陕西省2022届高三下学期二模预测理科数学试题-解析版.pdf

《陕西省2022届高三下学期二模预测理科数学试题-解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陕西省2022届高三下学期二模预测理科数学试题-解析版.pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、试卷第 1 页，共 5 页 陕西省 2022 届高三下学期二模预测理科数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、

2、单选题 1已知集合22280,03xAx xxBxx，则AB（）A42xx B42xx且3x C34xx D34xx 2已知复数 z满足(12i)510izz，则|z（）A2 B2 C5 D2 2 3命题:1,2,23xpx，命题020:1,2,log1qxx，则下列命题为真命题的是（）Apq B()()pq Cpq D()pq 4若241(1)mxx的展开式中3x的系数为 12，则实数m（）A1 B2 C3 D4 5已知()f x是R上的奇函数，当0 x 时，3()exf x，则(ln2)f（）A8e B8 C6 Dln2 6把函数22()cossinf xxx的图象向左平移12个单位长度得

3、到函数()g x的图象，若()g x在0,a上是减函数，则实数 a 的最大值为（）试卷第 2 页，共 5 页 A512 B3 C6 D12 7如图，在直三棱柱111ABDAB D中，1,45AB AD AAABD，P为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A30 B45 C60 D90 8高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（）A13 B16 C39180 D47180 9已知ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且60C，3a，15 34ABCS，则AB边上的中线长为（）A49 B7 C494

4、D72 10已知圆22:(1)(1)4Cxy，P 为直线:220lxy上的动点，过点 P作圆 C的切线PA，切点为 A，当PAC的面积最小时，PAC的外接圆的方程为（）A22115224xy B22119224xy C221524xy D221524xy 11已知抛物线2:2C yx，过焦点的直线 l与 C交于 A，B两点，若以AB为直径的圆与 C的准线切于点1 1,2 2M，则 l的方程为（）A210 xy B210 xy C210 xy D210 xy 12已知函数()|1|1|2cosf xxxx，若函数()()g xf xa恰有三个零点时，mna（其中 m，n 为正实数），则72812

5、mn的最小值为（）试卷第 3 页，共 5 页 A9 B7 C307 D4 二、填空题 13已知向量a与b的夹角为60，且13,22a，|2|3ab，则|b _ 14已知为锐角，若31sin23，则cos4_ 15已知12,F F是双曲线 C的左右焦点，P为 C 上一点，213PFPF，且122 2cos3PF F，则 C的离心率为_ 16在四棱锥PABCD中，底面是边长为 2 的正方形，90PDCAPD，PAPD，则以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面PBC相切的球的体积为_ 三、解答题 17已知正项等比数列 na的前 n项和为nS，且11231,2aaaa，数列 nb满足241nbnnaS(

6、1)证明：数列 nb为等差数列；(2)记nT为数列11nnb b的前 n 项和，证明：11156nT 18随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜欢某新能源汽车销售企业在 2017 年至 2021 年的销售量 y（单位：万辆）数据如表所示 年份 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年 2021 年 年份代号 x 1 2 3 4 5 销售量 y/万辆 17 18 20 22 23 参考数据：含5116iiixxyy，52110iixx，52126iiyy，658.06 试卷第 4 页，共 5 页 参考公式：相关系数122

7、11niiinniiiixxyyrxxyy，1122211nniiiiiinniiiix ynxyxxyybxnxxx，aybx，其中,x y为样本平均值，线性回归方程也可写为ybxa(1)根据数据资料，可用线性回归模型拟合 y与 x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求出 y 关于 x的线性回归方程，并预计 2022 年该新能源汽车销售企业的销售量为多少万辆？19如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E，F分别为BD和1BB的中点，P 为棱11C D上的动点 (1)是否存在点 P 使PE 平面EFC？若存在，求出满足条件时1C P的长度并证明；若不存在，请说明理由；(2)当1C

8、 P为何值时，平面11BCC B与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小 20已知函数2()e1xf xaxx(1)当1a 时，讨论()f x的单调性；(2)当0 x 时，321()22f xxax恒成立，求实数 a 的取值范围 21已知椭圆2222:1(0)xyCabab的四个顶点围成的四边形的面积为4 3，椭圆 C的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcF c，且1F到直线0bxcy的距离为32c，若直线l与 C 有且只有一个公共点 P，且点 P 不在 x轴上，过点1F作 l的垂线，垂足为 Q，(1)求椭圆 C 的方程；试卷第 5 页，共 5 页(2)求12QF F面积的最大值 22在直角

9、坐标系xOy中，直线 l的参数方程为33,3xtyt（t是参数）以 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2225sin36 0(1)求 l的极坐标方程和 C的直角坐标方程；(2)若 l与 C交于 A，B两点，求11|OAOB的值 23设x、y、z为正实数，且4xyz.(1)证明：2 2xyxz；(2)证明：22241233xyz 答案第 1 页，共 16 页 参考答案：1D【解析】【分析】分别解一元二次不等式以及分式不等式得集合 A，B，再进行并集运算即可.【详解】因为228024Ax xxxx，20323xBxxxx，所以34ABxx，故选：D.2C【解析】【分

10、析】设izab且,a bR，结合共轭复数的概念写出z，利用复数相等及乘法运算求出参数a、b，即可得|z.【详解】令izab，则izab，且,a bR，所以i(12i)()51i0i()abab，则(2)(2)i55(2)iababab，所以2525(2)abaabb，可得12ab，即12zi，所以|z 5.故选：C 3C【解析】【分析】通过恒能成立问题分别判断命题,p q的真假，结合复合命题的真假性即可得结果.【详解】当1x 时，123为假命题，故命题:1,2,23xpx 为假，p为真；当2x 时，2log 211 成立，故命题020:1,2,log1qxx 为真命题，q为假；答案第 2 页，

11、共 16 页 所以pq为假，()()pq 为假，pq为真，()pq 为假，故选：C.4B【解析】【分析】由二项式定理写出4(1)x展开式通项，根据乘积形式确定含3x的项，结合其对应系数求出参数 m.【详解】由4(1)x的展开式通项为14rrrTC x，含3x的项包含了3r 和1r 两项，所以含3x的项为31344()CmCx，即31444(1)12CmCm，可得2m.故选：B 5B【解析】【分析】由奇函数的性质可求解.【详解】由奇函数的性质，可得3(ln2)(ln2)(ln2)e8ff .故选：B 6A【解析】【分析】应用倍角余弦公式可得()cos2f xx，根据函数平移写出()g x的解析式

12、，利用余弦函数的性质求()g x的减区间，结合已知区间求 a 的最大值即可.【详解】由题设，()cos2f xx，则()()cos(2)126g xf xx，又20,6x上()g x递减，即5,12 12x 上()g x递减，由()g x在0,a上是减函数，则512a，故 a 的最大值为512.答案第 3 页，共 16 页 故选：A 7A【解析】【分析】E是BD中点，连接1,ED AE，易知1AD E为直线PB与1AD所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得1AD E的大小.【详解】若E是BD中点，连接1,ED AE，直三棱柱111ABDAB D中1/PDBE且1PDBE，则1

13、BED P为平行四边形，所以1/PBD E，故直线PB与1AD所成角即为1AD E，令12AB AD AA，又45ABD，则45ADB且AEBD，则2AE，又112 2,6ADD E，故222111113cos22ADD EAEAD EAD D E，又1(0,)AD E，所以130AD E.故选：A 8B【解析】【分析】利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.答案第 4 页，共 16 页【详解】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有33A种；2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的 4 个空

14、中，分两种情况：当插入前 2 个空有2122A C种，再把甲插入五名同学所成排的 5 个空中后 3 个空有13C种；当插入后 2 个空有2122A C种，再把甲插入有12C种；所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有3211132232()120A A C CC种，而六位同学任意安排的方法数为66720A 种，所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为12017206.故选：B 9D【解析】【分析】根据面积公式结合已知数据，即可求得b，根据余弦定理即可求得c，结合中线的向量表达即可求得中线长度.【详解】因为ABCS11315 3sin32224abCb ，故可得5b，根据余弦定理可得222

15、2cos19cababC，故19c，不妨取AB中点为M，故12CMCACB，故2211172cos2592 5 32222CMCACBCA CBC .即AB边上的中线长为72.故选：D.10C【解析】【分析】先确定PAC的面积最小时P点坐标，再由PAC是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.答案第 5 页，共 16 页【详解】由题可知，PAAC，半径2AC，圆心(1,1)C，所以222142PACSPAACPAPCACPC，要使PAC的面积最小，即PC最小，PC的最小值为点(1,1)C到直线:220lxy的距离222 12521，即当P点运动到PCl时，PACS最小，直线l的斜

16、率为2，此时直线PC的方程为11(x 1)2y，由11(1)2220yxxy，解得10 xy，所以(1,0)P，因为PAC是直角三角形，所以斜边PC的中点坐标为10,2，而221 11 05PC，所以PAC的外接圆圆心为10,2，半径为52，所以PAC的外接圆的方程为221524xy.故选：C.11D【解析】【分析】设直线1:()2l yk x联立抛物线并应用韦达定理求出ABxx、ABx x、AByy、ABy y关于 k的表达式，根据0MA MB求出 k值，即可写出直线方程.【详解】由题设，直线 l的斜率存在且不为 0，令1:()2l yk x，答案第 6 页，共 16 页 联立抛物线并整理得

17、：2222(2)04kk xkx，则221ABxxk，14ABx x，所以(1)ABAByyk xx，211()24ABABABy ykx xxx，又1111()()()()02222ABABMA MBxxyy，综上，211104kk，可得2k，故直线:21l yx，即210 xy.故选：D 12A【解析】【分析】将函数写成分段函数的形式，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的图象与零点的关系可得a的值，最后由基本不等式即可得结果.【详解】22cos,1112cos22cos,1122cos,1xx xf xxxxxxxx x 当1x 时，22sin0fxx 恒成立，f x在1，上单调递减，1

18、22cos122cos13,4f xf，当11x 时，22cosf xx为偶函数，在1,0上单调递增，在0,1上单调，1,0f xff，即 22cos1,43,4f x，当1x 时，22sin0fxx恒成立，f x在1,上单调递增，122cos13,4f xf，由此作出函数 f x的草图如下所示，答案第 7 页，共 16 页 由函数()()g xf xa恰有三个零点可得4a，即4mn，所以41728172821251271212mnmnmnmnmn 25294121mnmn，即72812mn的最小值为 9，当且仅当43m，83n 时，等号成立，故选：A.131【解析】【分析】求出|a，再利用给

19、定等式及向量夹角，结合数量积运算律列式计算作答.【详解】依题意，|1a，则有21|cos60|2a ba bb，由|2|3ab两边平方得：22443aa bb，即2|2|10bb，解得：1b|=，所以1b|=.故答案为：1 14426【解析】【分析】由诱导公式可得1cos3，再由平方关系求得2 2sin3，最后应用差角余弦公式求目标函数值.答案第 8 页，共 16 页【详解】由题设，31sincos23 ，即1cos3，又为锐角，则2 2sin3，而242cos(cossin)426.故答案为：426.152【解析】【分析】由双曲线定义及已知条件可得2133PFPFa，再应用余弦定理构造 a、

20、c 的齐次方程即可求离心率.【详解】由题设，12|2PFPFa，又213PFPF，则2133PFPFa，而12|2FFc，所以22211212112222|22 2cos233PFPFFFacPFFFFaPFc，则2(2)0ac，所以2ac，故2cea.故答案为：2 164 575【解析】【分析】先确定四棱锥PABCD外接球的球心，再利用等体积法求球体的半径即可求解问题.【详解】将四棱锥PABCD放入如下图所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心为AC与BD的交点O，因此以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面PBC相切，其半径为点O到平面PBC的距离.由题意可知，此正四棱柱的高，即为等腰直角三角形A

21、PD斜边AD上的高，此高为1，所以由O BCPP BOCVV，即1111252 2 13234d ，解得15dr，答案第 9 页，共 16 页 所以此球的体积为334414 5()33755r.故答案为：4 575 17(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比数列的基本量求得na以及nS，结合已知条件求得nb，利用等差数列的定义，即可证明数列 nb是等差数列；（2）根据（1）中所求求得11nnb b，利用裂项求和法求得nT，根据其单调性即可容易证明.(1)设等比数列 na的公比为q，因为11231,2aaaa，故22qq，解得2q 或1q （舍），故12nna，21n

22、nS，因为241nbnnaS121222nnn，故21nbn，又123212nnbbnn，故数列 nb是公差为2的等差数列.(2)因为11111121232 2123nnb bnnnn，答案第 10 页，共 16 页 故nT11111111 112355721232 3233 2369nnnnnnn，又119696xyxxx是单调增函数，且16y，又当1n 时，115nT，故11156nT，即证.18(1)答案见解析；(2)24.8【解析】【分析】（1）由参考数据及公式得相关系数0.99r，由r非常接近 1，可得结论；（2）由表中的数据求得：x，y，及b，a，得所求 y 关于 x 的回归直线方

23、程为1.615.2yx，再由由 2017 年为第 1 年，则 2022 年为第 6 年，将6x 代入线性回归方程中可预计 2022 年新能源汽车销量.(1)解：由参考数据及公式得相关系数 12211160.9910 26niiinniiiixxyyrxxyy，显然r非常接近 1，故 y与 x有很好的相关关系，所以可用线性回归模型拟合 y与 x的关系；(2)解：由表中的数据得：11+2+3+4+535x，117+18+20+22+23205y，设 y关于 x 的线性回归方程为ybxa，则121161.610niiiniixxyybxx，而201.6315.2aybx，所以所求的回归直线方程为1.

24、615.2yx，由 2017 年为第 1 年，则 2022 年为第 6 年，将6x 代入线性回归方程中得：答案第 11 页，共 16 页 1.6615.224.8y，由此预计 2022 年新能源汽车销量约为 24.8 万辆.19(1)存在，12C P；(2)112C P.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理计算作答.（2）利用（1）中坐标系，借助空间向量计算锐二面角的余弦值，推理判断作答.(1)在正方体1111ABCDABC D中，建立如图所示的空间直角坐标系，因 E，F 分别为BD和1BB的中点，P 为棱11C D上的动点，则11,1,0,2,2,1,0,

25、2,0,0,2,2EFCC，设(0,2)Pt，02t，(1,1,0),(2,0,1),(1,1,2)CECFPEt，显然，0CF PE，即PECF，由 11?10CE PEt 得0t，此时有PECE，而CECFC，且,CE CF 平面CEF，因此，PE 平面EFC，所以存在点 P(0,0,2)，使PE 平面EFC，12C P.(2)答案第 12 页，共 16 页 在（1）的空间直角坐标系中，(1,1,1),(1,1,2)EFPEt，令平面PEF的法向量为(,nx y z），则0(1)20n EFxyzn PExt yz，令3y，得(3,3,)ntt，而平面11BCC B的法向量(0,1,0)m

26、，设平面11BCC B与平面PEF所成锐二面角为，则|cos|cos,|m nm nm n 2223363327(3)92()22ttt，当且仅当32t 时取“=”，因此，当32t，即3(0,2)2P时，max6(cos)3，23sin1 cos3，当且仅当6cos3时取“=”，所以当3(0,2)2P，即112C P 时，平面11BCC B与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小.20(1)()f x在0，上单调递增，在0，上单调递减；(2)274ea【解析】【分析】（1）直接求导，先确定导数的单调性及零点，即可确定()f x的单调性；（2）当0 x 时，aR，当0 x 时，参变分离得3211 e

27、2xxxax，构造函数()h x求导得321e2()21xxxhxxx，再构造函数21e12()xmxxx确定()h x单调性后，即可求出实数 a的取值范围(1)当1a 时，2()e1xf xxx，()e21xfxx，易得()fx在R上递增，又(0)0f，故当0 x，时，()0fx，()f x单调递增；故当,0 x 时，()0fx，()f x单调递减，答案第 13 页，共 16 页 所以()f x在0，上单调递增，在0，上单调递减；(2)当0 x 时，不等式321()22f xxax恒成立，可得aR；当0 x 时，由2321e122xaxxxax 恒成立可得3211 e2xxxax 恒成立，设

28、3211 e2()xxxh xx，则4223333111 e222(2)1 ee22xxxh xxxxxxxxxxx 33322211e22e1222xxxxxxxxxxxx，可设21e12()xmxxx，可得e1()xxm x，设e1,e1()()xxk xkxx，由0 x，可得()0k x恒成立，可得()k x在0，递增，即()m x在0，递增，所以()(0)0m xm，即()0m x恒成立，即()m x在0，递增，所以()(0)0m xm，再令()0h x，可得2x，当02x时，()0h x，()h x在0,2上递增，当2x 时，()0h x，()h x在2,递减，所以2max7e()(

29、2)4h xh，所以274ea；综上可得274ea.【点睛】本题关键点在于参变分离构造函数求导后，通过因式分解将导数变为321e2()21xxxhxxx，再把分子的因式构造成函数21e12()xmxxx，确定()(0)0m xm后，即得()h x的正负，进而求解.21(1)22143xy；答案第 14 页，共 16 页(2)2.【解析】【分析】（1）根据已知条件，求得,a b c的方程组，求解即可得到椭圆的方程；（2）根据题意，设出直线l方程ykxm，根据其与椭圆相切求得,k m关系，分类讨论直线1FQ斜率是否存在，当斜率存在时求得点Q的坐标以及其对应的轨迹，结合三角形的面积公式即可求得其最大

30、值.(1)由四个顶点围成的四边形的面积为4 3可得：24 3ab，由1F到直线0bxcy的距离为32c可得：2232bccbc，结合222abc可得：2,3,1abc，故椭圆方程为：22143xy.(2)根据题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为ykxm，联立椭圆方程可得：2223484120kxkmxm，因为直线l与椭圆只有一个交点，故2222644 344120k mkm，整理得：2243mk.又因为1FQ与直线l垂直，故当1FQ斜率不存在时，已知点13FQ，故12QF F的面积12132QSFFy；当其直线斜率存在时，斜率为1k，又其过点11,0F，故直线1FQ的方程为：11yxk

31、，联立ykxm可得：211kmxk，21mkyk，故点Q的坐标为221,11kmmkkk，此时有422222222222421212411kkk mkmmkkmxykk，故点Q的轨迹是以以原点为圆心，半径为 2 的圆，则2Qy，答案第 15 页，共 16 页 故12QF F的面积12122QSFFy；综上所述，12QF F面积的最大值为2.【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的范围问题，其中解决第二问的关键是求得点Q的轨迹方程，属综合困难题.22(1)(R)6；221366xy；(2)12.【解析】【分析】（1）将直线 l的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即

32、可求解作答.（2）由（1）的结论，联立直线 l与曲线 C的极坐标方程，求出点 A，B 的极径即可计算作答.(1)消去直线 l参数方程中的参数 t得：3xy，显然直线 l过原点，倾斜角为6，直线 l的极坐标方程为：(R)6，曲线 C的极坐标方程化为22226sin3c6os，将cossinxy代入得：22636xy，即221366xy，所以 l的极坐标方程为(R)6，C的直角坐标方程为221366xy.(2)把(R)6代入2225sin36 0得：216，解得4，因此，|4OAOB，所以11111|442OAOB.23(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】答案第 16 页，共 16 页【分析】（1）由已知可得出422xxyz，结合基本不等式可证得2 2xyxz；（2）利用柯西不等式可得出 2222222123123111xyzxyz，即可证得结论成立.(1)证明：因为x、y、z为正实数，由基本不等式可得42222222xxxyxzyzxyxz，所以，2 2xyxz，当且仅当12xyz时，等号成立，故2 2xyxz.(2)证明：由柯西不等式可得 2222222123123111xyzxyz，所以，22226412333xyzxyz，当且仅当123xyz 时，即当13x，43y，73z 时，等号成立，故22241233xyz.