第8章-多元函数微分学及其应用-高等数学教学ppt课件.ppt

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1、 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2 偏导数偏导数 3 全微分 4 复合函数与隐函数的求导法 5 多元函数微分学的几何应用 6 方向导数与梯度方向导数与梯度 7 多元函数的极值 1 多元函数的基本概念一 平面点集、n 维空间 1.平面点集设 P(x0,y0)和 Q(x,y)是xOy平面上的任意两点，那么Q和P之间的距离为 称集合U(P,)=Q(x,y)|PQ|为点P的邻域.在xOy平面上,U(P,)的几何意义:以点P为圆心、为半径的圆内所有点所构成的集合.集合U(P,)P称为点P的去心邻域,记作 设E为平面上的点集，P为平面上一点.若存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E，则称点P

2、为E的内点.如果E中每一点都是它的内点,则称E为开集.如果点P的任意邻域中既有属于E又有不属于E的点，则称点P为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界.注 E的边界点可属于E，也可不属于E.例:设点集E=(x,y)|1 x 2+y2 4,则E中满足 1 x 2+y2 0,邻域U(P,r)都含有E的无限多个点，则称点P为E的聚点.注:点集E的聚点可属于E,也可不属于E.如果E的所有聚点都属于E,则称E为闭集.如果点集E内的任何两点都可用E内的折线连结起来，则称E是连通集.连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界所组成的点集称为闭区域.闭区域是一个闭集.对于平面点集 E，如果存在某正数 k

3、，使得 O 是坐标原点，则称 E是有界集;否则称为无界集.2.n 维空间 设n为取定的自然数，n元有序数组的全体 称为n维空间.称为n维空间Rn中的一个点，xi称为该点的第i个坐标.Rn中两点 注:平面中的概念均可推广到n维空间Rn上去.二 多元函数的定义 多元函数反映的是一个变量与多个变量的依赖关系.例1 由电学定律知,电流所作的功W与电流强度I的平方成正比,与电流通过的时间t成正比,其关系可表示为：W=RI2t,其中R为常量,为电路上的电阻.例2 在空间解析几何中,方程 旋转抛物面.对于平面xOy上的任何一点(x,y),对应着唯一的实数 z,使得点P(x,y,z)位于该旋转抛物面上.定义1

4、 设D为平面上的一个非空点集.如果对于D中每一点P(x,y)，按照法则f,总有唯一确定的实数 z与之对应,则称 f 是D上的二元函数,记为 z=f(x,y)，(x,y)D.或z=f(P)，PD.点集D称为函数的定义域,x、y称为自变量，z称为因变量；D中每一点(x,y)对应的实数z称为f在点(x,y)的函数值;数集称为该函数的值域;点集称为二元函数的图形.例:函数 z=x+y的定义域是 xOy面,值域是 R,图形是一张平面;函数 z=x 2+y2的定义域是xOy面,值域是z 0:zR,图形是旋转抛物面.关于二元函数的定义域,约定:如果该函数采用解析式表示,而没明确指出定义域,则该函数的定义域理

5、解为使这个解析式有意义的那些点所组成的点集,这种点集也称为该函数的自然定义域.例3 求 的定义域.解 使解析式ln(x+y)有意义的点集是 使解析式 有意义的点集是 故f(x,y)的定义域为 定义2 设D是n维空间Rn的非空子集.若对于D中每一点 P(x1,x2,xn),按照某一法则f总有唯一确定的实数y与之对应,则称f是定义在D上的n元函数.记作 y=f(x1,x2,.,xn),(x1,x2,.,xn)D，或 y=f(P),P D.点集D中的点P(x1,x2,.,xn)唯一确定的数y称为 f 在点P的函数值.点集D称为函数的定义域,xi称为自变量，i=1,2,n,而z称为因变量.三 多元函数

6、的极限与连续 1.多元函数的极限设E为平面xOy上的点集,P0(x0,y0)是E的聚点.E上的动点P(x,y)趋于P0(x0,y0),记作P(x,y)P0(x0,y0),或(x,y)趋于(x0,y0),记作P(x,y)P0(x0,y0),是指注:考虑的是 P与 P0的距离趋于0,因此点P可以任何方式趋于点P0.定义3 设二元函数z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点.如果对任意给定的正数,总存在正数,使得对任意点 时,总有|f(x,y)-A|成立,则称常数A为函数z=f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限,记作 或 二元函数的极限又叫做二重极限.例4解 点P0=(0

7、,0)是该函数定义域D=(x,y)|x2+y2 0的聚点.例5 求下列各极限.解（1)作变换u=xy,那么当(x,y)(1,0)时u 0,从而 注 在二重极限中,点(x,y)趋于(x0,y0)的方式具有任意性,因此,判断f(x,y)的极限的存在性要顾及自变量的所有可能的趋近方式.但是要否认极限的存在却简单些,只要找出趋于(x0,y0)的一个点列(xn,yn),使得数列f(xn,yn)没极限,或找出(x,y)趋于(x0,y0)两种方式,使得 f(x,y)关于这两种不同方式具有不同的极限值即可.例6 设函数 证明:当证明 当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,y=0,从而 当点P(x,y)沿y

8、轴趋于点(0,0)时,y=0,从而 此极限值与数k有关,当k的值不同时,极限值也不同.定义3 设n元函数w=f(P)的定义域为D,是 D的聚点.若对任意正数,总存在正数,使得当 时,总有|f(P)-A|2)、条 件多于一个的情形.作拉格朗日函数 在各偏导连续的条件下，该条件极值的极值点必满足方程组:以及 例4 求函数z=xy在条件 解 作拉格朗日函数解方程组得 代入z=xy中,例5 某企业生产一种产品W单位时需用A、B 两种原料分别为x、y单位,满足关系W(x,y)=0.005 x2y.现计划投入150万人民币以购买这两种原料.已知A种原料的单价为1万元,B种原料的单价为2万元.问:应如何购买

9、这两种原料才能使生产的产量最高?解 根据题意，问题归结为求函数 W(x,y)=0.005 x2y 在约束条件x+2y=150下的最大值.作拉格朗日函数 L(x,y,l)=0.005 x2y+l(x+2y-150).求L的一阶偏导数,并令它们分别等于零,得Lx(x,y,l)=0.01 xy+l=0,Ly(x,y,l)=0.005 x2+2l=0,Ll(x,y,l)=x+2y-150=0.解得 x=100,y=25,(l=-25).只有唯一驻点(100,25),且实际问题的最大值存在,驻点(100,25)也是W(x,y)的最大值点,而最大值为W(100,25)=1250(单位),即当购买A种原料100单位,B种原料25单位时,可使生产的产量最高.