第六章自由电子费米气体课件.ppt

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1、第六章第六章 自由电子费米气体自由电子费米气体(金属自由电子论金属自由电子论)Free Electron Fermi Gas金属元素有大约75种之多，在自然界大约有2/3以上的固态纯元素属于金属。人类社会很早就学会了使用金属并以其作为人类进步的标志，如过去的铜器时代、铁器时代等。金属具有良好的导电、导热、易加工及特殊的金属光泽等特点，但为什么这些元素具有如此的特点？其深层次的原因是什么？2 许多固体具有导电性，这意味着在这固体内有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的这些电子可以在固体内遨游。具有导电性的固体可被区分成两类，那便是金属与半导体。在这章节内我们将只针对金属进行讨论。36.1 金

2、属自由电子论金属自由电子论 的物理模型的物理模型41.Drude的金属自由电子论的金属自由电子论Drude的经典理论建立的历史背景的经典理论建立的历史背景:1870年前后，玻尔兹曼、麦克斯韦等年前后，玻尔兹曼、麦克斯韦等建立了气体分子运动论和统计理论；建立了气体分子运动论和统计理论；1897年，年，T.T.Thomson发现电子，使得人们轻发现电子，使得人们轻易就可以猜测出金属导电的机制。易就可以猜测出金属导电的机制。在总结在总结 金属本身总是具有高电导率、金属本身总是具有高电导率、高热导率和高的反射率的实验事实的基础高热导率和高的反射率的实验事实的基础上，上，Drude于于1900年建立了年

3、建立了Drude模型，主模型，主要研究金属的电导和热导问题。要研究金属的电导和热导问题。51.Drude的金属自由电子论的金属自由电子论Drude的经典理论的经典理论:自由电子是经典离子气体，服从自由电子是经典离子气体，服从玻尔尔兹曼分布兹曼分布(速度分布速度分布)，与中性稀薄气体一，与中性稀薄气体一样去处理，样去处理，完全套用经典气体模型完全套用经典气体模型，认为，认为电子之间无相互作用，同时也不考虑离子电子之间无相互作用，同时也不考虑离子实势场的作用。实势场的作用。这样一个简单的物理模型处理金属的这样一个简单的物理模型处理金属的许多动力学问题是成功的，特别是对我们许多动力学问题是成功的，特

4、别是对我们理解简单金属的许多性质是有帮助的。理解简单金属的许多性质是有帮助的。61 1）金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞（后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率基本（后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率基本（后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率基本（后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率基本可以忽略），忽略了离子实与传导电子之间的库仑可以忽略），忽略了离子实与传导电子之间的库仑可以忽略），忽略了离子实与传导电子之间的库仑可以忽略），忽略了离子实与传导电子之间的库仑相互作用

5、，称为自由电子近似（相互作用，称为自由电子近似（相互作用，称为自由电子近似（相互作用，称为自由电子近似（free electron free electron approximationapproximation）。）。）。）。2 2）忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用，忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用，忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用，忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用，成为独立电子近似（成为独立电子近似（成为独立电子近似（成为独立电子近似（independent electron independent electron approximationapproximati

6、on）。）。）。）。Drude经典理论的基本假设经典理论的基本假设:将金属中高浓度（将金属中高浓度（将金属中高浓度（将金属中高浓度（10102222-10-102323/cm/cm3 3)的价电子看作理的价电子看作理的价电子看作理的价电子看作理想气体，其基本假设为：想气体，其基本假设为：想气体，其基本假设为：想气体，其基本假设为：7 4 4）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关

7、，称为称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为弛豫时间近似（弛豫时间近似（弛豫时间近似（弛豫时间近似（relaxation approximationrelaxation approximation）。）。）。）。3 3）传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞(受正受正受正受正离子实的散射离子实的散射离子实的散射离子实的散射)且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地且碰撞是瞬时的，每次碰

8、撞都急剧地改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞地点的温度有关，而与碰前速度无关。地点的温度有关，而与碰前速度无关。地点的温度有关，而与碰前速度无关。地点的温度有关，而与碰前速度无关。电子只是通电子只是通电子只是通电子只是通过碰撞与周围环境达到热平衡。过碰撞与周围环境达到热平衡。过碰撞与周围环境达到热平衡。过碰撞与周围环境达到热平衡。在相继的两次碰撞在相继的两次碰撞在相继的两次碰撞在相继的两次碰撞之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为之间，电子做直线运

9、动，遵循牛顿第二定律，称为之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为碰撞近似（碰撞近似（碰撞近似（碰撞近似（collision approximationcollision approximation）。）。）。）。8特鲁德模型的应用特鲁德模型的应用1）金属的直流电导金属的直流电导金属晶体内的电子运动类金属晶体内的电子运动类似理想气体分子的运动，因此电流密度为似理想气体分子的运动，因此电流密度为 j=-nev平平n 金属导体内的电子数密度金属导体内的电子数密度v平平 电子运动的平均电子运动的平均定向定向速度速度讨论：讨论：外电场外电场E=0时，时，

10、v平平=0 电子运动是随机的电子运动是随机的净定向电流为零，对电流密度没有贡献净定向电流为零，对电流密度没有贡献9me电子的质量电子的质量t 传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间欧姆定律欧姆定律外电场外电场E 0时，时，v平平 0 产生净定向电流产生净定向电流在外场在外场E作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。因此，电子因此，电子平均速度平均速度v平平起源于在外场起源于在外场E作用下，电子在连续作用下，电子在连续两次碰

11、撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：两次碰撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：10实验测定金属的电阻率实验测定金属的电阻率r r，来估计平均自由时间，来估计平均自由时间t t2）金属的平均自由时间和平均自由程）金属的平均自由时间和平均自由程平均自由程平均自由程l l(电子在连续两次碰撞之间的平均运动距离电子在连续两次碰撞之间的平均运动距离)以下应该不是用以下应该不是用v平来表示速度平来表示速度根据经典的能量均分定律，有根据经典的能量均分定律，有11 free electron approximationfree electron approximation 离子实（金属原子间距）大

12、约也就是这个量级，可离子实（金属原子间距）大约也就是这个量级，可离子实（金属原子间距）大约也就是这个量级，可离子实（金属原子间距）大约也就是这个量级，可以看出，与以看出，与以看出，与以看出，与DrudeDrude模型的假设比较吻合。模型的假设比较吻合。模型的假设比较吻合。模型的假设比较吻合。但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特鲁德模型的估算值大得多。鲁德模型的估算值大得多。Cu：T=4K，也就是也就是也就是也就是DrudeDrude模型当中的假设并不是适用于一切情况。模型当中的假设并不是适用于一切情况。模型当中的假设并不是适用于一切情况。模型

13、当中的假设并不是适用于一切情况。12问 题在固定电场中，如何推导电子动量随时间的变化？直流电导率的推导以及可否直接用于交流电导率的推导？为什么？怎么用此模型来考虑焦耳热的问题？13 设单位体积内的电子数为设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密，则电子气系统的内能密 度为度为 每个电子具有每个电子具有3个自由度，每个自由度具有个自由度，每个自由度具有kBT/2的的 平均能量平均能量特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能量均分定律：量均分定律：3）金属的比热）金属的比热电子气的热容：电子气的热容：大多数金属大多数金属高温下与晶格

14、振动的贡献相当，高温下与晶格振动的贡献相当，这与实验结果不符。这与实验结果不符。14 1904年年，洛洛伦伦兹兹发发展展了了该该模模型型，将将麦麦克克斯斯韦韦玻玻尔尔兹兹曼曼统统计计规规律律引引人人，认认为为电电子子速速度度服服从从麦麦克克斯斯韦韦玻玻尔尔兹兹曼统计分布律。曼统计分布律。4）特鲁德模型的发展：）特鲁德模型的发展：5）特鲁德模型的成功与失败）特鲁德模型的成功与失败成功之处：成功之处：经经典典的的特特鲁鲁德德洛洛伦伦兹兹自自由由电电子子模模型型从从微微观观上上定定性性的的解解释释了了金金属属的的高高电电导导率率、高高热热导导率率、霍霍尔尔效效应应以以及及某某些些光光学学性性质。质。

15、15获获得得的的平平均均自自由由程程和和热热容容与与实实验验结结果果严严重重不不符符，实实验验上上热热容容仅仅是是理理论论值值的的1%(电电子子参参与与导导电电过过程程，但但对对热热导导好好像像没没有有参参与与，为为什什么么？）；在在处处理理磁磁化化率率等等问问题题上也遇到根本性的困难。上也遇到根本性的困难。不足之处：不足之处：不足之处产生的原因分析不足之处产生的原因分析 经典理论在微观世界的不适用经典理论在微观世界的不适用16量子力学对金属中电子的处理量子力学对金属中电子的处理 1926年年费费米米狄狄拉拉克克统统计计理理论论和和量量子子力力学学建建立立，1928年年，索索末末菲菲在在自自由

16、由电电子子模模型型基基础础上上，提提出出应应该该利利用用量量子子力力学学原原理理去去计计算算电电子子气气体体的的能能量量和和动动量量，并由此考察金属的一些特性。并由此考察金属的一些特性。索索末末菲菲提提出出：电电子子在在离离子子产产生生的的平平均均势势场场中中运运动动，电电子子气气体体服服从从费费米米 狄狄拉拉克克分分布布和和泡泡利利不不相相容容原原理理。并并成成功功地地计计算算了了电电子子的的热热容容，解解决决了了经经典典理理论论的的困困难。难。172Sommerfeld的自由电子论的自由电子论 索末菲模型的基本假设：索末菲模型的基本假设：索末菲模型的基本假设：索末菲模型的基本假设：1 1）

17、free electron approximationfree electron approximation2 2）independent approximationindependent approximation3 3）价电子的能量分布服从费米）价电子的能量分布服从费米）价电子的能量分布服从费米）价电子的能量分布服从费米狄拉克统计，称为狄拉克统计，称为狄拉克统计，称为狄拉克统计，称为自由电子费米气体（自由电子费米气体（自由电子费米气体（自由电子费米气体（free electron Fermi gasfree electron Fermi gas）4 4）不考虑电子和离子实的碰撞（）不考虑电

18、子和离子实的碰撞（）不考虑电子和离子实的碰撞（）不考虑电子和离子实的碰撞（no collisionno collision）Drude 经典理想气体 Sommerfeld 量子理想气体18 传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引力。力。力。力。SommerfeldSommerfeld自由电子理论认为把

19、离子实的电荷自由电子理论认为把离子实的电荷自由电子理论认为把离子实的电荷自由电子理论认为把离子实的电荷抹散成一个正电荷背景抹散成一个正电荷背景抹散成一个正电荷背景抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不存在了这样周期势场就不存在了这样周期势场就不存在了这样周期势场就不存在了)好象好象好象好象“凝胶凝胶凝胶凝胶”一样。这种一样。这种一样。这种一样。这种“凝胶凝胶凝胶凝胶”的作用纯粹是为的作用纯粹是为的作用纯粹是为的作用纯粹是为了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这

20、些传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从金属晶体中飞溅出去，这就相当于金属晶体中飞溅出去，这就相当于金属晶体中飞溅出去，这就相当于金属晶体中飞溅出去，这就相当于“凝胶凝胶凝胶凝胶”模型。模型。模型。模型。19v 电子在运动中存在一定的电子在运动中存在一定的散射机制（为什么要有散射散射机制（为什么要有散射机制？）机制？）。索末菲自由电子模型总结：索末菲自由电子模型总结：v 电子在一无限深度的方势阱中运动，电子间的相互作电子在一无限深度的方势阱中运动，电子间的相

21、互作 用忽略不计；用忽略不计；v 电子按能量的分布遵从电子按能量的分布遵从FermiDirac统计；统计；v 电子的填充满足泡利（电子的填充满足泡利（Pauli）不相容原理；）不相容原理；（即金属中的电子可以看作是被关在一个箱体中的（即金属中的电子可以看作是被关在一个箱体中的 自由自由 电子）电子）206.2 能级和轨道密度能级和轨道密度21一、运动方程及其解一、运动方程及其解Y Y(r)：表示电子运动状态的波函数。表示电子运动状态的波函数。V0：电子在势阱底部所具有的势能，取电子在势阱底部所具有的势能，取V0 0。（或者说是晶格平均场（或者说是晶格平均场+其他电子的平均场）其他电子的平均场）

22、E：电子的本征能量电子的本征能量令令有有1.自由电子定态薛定谔方程自由电子定态薛定谔方程22方程的解：方程的解：A：归一化因子，由归一化条件确定：归一化因子，由归一化条件确定电子相应于波函数电子相应于波函数Y Yk k(r)的能量：的能量：V:金属的体积金属的体积：电子平面波的波矢：电子平面波的波矢具有平面波的形式具有平面波的形式23因为波函数因为波函数Y Y(r)同时也是动量算符同时也是动量算符 的本征态，的本征态，所以处于所以处于Y Y(r)态的电子有确定的动量，可以写成态的电子有确定的动量，可以写成相应的速度为相应的速度为电子能量再现熟悉的经典形式电子能量再现熟悉的经典形式：电子平面波的

23、波矢，它的方向为平面波的传播方向；：电子平面波的波矢，它的方向为平面波的传播方向；它的取值需要由边界条件确定。它的取值需要由边界条件确定。24波矢的取值问题 经典物理中平面波的波矢取值是任意的，但电子波矢的取值由边界条件决定。固定边界条件（驻波边界条件）：波函数在金属表面上任何点的值均为零，不利于讨论输运性质。周期性边界条件（波恩卡曼边界条件）：首尾相接成环，既有有限尺寸又消除了边界的存在。252.边界条件边界条件取取整数整数(1)固定边界条件固定边界条件方程的解应由平面波形式改写为：方程的解应由平面波形式改写为：由以上边界条件可得：由以上边界条件可得：26以一维情况为例，讨论一下：以一维情况

24、为例，讨论一下：当波函数为正弦形式，并且从到当波函数为正弦形式，并且从到的宽度是半波长的整数的宽度是半波长的整数倍时，则以倍时，则以上边界条件就能得到满足。于是：上边界条件就能得到满足。于是：n 取正取正整数整数此边界条件无法讨论输此边界条件无法讨论输运问题，故我们通常不运问题，故我们通常不采用采用27(2)周期性边界条件周期性边界条件以一维情况为例，以一维情况为例，28 若在三个方向都用周期性边界条件：薛定锷方程的解在三个方向都以L为周期重复，即：波矢取一系列分立值：波矢取一系列分立值：此时此时29在在k空间中，电子态的分布是均匀的，空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关分

25、布密度只与金属的体积有关在在 空间中，波矢空间中，波矢 的分布密度为的分布密度为每一个量子态在每一个量子态在 空间中所占的体积为：空间中所占的体积为：每个波矢占据的体积为每个波矢占据的体积为(2p p/L)3(2/L)330 这就是电子的色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数3、费米面等概念（无限多的、费米面等概念（无限多的K，有，有限的电子如何填充的问题）限的电子如何填充的问题）31对于三维晶体，需要的量子数：波矢k（三个分量kx、ky、kz）自旋量子数 给定了 就确定了能级，代表同能级上自旋相反的一对电子轨道。在波矢空间自由电子的等能面是一个球面，不同能量的等能面是一系列同心球面。32 电

26、子在T=0k时所能填充到的最高等能面称为费米面。自由电子的等能面是球面，在T=0k时，费米面把电子填充过的轨道与电子未填充过的轨道完全分开了，即费米面内所有的轨道都被填充，费米面外边都是空轨道。这一点对金属是非常重要的，因为只有费米面附近的电子才能决定金属的动力学性质。33 费米动量费米动量Fermi momentum 费米速度费米速度Fermi velocity费米能费米能Fermi energy费米温度费米温度 Fermi temperature费米球：费米面包围的体积，代表T=0k时电子填充 的全部轨道费米波矢：费米球的半径（Fermi wave vector，kF）34 三维时，每个波

27、矢的体积为 ，每个波矢代表自旋相反的两个轨道，费米球的体积 ，则：(轨道数等于总电子数)n：单位体积中的电子数（电子密度）费米波矢由电子气的密度唯一地决定35 费米参量唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，各参量值越大。36如一些典型金属的费米面参数：原子价 金属 n(cm-3)kF(cm-1)VF(cm/s)EF(eV)1 Na 2.651022 0.92108 1.07108 3.23 2 Zn 13.101022 1.57108 1.82108 10.90 3 Al 18.061022 1.75108 2.02108 11.63374、能态密度 什么是能态密度？为什么要引入是能态密度？

28、怎样具体计算能态密度？能态密度说明什么物理问题？381、什么是能态密度能量E附近，单位能量间隔内的能态数目：单位频率间隔内的简正模式的个数单位频率间隔内的简正模式的个数定义：定义：联想到什么？联想到什么？简正模式密度：简正模式密度：39声子的总能量:2、为什么引入能态密度40自由电子在基态的总能量：4142E的球体中，的球体中，能够允许的能够允许的电子能态总数为电子能态总数为：对三维的金属晶体来讲对三维的金属晶体来讲:3、怎样求解能态密度42 电子的能态密度并不是均匀分布的，电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。电子能量越高，能态密度就越大。结论结论:43同理：444、

29、能态密度说明的物理问题：一维情况：二维情况：三维情况：45 纳米线直径小于1到2纳米，也称为超细纳米 线。制备困难，保存困难。整数量子霍尔效应：1985年诺贝尔奖；分数霍尔效应：1998年诺贝尔奖；现在的石墨烯已经是研究热点。三维可以稳定存在，研究的最为透彻。分析：u一维不稳定：u二维性质奇特：u三维可以稳定存在：46最主要的是费米面附近的能态密度将 两边取对数得：+常数微商上式得：微商上式得：47费米面附近的轨道密度近似等于总电子数除以费米能：486.3 电子气体的热容49费米费米-狄拉克狄拉克(FermiDirac)统计统计1.量子统计基础知识量子统计基础知识v 经典的经典的Boltzma

30、nn统计：统计：v 量子统计：量子统计：FermiDirac统计和统计和BoseEinstein统计统计电子的分布函数电子的分布函数费米子：自旋为半整数（费米子：自旋为半整数（n1/2）的粒子（如：电子、质的粒子（如：电子、质 子、中子子、中子 等），费米子遵从等），费米子遵从FermiDirac统计规统计规 律，费米子的填充满足律，费米子的填充满足Pauli原理。原理。玻色子：自旋为整数玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），的粒子（如：光子、声子等），玻色子遵从玻色子遵从BoseEinstein统计规律，统计规律，玻色子不遵从玻色子不遵从Pauli原理。原理。50电子的费米电子的费

31、米-狄拉克狄拉克分布函数：分布函数：物理意义：物理意义：理想电子气体在温度为理想电子气体在温度为T 且处于热平衡时，且处于热平衡时，能量为能量为E的的量子态被电子占据的几率。量子态被电子占据的几率。化学势化学势 是系统温度和粒子（电子）数的函数，原则上可以是系统温度和粒子（电子）数的函数，原则上可以由下式确定由下式确定求和遍及系统所有可能的本征态。求和遍及系统所有可能的本征态。：电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系：电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系 统增加一个电子时，系统自由能的增量。统增加一个电子时，系统自由能的增量。512.T0K时电子的分布（根据泡利原理和能量

32、最低原理）时电子的分布（根据泡利原理和能量最低原理）T0k时，电子的分布函数为时，电子的分布函数为f(E)=1 E EF00 E EF0 费米能费米能52系统的自由电子总数为系统的自由电子总数为在在EEdE中的电子数为：中的电子数为：T053 自由电子密度自由电子密度金属：金属：n：1022 1023 cm3EF0 几个几个eV定义定义 费米费米 温度：温度：物理意义：设想将物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度转换成热振动能，相当于多高温度 下的振动能。下的振动能。54金属：金属：EF0 几个几个eV；TF：104 105 K（远远高于金属熔点）高于金属熔点）9.988.60I

33、n16.4114.14Be12.0110.35Ga6.395.51Au13.4911.63Al6.365.48Ag8.667.46Cd8.127.00Cu10.909.39Zn1.831.58Cs4.243.65Ba2.151.85Rb4.583.95Sr2.462.12K5.434.68Ca3.753.23Na8.277.13Mg5.484.72LiTF(104K)EF0(eV)元素元素TF(104K)EF0(eV)元素元素一些金属元素费米能与费米温度的计算值一些金属元素费米能与费米温度的计算值55T=0K时系统的总能量：时系统的总能量：T0能态密度能态密度56T=0时系统中每个电子的平均能

34、量：时系统中每个电子的平均能量：上式表明，在绝对零度上式表明，在绝对零度T=0时，自由电子气系统中每个电时，自由电子气系统中每个电子的平均能量与费米能量子的平均能量与费米能量EF0具有相同的量级，约为几个电子具有相同的量级，约为几个电子伏特。而按照经典自由电子气体理论（特鲁德模型），金属伏特。而按照经典自由电子气体理论（特鲁德模型），金属电子气的平均能量可以根据能量均分原理得到，应该是电子气的平均能量可以根据能量均分原理得到，应该是3kBT/2，在绝对零度，在绝对零度T=0时，电子的平均能量应为时，电子的平均能量应为0。之所以得到平均能量不为之所以得到平均能量不为0的结果，是因为在索末菲自由的

35、结果，是因为在索末菲自由电子模型中金属电子气必须服从费米电子模型中金属电子气必须服从费米-狄拉克分布和满足泡利狄拉克分布和满足泡利不相容原理，即每个能级上只能容纳两个自旋方向相反的电不相容原理，即每个能级上只能容纳两个自旋方向相反的电子。因此，即使在绝对零度子。因此，即使在绝对零度T=0时，所有的电子不可能都处时，所有的电子不可能都处在最低能级在最低能级E=0上。上。573.T 0K时电子的分布时电子的分布一般所谓基态是指一般所谓基态是指N个电子的系统在绝对零度时的状态。个电子的系统在绝对零度时的状态。然而，随着温度的升高会发生什么情况呢？然而，随着温度的升高会发生什么情况呢？FermiDir

36、ac分布函数分布函数当温度升高时，电子气的动能增加。这时，某些在绝对零度当温度升高时，电子气的动能增加。这时，某些在绝对零度时原本空着的能级将被占据，而某些在绝对零度时被占据的时原本空着的能级将被占据，而某些在绝对零度时被占据的能级将空出来。当理想电子气处于热平衡时，由费米能级将空出来。当理想电子气处于热平衡时，由费米-狄拉狄拉克统计分布得到的能量克统计分布得到的能量E的轨道被占据的概率为：的轨道被占据的概率为：58 FermiDirac分布函数分布函数对于特定的问题，化学势对于特定的问题，化学势 应该这样选择，使得能正确地算出应该这样选择，使得能正确地算出系统中的电子的总数系统中的电子的总数

37、N。在。在T=0时，时，=EF0，因为在，因为在T0的极的极限下，化学势限下，化学势 是占据态和非占据态的清晰分界面，如图。是占据态和非占据态的清晰分界面，如图。1，当，当E 时时 在一切温度下，当在一切温度下，当E 时，时，f()1/2，代表填充概率为代表填充概率为1/2的能态。的能态。59以上条件下以上条件下，f(E)迅速趋于零迅速趋于零 当当E 几个几个kBT时，时，exp(E)/kBT 1，FermiDirac分布过渡到经典的分布过渡到经典的Boltzmann分布分布E 几个几个kBT的能态基本上是没有电子占据的空态的能态基本上是没有电子占据的空态60 E 几个几个kBT时，时，exp

38、(E)/kBT 几个几个kBT的能态基本上是满态。的能态基本上是满态。在室温附近，在室温附近，kBT/或或kBT/EF0 0.01，分布函数和，分布函数和T=0K时的情形的差别，仅出现在与时的情形的差别，仅出现在与 非常接近的能级上非常接近的能级上的电子的分布：的电子的分布：一些电子被激发到一些电子被激发到E 能级上能级上;在在E 的能级上留下一些空态。的能级上留下一些空态。从以上分析中我们还可以知道，化学势从以上分析中我们还可以知道，化学势 与与T=0K时时自由电子气的费米能级自由电子气的费米能级EF0 很接近，因此一般地，把化很接近，因此一般地，把化学势学势 也称为也称为T0K时自由电子气

39、的费米能级时自由电子气的费米能级EF，所以所以在以下的讨论中，我们将认为在以下的讨论中，我们将认为EF=。61 对于金属而言，对于金属而言，T TF（或或kBT 0K时，只有在费米面附近几个时，只有在费米面附近几个kBT的电子受热激发，对电子热容量的贡献主要来自费米面附的电子受热激发，对电子热容量的贡献主要来自费米面附近厚度近厚度kBT的一层电子。的一层电子。在在 EEF 2kBT中的电子数为中的电子数为这里，考虑这里，考虑 T 0K时费米能级时费米能级EF与与T=0K时的费米能级时的费米能级EF0之间存在一定的差异，但从下面的讨论结果我们将会看到之间存在一定的差异，但从下面的讨论结果我们将会

40、看到EFEF0。65根据能量均分定律，每个电子热运动的平均能量：根据能量均分定律，每个电子热运动的平均能量：由于热激发，系统所获得（或增加）的能量为由于热激发，系统所获得（或增加）的能量为66电子热容量为：电子热容量为：我们知道常温下，我们知道常温下，CL 3NkB；由于；由于TTF，所以所以Ce CL，即常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。即常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。67考虑自由电子的费米分布与泡利不相容原考虑自由电子的费米分布与泡利不相容原理后，用这样一个定性的模型解释了热容理后，用这样一个定性的模型解释了热容与经典理论的差别与矛盾，由此可看到费与经典理论的差别与矛盾，由此可看到

41、费米面的重要性。米面的重要性。经典理论中（特鲁德模型经典理论中（特鲁德模型)考虑量子效应后，从结果分析：考虑量子效应后，从结果分析：68 下面再从定量的角度来计算电子气的热容，在T=0 k时：能量 F时，f(.T)=1 F时，f(.T)=0 基态下电子气的总能量：当温度升高到TK时电子气的总能量：这两个能量之差就是电子气温度升高时的热能。69 当温度T升高时，随温度变化比较大是在费米面附近，在远离费米面的地方，随温度的变化很小。总电子数：d=常数（不随温度变化）d=常数70即：又再加上一项等于零的积分对Cel无影响则：71 上式表示只在费米面附近求积分，若把D()换成D(F)，即只考虑费米面附

42、近的轨道密度，则：又 是温度的函数，当TTF时，近似等于F，由此引起的误差在T/TF的二次方的数量级。727374 金属的热容应是两部分热容之和，既自由电子费米气与点阵对热容的贡献之和，低温下电子气的热容Cel T，而点阵对Cv的贡献为：75 在室温下电子气对热容的贡献小的可以忽略，但在低温下电子气的热容就显示出来了，低温下C=T+AT3或C/T=+AT2，由C/TT2的直线关系，由截距可求出，斜率可决定A，由实验直线可定出这两个常数。而由此可求出理论值，但理论值与观测值的差别很大。76实验值实验值77 按照近代固体理论，晶体中的电子与真空中的自由电子不同，不再是一个基本粒子，而是一个准粒子，

43、把晶体中的电子与周围的互作用看作一个整体，晶体中的电子就好象一个穿了衣服的电子一样。78 电子与周围环境的互作用主要有：电子与原子实周期点阵的互作用。电子在周期势场中运动，周期势场的作用改变了电子的质量，称有能带有效质量。79电子与声子的互作用 原子实在平衡位置作小振动，电子运动到原子实附近时，由于电子与原子实之间的库仑作用要干扰原子实的振动，这种互作用可用一种畸变势来描写，电子要改变离子实的势场而运动。电子与电子的互作用 在稠密电子气中，电子间有很强的库仑排斥作用，不论电子运动到什么地方都存在这种互作用，这样一种互作用也可考虑到电子质量的改变中。6.4 电导与欧姆定律电导与欧姆定律82 1.

44、电导率 在基态下，自由电子填充了费米球的所有轨道，即边界条件允许的每个k值上都分布了自旋相反的两个电子，当温度升高时，费米面附近的电子要被热激发，在无外电场时，在波矢空间费米球内的k的分布是对称的，有一个波矢为k的电子，就有一个波矢为-k的电子，或者说有一个速度为V的电子，就有一个速度为-V的电子(有中心反演对称性),所以整个费米球内的电子的平均速度为零，对电流无贡献,无外电场时就没有电流。83 在恒定电场作用下，费米球中的所有轨道上的电子都会受到电场力的作用，这个力会使波矢发生变化，由于费米球内的所有电子的波矢都发生了变化，而且由于外加恒定电场，变化率都相同，因而费米球就以一定的速度在波矢空

45、间漂移，其运动方向与电子运动方向相反，球心离开了原点，在恒定电场下，费米球就以恒定速度漂移下去。8485 反映在真实空间中，是每个电子的动量发生了变化,但 是恒定的，电子是作匀加速运动，即单位时间内电子的速度变化率是相同的，电子的运动速度越来越快。在恒定电场作用下就不会有恒定电流，而是电流就会越来越大，这是与事实不符合的。86 我们必须考虑碰撞机制，电子与声子及杂质缺陷的碰撞。正是由于这种碰撞使得电子的附加动量有所减小，才能抑制费米球的漂移，当这种碰撞消耗的动量与费米球漂移速度增大的积累相平衡时，费米球将不再漂移。87 即 （等号右边为单位时间内耗散的动量）-弛豫时间，-eE为定向运动动量的积

46、累(相当于球心的位移),单位时间内耗散的动量为hk/,当两项动量变化相等时,费米球就不动了。88电子的漂移速度为：电子对电流的贡献：（n是电子气密度）（这就是欧姆定律），相应的电子气的电导率：（此处的m*为电子的有效质量）。89 从这里我们可以看到在其它条件不变的情况下随n增大而增大，这是合理的，因为浓度n增大，载流子的数目就增多。电导率与m*成反比也在预料之中，m*越大就是粒子的惰性越大，也就越难于加速。与成正比，是因为实际是连续两次碰撞的时间间隔，即平均自由寿命，所以越大，电子在两次碰撞间被电场加速的时间越长，因而漂移速度越大，也就越大。90 电子有两种不同性质的速度，一种是电子在外加电场

47、中的定向运动速度，称为漂移速度，另一个是无规运动速度，是由于电子的无规运动引起的，即使没有外电场，电子也仍象普通气体分子那样作无规则运动，电子到处乱动，并不断被散射而改变运动方向，这种运动在电场中也照样存在，它不会对电流有所贡献，但有外场存在时，有一个与外电场反向的净附加速度，这个速度是叠加在无规运动速度之上的，电子无规运动的速度比漂移速度要大。91 决定金属中电子运动平均自由程的有三种机制：（1）样品中杂质缺陷对电子的散射。（2）电子与声子的碰撞，既电子受格波的散射，严格的周期势场是不散射电子的，只有周期场遭到破坏时才产生对电子的散射，这种碰撞依赖于温度，随温度的升高，碰撞几率增大。（3）电

48、子与电子的碰撞，由于泡利原理的限制，这种几率较小。922.弛豫时间的起源 我们曾引入作为两次碰撞之间的弛豫时间，但未曾讨论过它的起源，由周期结构中的波动理论，当电子波通过周期性的晶格时，将没有散射，除非周期性遭到破坏，布喇格条件被满足，因此规则晶格内电子波是不会被散射的，电子在晶体中的碰撞只能是同声子与杂质原子或缺陷之间的碰撞，正因为如此，弛豫时间也就是电子与声子等碰撞的时间间隔。933.金属的实验电阻率 引入电子与杂质碰撞的弛豫时间i，电子与热声子的碰撞弛豫时间l,则1/i与1/l分别表示电子与杂质、电子与热声子碰撞的几率，那么电子与杂质碰撞、电子与热声子碰撞对电阻率的贡献分别为：两种机制彼

49、此独立时总的散射几率为：对电阻率的总贡献为：=i+l 这就是马提生（Matthissens rule）定则。94 根据马提生定则，金属的电阻率应是温度T的函数：(T)=i+l 作-T曲线，外推到T=0K，此时 l=0，则可得纯粹由样品的杂质决定的电阻率，称为剩余电阻率，它是一个结构敏感量，是表征着样品纯度(或完美性)的特征量。95 通常对金属来说由于热声子散射导致的电阻率有一个经验公式：当TR时，f1，l T，即l与温度成正比，温度升高时，声子密度增加，碰撞几率增加，增加。但当TR时，热声子的电阻率l T5。966.5 电子在电磁场中的运动电子在电磁场中的运动971.漂移速度方程 由于外力 ，

50、使电子获得定向运动的动量，电子与声子及杂质原子间的碰撞可考虑成摩擦阻力，由于摩擦阻力而使单位时间内定向运动动量的改变(摩擦力为f=p/)：而在外加电磁场作用下：这就是外加电磁场作用下电子的漂移速度方程。98 若设磁场B的方向沿Z轴方向，漂移速度方程的三个分量的方程式为：99 若外电场是一个静电场E，外磁场是一个静磁场B，E、B不随时间而变化，则dv/dt=0，既过程达到稳定时，电子的速度也不随时间变化，则：其中 称为回旋频率。1002.霍耳效应 由上面的漂移速度方程我们能讨论霍耳效应，如下图：若一晶体上沿x方向有一电流，此时在z方向加一磁场电子受洛仑磁力作用而向-y方向偏移，偏移的结果使样品边