隐函数的偏导数精品文稿.ppt

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1、隐函数的偏导数第1页，本讲稿共15页一一.隐函数隐函数定义定义 1 1.若存在集若存在集函数函数,则则对方程对方程使得对使得对都有唯一的都有唯一的与与一起满足方程一起满足方程 (1),(1),则称方程则称方程 (1)(1)确定了定义在确定了定义在 X X 上上,值域含于值域含于 Y Y 的隐的隐若记若记并非任一方程都能确定隐函数。并非任一方程都能确定隐函数。第2页，本讲稿共15页定理定理 1 1.二二.隐函数存在定理隐函数存在定理若若在含点在含点的某区域的某区域 D D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,且且则方程则方程内唯一确定内唯一确定在某在某一个具有连续偏导数的一个具有连续偏导数的

2、n n 元函数元函数使得使得注意注意是指是指而非而非证明略，公式推导见黑板。证明略，公式推导见黑板。第3页，本讲稿共15页例例 1.1.验证方程验证方程在点在点 (0,0)(0,0)某邻域某邻域可可确定一确定一连续可导的隐函数连续可导的隐函数令令连续连续 ,由定理由定理 1,1,导的隐函数导的隐函数 则则在原点的某邻域内方程可确定连续可在原点的某邻域内方程可确定连续可并求并求解：解：偏导数偏导数且且且且第4页，本讲稿共15页例例 2.2.设函数设函数具有连续偏导数，具有连续偏导数，令令均连续均连续 ,则则求由方程求由方程解：解：若若所确定的隐函数的偏导数所确定的隐函数的偏导数任一点任一点(x

3、x,y y,z z)处处,在满足已知方程的在满足已知方程的则有则有法一法一.第5页，本讲稿共15页例例 2.2.设函数设函数具有连续偏导数，具有连续偏导数，将将 z z 视为视为 x x,y y 的函数的函数,方程两边对方程两边对 x x 求偏导得求偏导得求由方程求由方程解：解：所确定的隐函数的偏导数所确定的隐函数的偏导数法二法二.若若则可解得则可解得注：注：定理定理 1 1 中若函数中若函数存在存在 k k 阶连续阶连续偏导数偏导数,数的隐函数。数的隐函数。则方程则方程 F F =0 0 可确定具有可确定具有 k k 阶连续偏导阶连续偏导第6页，本讲稿共15页以二元函数为例以二元函数为例,存

4、在二阶连续偏导数，存在二阶连续偏导数，若若则则隐函数隐函数有二阶连续导数有二阶连续导数,由由得得第7页，本讲稿共15页练练 1 1.验证方程验证方程邻域内可确定具有二阶连续导数的隐函数邻域内可确定具有二阶连续导数的隐函数答：答：令令在点在点 (0,0,0)(0,0,0)的某的某并求并求在原点在原点的某邻域内连续的某邻域内连续;验证验证求得求得第8页，本讲稿共15页练练 2 2.设设续偏导数续偏导数,且且f f,g g 在区域在区域 D D 内有连内有连求求答：答：第9页，本讲稿共15页定理定理 2 2.三三.隐函数组存在定理隐函数组存在定理设设在含点在含点的某区域的某区域 D D 内具有连续的

5、偏导数内具有连续的偏导数,且且雅可比行列式雅可比行列式处不为处不为0 0，在点在点具有连续偏导数的二元函数具有连续偏导数的二元函数则方程组则方程组在某在某内唯一确定一组内唯一确定一组使得使得且且第10页，本讲稿共15页例例 3.3.验证方程组验证方程组在点在点 (1,0,1,1)(1,0,1,1)某邻域某邻域可可确定确定隐函数组隐函数组令令连续连续 ,则则并求并求解：解：且且而而由定理由定理 2,2,在点在点 (1,0,1,1)(1,0,1,1)的某邻域可的某邻域可确确定隐函数组定隐函数组偏导数计算见黑板。偏导数计算见黑板。注意对称性。注意对称性。第11页，本讲稿共15页例例 4 4.设设续偏

6、导数续偏导数,且且解：解：f f,g g 在区域在区域 D D 内有连内有连求求令令则则及及均连续均连续,且且因此方程组在其解的邻域内能确定一元隐函数组因此方程组在其解的邻域内能确定一元隐函数组且且第12页，本讲稿共15页例例 7 7.设函数设函数在点在点域内具有连续偏导数域内具有连续偏导数,且且并求并求证明由此可确定具有连续偏导数的反函数组证明由此可确定具有连续偏导数的反函数组的某邻的某邻解：解：则则令令的各偏导连续的各偏导连续,且且由定理由定理 2,2,可确定反函数组可确定反函数组偏导计算作为练习。偏导计算作为练习。第13页，本讲稿共15页练练 3.3.计算极坐标变换计算极坐标变换换的导数换的导数.由于由于的反变的反变解：解：所以当所以当时，时，可确定反变换。可确定反变换。并可得并可得第14页，本讲稿共15页作业：作业：P P3737.2.(2);3.(6)2.(2);3.(6)F F 偏导连续偏导连续 12.(1)(3).14.12.(1)(3).14.注：注：2 2、3 3、14 14 题中只求题中只求第15页，本讲稿共15页