人教版数学八年级下册矩形课件.pptx

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1、栏目索引栏目索引18.2.1矩形知识点一知识点一矩形的定义矩形的定义内容矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也叫长方形知识拓展1.矩形是特殊的平行四边形,特殊在角上,即当平行四边形有一个角为直角时,平行四边形是矩形.2.要说明一个四边形为矩形,只要先说明该四边形为平行四边形,再说明有一个角为直角即可栏目索引栏目索引18.2.1矩形例例1如图18-2-1-1,已知点D是ABC的边BC(不含点B,C)上的一点,DEAB交AC于点E,DFAC交AB于点F,要使四边形AFDE是矩形,则在ABC中要增加的一个条件是.图18-2-1-1解析解析答案答案A=90(答案不唯一)点拨点拨这类题属于条件开

2、放型试题,因为矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定方法,所以添加条件可以结合矩形的定义.栏目索引栏目索引18.2.1矩形知识点二知识点二矩形的性质矩形的性质性质应用格式图示矩形的性质矩形具有平行四边形的一切性质 角四个角都是直角四边形ABCD是矩形,BAD=ADC=DCB=CBA=90对角线对角线相等四边形ABCD是矩形,AC=BD对称性矩形是轴对称图形,有2条对称轴,过对边中点的两条直线栏目索引栏目索引18.2.1矩形例例2如图18-2-1-2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BOC=120,AB=6.求:(1)对角线的长;(2)BC的长;(3)矩形的面积.图18-2-1-2

3、栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析(1)四边形ABCD是矩形,AC=BD,OA=OC,OB=OD,OA=OB.BOC=120,AOB=60,AOB是等边三角形,OA=AB=6,BD=AC=2OA=26=12.(2)在RtABC中,AB=6,AC=12,由勾股定理,得BC=6.(3)矩形ABCD的面积为ABBC=66=36.栏目索引栏目索引18.2.1矩形知识点三知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半名称直角三角形斜边上的中线图示性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半应用格式在RtABC中,ACB=90,点D是AB的中点,则CD=AB=AD=BD

4、栏目索引栏目索引18.2.1矩形例例3如图18-2-1-3,在RtABC中,ACB=90,A=30,BC=5,CD是AB边上的中线,则CD的长是.图18-2-1-3解析解析答案答案5栏目索引栏目索引18.2.1矩形知识点四知识点四矩形的判定方法矩形的判定方法判定方法符号语言图示矩形的判定角有一个角是直角的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中,BAD=90,平行四边形ABCD是矩形有三个角是直角的四边形是矩形在四边形ABCD中,BAD=ADC=DCB=90,四边形ABCD是矩形对角线对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中,AC=BD,平行四边形ABCD是矩形栏目索引栏目索引18.2

5、.1矩形例例4(2018天津河东期末)如图18-2-1-4,在四边形ABCD中,ABCD,BAD=90,AB=5,BC=12,AC=13.求证:四边形ABCD是矩形.图18-2-1-4分析分析栏目索引栏目索引18.2.1矩形证明证明在四边形ABCD中,ABCD,BAD=90,ADC=90,又在ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,AC2=AB2+BC2,ABC是直角三角形,且B=90,四边形ABCD是矩形.栏目索引栏目索引18.2.1矩形题型一题型一利用矩形的性质进行计算利用矩形的性质进行计算例例1如图18-2-1-5,在矩形ABCD中,AEBD于点E,DAEBAE=31,求BAO和DA

6、O的度数.图18-2-1-5分析分析由DAE与BAE之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出DAE和BAE的度数,从而得出ABE的度数,由矩形的性质易得BAO=ABE,即可求出BAO的度数,再由EAO=BAO-BAE可得EAO的度数.栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析四边形ABCD是矩形,DAB=90,AO=AC,BO=BD,AC=BD,BAE+DAE=90,AO=BO.又DAEBAE=31,BAE=22.5,DAE=67.5.AEBD,ABE=90-BAE=90-22.5=67.5.AO=BO,BAO=ABE=67.5,EAO=BAO-BAE=67.5-22.5=45.栏目索引栏目索引1

7、8.2.1矩形题型二题型二利用矩形的性质进行证明利用矩形的性质进行证明例例2如图18-2-1-6,四边形ABCD是矩形,PBC和QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.图18-2-1-6求证:(1)PBA=PCQ=30;(2)PA=PQ.栏目索引栏目索引18.2.1矩形证明证明(1)四边形ABCD是矩形,ABC=BCD=90.PBC和QCD都是等边三角形,PBC=PCB=QCD=60,PBA=ABC-PBC=30,PCD=BCD-PCB=30,PCQ=QCD-PCD=30,故PBA=PCQ=30.(2)四边形ABCD是矩形,AB=DC.PBC和QCD都是等边三角形,PB=PC,A

8、B=DC=QC.又由(1)知PBA=PCQ,PABPQC(SAS),PA=PQ.栏目索引栏目索引18.2.1矩形题型三题型三利用矩形的判定方法解决动点问题利用矩形的判定方法解决动点问题例例3如图18-2-1-7,在ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MNBC,设BCA的平分线交MN于点E,BCA的外角ACD的平分线交MN于点F.连接AE,AF.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明.图18-2-1-7栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析(1)证明:CE平分ACB,ACE=BCE.MNBC,OEC=BCE.OEC=OCE,OE=OC.同理,

9、OC=OF,OE=OF.(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.证明如下:由(1)知OE=OF,又OA=OC,四边形AECF是平行四边形.CE平分ACB,CF平分ACD,ECA=BCA,ACF=ACD,栏目索引栏目索引18.2.1矩形ECA+ACF=(BCA+ACD)=180=90,ECF=90,四边形AECF是矩形.方法点拨方法点拨求点O运动到何处时四边形AECF是矩形,可以把矩形当作已知条件,求出O点与AC的位置关系,然后添加条件,经过说理,证明四边形AECF是矩形.这是条件探索题的一般思路.栏目索引栏目索引18.2.1矩形易错点易错点运用矩形的性质时考虑不全面运用矩形的性质

10、时考虑不全面,漏解致错漏解致错例例如图18-2-1-8,矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm两部分,则此矩形的周长是.图18-2-1-8正解正解22cm或26cm栏目索引栏目索引18.2.1矩形错解错解(1)22cm(2)26cm错解警示错解警示没有进行分类讨论而漏解,由于矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm两部分,它并没有指明这两部分具体的长,所以应根据矩形的性质得出AD=BC,AB=CD,ADBC,推出AEB=CBE,求出ABE=CBE=AEB,推出AB=AE=CD,然后分AE=3cm或AE=5cm两种情况分类求解.栏目索引栏目索引18.2.1矩形知识点一知识点

11、一矩形的定义矩形的定义1.在四边形ABCD中,ABDC,ADBC,如果添加一个条件,即可推出该四边形是矩形,那么这个条件可以是.答案答案不唯一,如A=90(或B=90,或C=90,或D=90)等解析解析ABDC,ADBC,四边形ABCD是平行四边形,根据定义若加条件,需要加一个直角,即A=90(或B=90,或C=90,或D=90),则可由定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形,推出四边形ABCD是矩形.栏目索引栏目索引18.2.1矩形知识点二知识点二矩形的性质矩形的性质2.如图18-2-1-1,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为()图18-2-1-1A.4B

12、.3C.2D.1答案答案A因为矩形的对角线相等且互相平分,OA=2,所以AC=2OA=4,BD=AC,所以BD的长为4.栏目索引栏目索引18.2.1矩形3.如图18-2-1-2所示,点O是矩形ABCD对角线AC的中点,OEAB交AD于点E.若AB=6,BC=8,则BOE的周长为()图18-2-1-2A.10B.8+2C.8+2D.14栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案C点O是矩形ABCD对角线AC的中点,OEAB,E点为AD中点,OE=CD=AB=3.在RtABE中,利用勾股定理求得BE=2.在RtABC中,利用勾股定理求得AC=10.BO=5.故BOE的周长为5+3+2=8+2.故选C

13、.栏目索引栏目索引18.2.1矩形4.(2019江苏徐州期中)如图18-2-1-3,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若ADB=36,则E=.图18-2-1-3答案答案18栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析连接AC,四边形ABCD是矩形,ADBE,AC=BD,且ADB=CAD=36,E=DAE,又BD=CE,CE=CA,E=CAE,CAD=CAE+DAE,E+E=36,E=18.故答案为18.栏目索引栏目索引18.2.1矩形5.(2019广东广州番禺一模)如图18-2-1-4,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为()图

14、18-2-1-4A.2.5B.7.5C.8.5D.10知识点三知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半答案答案DADBC,ADC=90,AE=EC,AC=2DE=10,AB=AC=10,故选D.栏目索引栏目索引18.2.1矩形知识点四知识点四矩形的判定方法矩形的判定方法6.(2018吉林长春宽城期末)在数学活动课上,老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形,下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案,其中正确的是()A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量四边形中的三个角是否都为直角答案答案DA.对角线是

15、否相互平分,能判定平行四边形;B.两组对边是否分别相等,能判定平行四边形;C.测量一组对角是否都为直角,不能判定形状;D.四边形中三个角都为直角,能判定矩形.故选D.栏目索引栏目索引18.2.1矩形7.如图18-2-1-5,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不一定正确的是()图18-2-1-5A.AB=CDB.AC=BDC.当ABC=90时,它是矩形D.AC与BD互相平分答案答案B因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AC与BD互相平分,当ABC=90时,它是矩形,所以选项A、C、D中结论正确,故选B.栏目索引栏目索引18.2.1矩形1.(2019广东广州中考)如图,矩形AB

16、CD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为()A.4B.4C.10D.8栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案A设EF与AC相交于点O,连接AE,如图,EF垂直平分AC,OA=OC,AE=CE,四边形ABCD是矩形,B=90,ADBC,OAF=OCE,在AOF和COE中,AOFCOE(ASA),AF=CE=5,AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,AB=4,AC=4.故选A.栏目索引栏目索引18.2.1矩形2.如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2,则它们

17、的大小关系是()A.S1S2B.S1=S2C.S1AD,AN平分DAB,DMAN,CNAN,M、N为垂足,若AB=a,则DM+CN的值为()A.aB.aC.aD.a栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案C如图所示,设AN与CD交于点E,四边形ABCD是矩形,ADC=DAB=90,CD=AB=a,AN平分DAB,DAM=45,CEN=DEM=45,DMAN,CNAN,DME和CNE是等腰直角三角形,DM=DE,CN=CE,DM+CN=(DE+CE)=CD=a.故选C.栏目索引栏目索引18.2.1矩形2.(2019湖北武汉武昌期末,10,)如图,MON=90,矩形ABCD在MON的内部,顶点A,

18、B分别在射线OM,ON上,AB=4,BC=2,则点D到点O的最大距离是()A.2-2B.2+2C.2-2D.+2栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案B取AB的中点E,连接OE、DE、OD,MON=90,OE=AB=2.在RtDAE中,利用勾股定理可得DE=2.在ODE中,根据三角形三边关系可知DE+OEOD,当O、E、D三点共线时,OD最大,为OE+DE=2+2.故选B.栏目索引栏目索引18.2.1矩形3.(2019山东日照莒县期中,21,)材料阅读:小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为(1,2),端点B的坐标为(3,4),则线段AB中点的坐标为(2,3),通过进一步的探究发现在平面直角坐

19、标系中,以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为.知识运用:如图,矩形ONEF的对角线相交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为.能力拓展:在直角坐标系中,有A(-1,2)、B(3,4)、C(1,4)三点,另有一点D与点A、B、C构成平行四边形,求点D的坐标.栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析知识运用:矩形ONEF的对角线相交于点M,OM=EM,M为OE的中点,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),点M的坐标为,即点M的坐标为.故答案为.能力拓展:如图所示:栏目索引栏目索引18.2.1矩形有三种情况:当AB为对

20、角线时,A(-1,2),B(3,4),C(1,4),BC=2,AD=2,D1点坐标为(1,2);当BC为对角线时,A(-1,2),B(3,4),C(1,4),D2点坐标为(5,6);当AC为对角线时,A(-1,2),B(3,4),C(1,4),CB=2=AD,D3点坐标为(-3,2).综上所述,符合要求的点D的坐标为(1,2)或(-3,2)或(5,6).栏目索引栏目索引18.2.1矩形一、选择题一、选择题1.(2019湖北十堰中考,5,)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分答案答案C矩形的对角线相等,而平行四边形的对角线不一定相等.

21、栏目索引栏目索引18.2.1矩形2.(2019山东临沂中考,13,)如图18-2-1-18,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()图18-2-1-18A.OM=ACB.MB=MOC.BDACD.AMB=CND栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案A四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,OB-BM=OD-DN,即OM=ON,四边形AMCN是平行四边形,OM=AC,MN=AC,四边形AMCN是矩形.故选A.栏目索引栏目索引18.2.1矩形二、填空

22、题二、填空题3.(2018福建中考,13,)如图18-2-1-19,在RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=.图18-2-1-19答案答案3解析解析ACB=90,D为AB的中点,CD=AB=6=3.栏目索引栏目索引18.2.1矩形4.(2019贵州安顺中考,17,)如图18-2-1-20,在RtABC中,BAC=90,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DMAB于点M,DNAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.图18-2-1-20答案答案栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析BAC=90,且BA=3,AC=4,BC=5,DMAB,DNA

23、C,DMA=DNA=BAC=90,四边形DMAN是矩形,MN=AD,当ADBC时,AD的值最小,ABC的面积=ABAC=BCAD,AD=,MN的最小值为.栏目索引栏目索引18.2.1矩形5.(2018广西贵港中考,16,)如图18-2-1-21,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边BC与CD交于点M,若BMD=50,则BEF的度数为.图18-2-1-21答案答案70栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析依题意得B=B=BMD+BEA=90,所以BEA=90-50=40,所以BEB=180-BEA=140,又BEF=BEF,所以BEF=BEB=70.栏目索引栏目索引18.2.1矩形三、

24、解答题三、解答题6.(2019山东青岛中考,21,)如图18-2-1-22,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:ABECDF;(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.图18-2-1-22栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,OB=OD,OA=OC,ABE=CDF,点E,F分别为OB,OD的中点,BE=OB,DF=OD,BE=DF,在ABE和CDF中,ABECDF(SAS).(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是

25、矩形,理由如下:AC=2OA,AC=2AB,AB=OA,栏目索引栏目索引18.2.1矩形E是OB的中点,AGOB,OEG=90,同理,CFOD,AGCF,EGCF,EG=AE,OA=OC,OE是ACG的中位线,OECG,EFCG,四边形EGCF是平行四边形,OEG=90,四边形EGCF是矩形.栏目索引栏目索引18.2.1矩形1.(2017浙江舟山中考,9,)一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按下图步骤折叠纸片,则线段DG的长为()A.B.2C.1D.2栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案A由RtDAE折叠得到RtDAE,得DA=DA=2,CA=DC-DA=1,矩形AEBC折

26、叠到矩形AEBC,CA=CA=1,DC=CA=1,D=45,DCB=90,DCG为等腰直角三角形,DG=DC=,故选A.栏目索引栏目索引18.2.1矩形2.(2019甘肃兰州中考,16,)如图,已知矩形ABCD,BAC=60,以点A为圆心,以任意长为半径作弧分别交AB,AC于M,N两点,再分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于.栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案3解析解析由题意可知AP是BAC的平分线,BAE=BAC=30,在RtABE中,tan30=,而BE=1,AB=,在RtABC中,tan60=,BC=3

27、,S矩形ABCD=ABBC=3=3.栏目索引栏目索引18.2.1矩形3.(2018山东威海中考,21,)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C与AD边上的点K重合,FH为折痕,已知1=67.5,2=75,EF=+1.求BC的长.栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析如图,由题意,得3=180-21=45,4=180-22=30,BE=EK,KF=FC.过点K作KMEF,垂足为M.设KM=x,则EM=x,EK=x,KF=2x,在RtKMF中,由勾股定理得KF2=KM2+MF2,MF=x,x+x=+1,解得x=1.EK=,KF=2.BC=BE+EF+FC=

28、EK+EF+KF=3+,即BC的长为3+.栏目索引栏目索引18.2.1矩形4.(2019黑龙江大庆中考,25,)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.M、N在对角线AC上,且AM=CN,E、F分别是AD、BC的中点.(1)求证:ABMCDN;(2)点G是对角线AC上的点,EGF=90,求AG的长.栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD,MAB=NCD.在ABM和CDN中,ABMCDN(SAS).(2)如图,连接EF,交AC于点O.栏目索引栏目索引18.2.1矩形在AEO和CFO中,AEOCFO(AAS),EO=FO,AO=CO,O为EF、AC的

29、中点.EGF=90,OG=EF=,AG=OA-OG=1或AG=OA+OG=4,AG的长为1或4.栏目索引栏目索引18.2.1矩形5.(2019黑龙江哈尔滨中考,24,)(8分)已知:在矩形ABCD中,BD是对角线,AEBD于点E,CFBD于点F.(1)如图1,求证:AE=CF;(2)如图2,当ADB=30时,连接AF、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的.栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,AB=CD,ABCD,ADBC,ABE=CDF,AEBD于点E,CFBD于点F,AEB=CFD

30、=90,在ABE和CDF中,ABECDF(AAS),AE=CF.(2)ABE的面积=CDF的面积=BCE的面积=ADF的面积=矩形ABCD面积的.栏目索引栏目索引18.2.1矩形理由如下:ADBC,CBD=ADB=30,ABC=90,ABE=60,AEBD,BAE=30,BE=AB,AE=AD,ABE的面积=BEAE=ABAD=ABAD=矩形ABCD的面积,ABECDF,CDF的面积=矩形ABCD的面积.栏目索引栏目索引18.2.1矩形作EGBC于G,如图所示,CBD=30,EG=BE=AB=AB,BCE的面积=BCEG=BCAB=BCAB=矩形ABCD的面积,同理ADF的面积=矩形ABCD的

31、面积.栏目索引栏目索引18.2.1矩形1.(2019山东日照莒县期中)如图18-2-1-23,矩形ABCD的面积为20cm2,对角线交于点O,以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B,对角线交于点O1,以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B,依此类推,则平行四边形AO2019C2020B的面积为()图18-2-1-23A.cm2B.cm2C.cm2D.cm2栏目索引栏目索引18.2.1矩形答案答案C设矩形ABCD的面积为S,则S=20cm2,根据题意得平行四边形AOC1B的面积=矩形ABCD的面积=S,平行四边形AO1C2B的面积=平行四边形AOC1B的面积=S=,平行四边形AOn-1C

32、nB的面积=,平行四边形AOnCn+1B的面积=,平行四边形AO2019C2020B的面积为=cm2,故选C.栏目索引栏目索引18.2.1矩形2.(2019广西玉林中考)如图18-2-1-24,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,一发光电子开始置于AB边的点P处,并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞,将发光电子沿着PR方向发射,碰撞到矩形的边时均反射,每次反射的反射角和入射角都等于45,若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后,则它与AB边的碰撞次数是.图18-2-1-24答案答案673栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析如图.根据图形可以得到每6次为一个循环组依次循环,经过6次

33、反射后动点回到出发点(6,0),且每次循环它与AB边的碰撞有2次,20196=3363,当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反射,点P的坐标为(6,4),它与AB边的碰撞次数是3362+1=673,故答案为673.栏目索引栏目索引18.2.1矩形1.如图,在ABC中,ACB=90,A=60,AC=a,作斜边AB上的中线CD,得到第一个三角形ACD;DEBC于点E,作RtBDE的斜边DB上的中线EF,得到第二个三角形DEF;,依此进行下去,则第n个三角形的面积等于.答案答案栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析ACB=90,CD是斜边AB上的中线,CD=AD,A=60,A

34、CD是等边三角形,且AD=BD=a,AD=AC=a,同理可得,被分成的第二个、第三个、第n个三角形都是等边三角形,CD是AB上的中线,EF是DB上的中线,第一个等边三角形的边长CD=AB=AD=a;第二个等边三角形的边长EF=DB=a;第n个等边三角形的边长为a,所以,第n个三角形的面积为a=.栏目索引栏目索引18.2.1矩形2.长与宽之比为1的矩形纸片称为标准纸,请思考并解答下列问题:(1)将一张标准纸ABCD(ABBC)对开,如图所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸,请给予证明;(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(ABBC)进行如下操作:第一步:沿过A点的直线折叠,使B

35、点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图甲);第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上的点N处,折痕为DG(如图乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;栏目索引栏目索引18.2.1矩形第三步:沿直线DM折叠(如图丙),此时点G恰好与N点重合.请你探究:矩形纸片ABCD是不是标准纸,请说明理由;(3)不难发现:将一张标准纸按如图所示的方式一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸,现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索并直接写出第2020次对开后所得标准纸的周长.栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析(1)证明:矩形纸片ABCD是标准纸,且A

36、B0.由图形折叠可知ABEAFE,BAE=FAE,DAE=BAD=45,栏目索引栏目索引18.2.1矩形由图形折叠知DGEM,AGD=90,ADG是等腰直角三角形,又由图形折叠知DG=CD=a,在RtADG中,AD=a,=.矩形纸片ABCD是标准纸.栏目索引栏目索引18.2.1矩形对开次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次周长21+2+2+2+2+2+(3)第5次对开后所得的标准纸的周长为,第2020次对开后所得的标准纸的周长为.栏目索引栏目索引18.2.1矩形3.(2017山东济宁中考)实验探究:(1)如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;再次折叠纸片,使

37、点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图,猜想MBN的度数是多少,并证明你的结论.图(2)将图中的三角纸纸片BMN剪下,如图.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系,并结合方案证明你的结论.图栏目索引栏目索引18.2.1矩形解析解析(1)MBN=30.证明:如图,连接AN,由折叠知,直线EF是AB的垂直平分线,点N在EF上,AN=BN.由折叠可知,BN=AB,ABM=NBM,ABN是等边三角形.ABN=60.MBN=ABM=ABN=30.栏目索引栏目索引18.2.1矩形(2)MN=BM.折叠方案:如图,折叠三角形纸片BMN,使点N落在BM上的点O处,并使折痕经过点M,得到折痕MP,同时得到线段PO.证明:由折叠知MOPMNP,MN=OM,OMP=NMP=OMN=30=B,MOP=MNP=90,BOP=MOP=90.OP=OP,MOPBOP.MO=BO=BM,MN=BM.