab，414122ababaabababab，利用基本不等式即可求最值.【

20、详解】因为0ab，所以0ab，0ab，414122ababaabababab 41222222 223 22abababab 当且仅当2 22abab 即3 22a，2b 时等号成立，故答案为：3 2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16(1)3 答案第 1

21、0 页，共 17 页(2)3 314【解析】【分析】（1）由已知条件，利用正弦定理角化边可得222abcab，再根据余弦定理即可求解；（2）由角 A的正切值求出角 A 的正弦和余弦值，从而根据二倍角公式可得sin2A、cos2A，再根据两角差的正弦公式即可求解.(1)解：2sin2sin2 sinabAbaBcC，2222ab aba bc，即222abcab，2221cos22abcCab，0C，3C；(2)解：由3tan2A，可得2 721cos,sin77AA，24 31sin22sin cos,cos22cos177AAAAA，4 31133 3sin 2sin2 coscos2 si

22、n.727214ACACAC 17(1)证明见解析；(2)22；(3)6【解析】【分析】(1)证明 ACAB，从而得 AC平面 ABEF即可；(2)以 A 为原点，AB AF AC所在直线为x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCE的一个法向量n，则点P到平面BCE的距离为PC在n方向投影的绝对值PC nn；答案第 11 页，共 17 页(3)根据 E、H、F三点共线，表示出 H点坐标，根据10cos5BH CFBH CFBH CF可求出 H 坐标，求出平面ADF法向量，利用向量即可求出直线BH与平面ADF成角的大小(1)ABC中，1,24ABCBABC，由余弦定理得，2222cos1A

23、CABBCAB BCCBA，222ACABBC，ABAC，平面ABCD 平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，AC平面ABEF，EF 平面ABEF，ACEF.(2)以 A 为原点，AB AF AC所在直线为x y z 轴建立空间直角坐标系Axyz.则111,0,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,2,0,1,22BCDEFP，则1,0,1,0,1,0BCBE，11,1,22PC，设平面BCE的法向量为,nx y z，则00n BCn BE，即00 xzy，取1,0,1n，点P到平面BCE的距离1122222PC ndn；(3)1,1,0EF ，0,2,1CF，1,0,1AD ，0

24、,2,0AF，答案第 12 页，共 17 页 设点H坐标111,x y z，1111,1,EHxyz，E、H、F三点共线，EHEF，1,1,0H，,1,0BH，222 110cos55(1)BH CFBH CFBH CF，解得12，1 1,02 2BH，设平面ADF的法向量为222,mxy z，则00m ADm AF，即22200yxz，令21x，则1,0,1m，设直线BH与平面ADF成的角为，112sin211244BH mBH m，直线BH与平面ADF成的角为6.18（1）2212xy（2）x7y10 或 x7y10【解析】【分析】（1）根据题意得221112ab，2223 2(1)(0)

25、22c，222cab，由组成方程组，解得a，b，进而得椭圆C的方程（2）设直线l的方程为1xky，1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立直线l与椭圆C的方程得关于y的一元二次方程，结合韦达定理得12222kyyk，12242xxk，从而得线段AB中点M坐标，点N的坐标，将其代入椭圆方程，可解得k，进而得出直线l的方程【详解】解：（1）因为点21,2P在椭圆C上，且23 2|2PF 答案第 13 页，共 17 页 所以221112ab，2223 2(1)(0)22c，解得1c，又因为222cab 由组成方程组，解得2a，1b，所以椭圆C的方程为：2212xy（2）由（1）可知2(1,0)F

26、，设直线l的方程为1xky，1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立直线l与椭圆C的方程得22(2)210kyky，得12222kyyk，则12242xxk，所以线段AB中点22(2Mk，2)2kk，所以2233(2ONOMk，2)2kk，所以N点的坐标为26(2k，23)2kk，将N点坐标代入椭圆的方程22226()32()122kkk，解得27k，7k ，所以直线l的方程为：710 xy 或710 xy 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题 19(1)21nan(2)1133nnnT(3)最大值为43，最小值为45【解析】【分析】（1）将点代入函数解析再结合

27、前n和即可求解；（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；答案第 14 页，共 17 页（3）将数列 nc的通项变形为111(1)()2121nncnn，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.(1)因为点211,nnaS（）在函数2()(1)f xx的图像上，所以22211 1nnnSaa（），又数列 na是等差数列，所以121212(21)(21)22nnnaaaSnn，即21(21),nnSna所以2(21)nnana，0,21nnaan；(2)解法 1：11211213(1)21233333nnnnnnnnnnnb，1300121131()11210.2333331nnnnnnT

28、=111333nnn=1133nn，解法 2：012211352321.33333nnnnnT，123111352321.333333nnnnnT，-得 12311211112112112(.)233333333nnnnnnnT，1133nnnT；(3)11114(21)(21)11(1)(1)(1)()(21)(21)2121nnnnnnnnnca annnn 记 nc的前 n项和为nW，则nW=112311111111.()()().(1)()1335572121nnccccnn 111121nn （），当 n为奇数时nW1121n 随着 n的增大而减小，可得413nW，当 n为偶数时nW

29、1121n 随着 n的增大而增大，可得415nW，答案第 15 页，共 17 页 所以nW的最大值为43，最小值为45.20(1)322ln230 xy(2)当0a 时，函数 fx有一个极值点；当809a时，函数 fx无极值点；当89a 时，函数 fx有两个极值点.(3)0,1【解析】【分析】（1）将1a 代入函数()f x中，得出函数()f x的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据 0,0 xf x 成立，转化为 min0,0 xf x 即可，再利用第（2）的结

30、论即可求解.(1)当1a 时，2()ln1f xxxx 21ln 1 111ln2f，所以切点为1,ln2，11321,12 1 111 12fxxkfx ，所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率为 312kf，所以曲线 yf x在点1,ln2处的切线的斜率切线方程为 3ln212yx，即322ln230 xy(2)由题意知函数 fx的定义域为1,，21212111axaxafxaxxx，令 221,1,g xaxaxax ，答案第 16 页，共 17 页（i）当0a 时，10fx，函数 fx在1,单调递增，无极值点（ii）当0a 时，98aa，当809a时，0,0,0g xfx，所以

31、函数 fx在1,单调递增，无极值点；当89a 时，0，设方程2210axaxa 两根2212129898,44aaaaaax xxxaa ，此时12xx 121211111,110,12444xxxxgx 121,xxx 时，0,0g xfx，函数 fx单调递增；12,xx x时，0,0g xfx，函数 fx单调递减.函数有两个极值点；当0a 时，980aa，设方程2210axaxa 两根2212129898,44aaaaaax xxxaa 此时12xx 12110,1xgx 11,xx 时，0,0g xfx，函数 fx单调递增；1,xx时，0,0g xfx，函数 fx单调递减.函数有一个极值

32、点；综上所述：当0a 时，函数 fx有一个极值点；当809a时，函数 fx无极值点；当89a 时，函数 fx有两个极值点.(3)答案第 17 页，共 17 页 由 0,0 xf x 成立等价于 min0,0 xf x 即可.当809a时，函数 fx在0,上单调递增，00,0,fx 时，0f x，符合题意；当819a时，由 00g，得20 x，函数 fx在0,上单调递增，又 00,0,fx 时，0f x，符合题意；当1a 时，由 00g，得20 x 20,xx 时，fx单调递减,200,0,fxx 时，0f x 时，不合题意；当0a 时，设 ln1h xxx，0,x，时，110,11xh xh xxx 在0,上单调递增.当0,x时，00h xh，即ln1xx，可得 221f xxa xxaxa x，当11xa 时，210axa x，此时 0f x，不合题意.综上，a的取值范围是0,1.【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.