4-4--最大公因式ppt课件(全).ppt

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1、2023/2/9高等代数一、两个多项式的最大公因式定义1：若 则 是 的一个公因式。的一个公因式。定义2：设 是 的一个公因式。若 的任一个公因式均有则称是 的最大公因式。是 例如2023/2/9高等代数问题：1、如何求两个多项式的最大公因式？2、最大公因式是否唯一？引理：若 与 公因式和最大公因式。证：1、设是 的公因式是 的公因式。反之，设是 的公因式是 的公因式。则两对多项式与，有相同的2023/2/9高等代数2、设是 的最大公因式是 的公因式，对 的任一公因式是 的公因式故 是 的最大公因式。反之同样成立。的最大公因式可以由引理知，要求转化为求与 的最大公因式。由于根据这种思想，我们可

2、以对2023/2/9高等代数进行如下的辗转相除：（）当进行到某一步时，余式为0。例如则上一个式子的余式就是的最大公因式。2023/2/9高等代数于是得定理：若两个多项式经辗转相除后得一系列等式（1.4.1），则 的最大公因式为 。定理：中任意两个多项式的最大公因式必存在，且若是 的最大公因式，则必存在，使由于余式的次数不断降低，而的次数是有限的，故经过有限次辗转相除之后，必然有余式2023/2/9高等代数证明：1、若则 的最大公因式是0。显然有任意。2、若则 的最大公因式是任意。3、若使 则由定理知，经辗转相除后可求出它们的最由（1.4.1）可求得大公因式为2023/2/9高等代数设 都是的最

3、大公因式，则有即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。若用表示中首项系数为1的最大公因式，则唯一确定。2023/2/9高等代数例：设 求，和使 解：（利用辗转相除法）二、两个多项式互素若 定义3：则称互素。定理：的充要条件是存在 使 2023/2/9高等代数多项式互素的性质。性质性质1：若 则 证：性质性质2：若 且 则 证：2023/2/9高等代数性质性质3：若 又 则 证：代入上式即知三、多个多项式的情况定义4：设 则称是这组多项式的公因式，若 是 的公因式，且这组多项式的任一公因式都能整除。则称是的最大公因式。2023/2/9高等代数则称是 的最大公因式。用 表示首一的最大公因式，则 性质1、若则 使 。性质2、若则称互素。性质3、若则称两两互素。性质4、互素两两互素。2023/2/9高等代数例1.4.2 设互素，但 。性质5、两两互素互素。注意：个多项式的最大公因式（互素）不随数域的扩大而改变。