学年北师大版必修第一册3.2 基本不等式课堂作业.docx

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1、【基础】3.2基本不等式课堂练习一、单项选择题2 m1 .加1, 0,且加2+2 = 32,那么;十丁的最小值为（）m -1 4993A. B. C. D. 2422542.假设工彳，那么3x + 一的最小值为（） 33%-5A. 7B.4括C.9D.2734 13.假设。0、b0 ,且一+ 不 = 1,那么必的最小值为（）. a b - 1 -1A. 16B. 4C. D.一164224.设。为坐标原点，直线x与双曲线2=1（。0,0）的两条渐近线分别交于a bDE两点，假设ODE的面积为8,那么。的焦距的最小值为（）A. 4B. 8C. 16D. 325 .小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积

2、为25m2的矩形菜园，墙长为18m,小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，那么最短的篱笆长度为（参考数据：V2 1.4,73 1.7 ）（）A. 28mB. 28mC. 42mD. 14mE. 21m.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为。、以。，那么三角形的面积S可由公式S =飞p（p-a）（p-b）（p-c）求得,其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦 九韶公式，现有一个三角形的边长满足。=3, b + c = 5,那么此三角形面积的最大值为（）3厂 LLA. -B. 3C. v7D. 、/TT7.假设实数

3、x + 2y = 4（xL yg,那么7 + 7二的最小值为（）2x-1 2y-l1 4A. B. 1C. D. 22 34x8.0, 。，x + = 8,那么一的最大值为（） yy当且仅当包=幺，即x = y = 时，等号成立， x y3应选：DC【分析】由题意知2+ + 4/厂= +丝+ i利用基本不等式即可求解. ab b aa +ab + 4b- a 4b=+ + 1 2【详解】因为0, b。,所以:0,当且仅当q=竺即，=2时等号成立, b a所以心也生的最小值为5.应选：C.16. A【分析】将x(x+y) = l + 2V化为(x+2y)(x-y) = l,再利用换元法结合基本不

4、等式即可求解【详解】解：实数工，V满足x(x+y) = i + 2y2化为：(x+2y)(x-y) = l令x+2y =根，x-y = n 9 那么研=7x2 - y2 = 7x7x2 - y2 = 7xm + 2/?Y3 J/ 、2m-nIk,1=x91=x9 那么：i(6m2 + 27n2 + 30 加(6m2 + 27n2+30)L ? 27 =x 6m2 +- + 30I /27 x 2. 6m2y +309 ( 丫 m2672 + 103疝=逑时取等号 2f 672 4-10327所以7/丁的最小值为所以7/丁的最小值为当且仅当6m2=，即 m-应选：A.17. C【分析】根据图1,

5、图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中A3 Ag Ab的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案【详解】对于A,由图1和图2面积相等得必= (a + 0)xd,所以d = /，故A错误；对于B,因为AF_L5C,所以!X4x = ( J4 +2 x4尸,所以小尸二I， 22yja2+b2A =恁=&,因为AE2AF,所以乌2,整理得匹史之”2,故Ba + ba + b 心+/ 22错误；/ 2 丁 2对于C,因为。为斜边BC的中点，所以4。=止匹，因为AONAE,所以 2土逵辿，整理得J巴芦故c正确；2 a+b一+丁a b对于D,因为ADNA尸，所以2而,整理得

6、+之2,故D错误.2J/+/应选：C.A. 2V2B. 4C. 6D. 8.x。，y。，条件：入+2丁 = 2外，条件/%+了之白+血，那么是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件27 2219 .假设人是正常数，出b, X, y0,y）,那么立 +2之出当且仅当 = X时.取 7% y 1+yx y29（ 1等号.利用以上结论函数/（x）= + 一，0,-取得最小值时X的值为（）x 1-2%V 2 7D.|4 m.假设一- 恒成立，那么根的最大值为（） a - b b c ci cA. 3B. 4C. 8D. 9.设是正实数，以下不等式恒成

7、立的为（）. r-r 2ab2A. ，cib B. cib H 9a + babC. a2 -b2 4ab - 3Z?2D. aa-b-bb 3.假设正实数。力，满足+人=1,那么丁+ 7的最小值为（） 3a bA. 2B. 276C. 5D. 473.x0, y。，且x+y = i,那么以下结论中正确的选项是（）A. +，有最小值4B.孙有最小值Ix y4C. 2” + 2有最大值8D.6+ J7有最大值21 210 .正实数X、y满足x + 2y = 2,那么一+ 一的取值可能为（） x yA. 1B. HC.3D. 2235,.q0, b0,那么矿+劭+ 4”的最小值为（） abA. 3

8、B. 4C. 5D. 6.实数x, 满足x（x+y） = l + 2），那么7-丁的最小值为（a 60 + 10口 -6 近+ 10A ）.C 6a/3 4-10D -6*/3 + 103318.九章算术中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步.问：勾中容方几何？ ”魏 晋时期数学家刘徽在九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如 图1,用对角线将长和宽分别为和。的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分 成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得 到如图2所示的矩形，该矩形长为宽为内接正方形的边长土由刘徽构造的图形可 以得到许多重要的

9、结论，如图3,设。为斜边8C的中点，作直角三角形ABC的内接正方 形对角线AE,过点A作Ab于点F,那么以下推理正确的选项是（）朱/朱A.由图1和图2面积相等得箸=篝B.由AE2Ab可得a2 +b2Q + ba2 +/?2 2ab/+/、21a h参考答案与试题解析A2 m 21【分析】由得2=3加一，o,所以丁r+z;=，r+oc “八，记 m 4n m - Zy5 mja = m l,b = 3 m,可得二7 + ： = g + 2 +三，然后利用基本不等式可得答案.m- 4 4 a 4b【详解】因为苏+2 = 3z,所以2 = 3根-因为0,加1,所以2 = 3根0,得1机。，。,a +

10、 b a + b 9 b a1= H1a 4b 4 a 4b2m 2121所 以1 =1 :r = I m-14m-l2（3-m）a2b2+9 - 4-2+9 - 4-Q/7? 4当且仅当益、即人在,3等号成立,7.此时机=-,应选:A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1) “一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，那么必须把构成积的因式的和转化成定值；(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号那么这 个定值就不是所求的最值，

11、这也是最容易发生错误的地方.1. C【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】解：xg,3x-50,44 I4那么 3x +=(3x 5)+ 52J(3x-5)+ 5 = 9,3x-5 1)3x-5 V 3x-5当且仅当3x-5 = 2时，等号成立，4故3% + ；一的最小值为9, 3x-5应选：C.2. A【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为q。、b0,所以+工22、耳=4、3,即所以至24,a b ci b V cibV ab4 1即而16,当仅当一=,即a = 8,匕=2时，等号成立. a b应选：A.3. B2 2l【分析】因为uj- = l（a0/0）,可得双曲线的渐近线方程是

12、y = x,与直线X = Qa h-a联立方程求得。，两点坐标，即可求得|七。|,根据ODE的面积为8,可得必值，根据=结合均值不等式，即可求得答案.【详解】v c：4 6ry2=1(40/0)b双曲线的渐近线方程是y = -x a2直线x =。与双曲线c：二-ab2=1（ 0力0）的两条渐近线分别交于。，两点不妨设。为在第一象限，在第四象限联立x-ab ,解得 y - xax-ay = b故。（凡打联立x-ab ，解得 y =xax-ay = -b故 E(a,b)/. | ED= 2b面积为：SODE =-ax2b = ab = S22双曲线 c:方=1(。 0, /? 0)二其焦距为 2c

13、 = 2y1 a2+b2 2y2ab = 2/16 = 8当且仅当q = = 20取等号.C的焦距的最小值：8应选：B.【点睛】此题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义 和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分 析能力和计算能力，属于中档题.4. C【分析】设矩形的长、宽分别为羽外篱笆的长为/,那么/ = x + 2y,且冲= 25,然后利用 基本不等式可求得答案【详解】设矩形的长、宽分别为xm(烂18), ym,篱笆的长为/m,那么/ = x + 2y,且肛二25 ,那么/ = x+2y2 2/E = 10Qnl4(/n),

14、当且仅当 x = 2y 右 7(m),符合题意，即长、宽分别略为7m、3.5m时,篱笆的最短长度为/ = x + 2y = 14(m), 应选：C.5. B【解析】由公式列出面积的表达式，代入。=3,然后由基本不等式求得最大值.【详解】由题意 =；(3 + 5)= 4S = 4(4-6Z)(4-/7)(4-c)=网4叫(4-c) = 2y/(4-b)(4-c) L)彳), x-12y-l2可知x = 2,y = l时，等号成立，所以一1+不二的最小值为2.x-1 2y-l应选：D6. B【分析】利用基本不等式化简条件，由此求得土的最大值 y【详解】因为8 = x + 32 24隹=4、口所以、

15、口42,从而上0, y0,由 x+2y = 2孙得：+，= 1,2y xmi/ ( 1 1) 3 X 3 c y 3 fT那么(x+y) 丁+一 =力+丁+一之3+2 卜=3+5/2,12y x) 2 2y x 2 2y x 2当且仅当x = &y,即尸匕变,x = l +正时取等号，因此，PF,22因%0, y0,由 x+y2 + 0,取 x = 2,y = 2,那么x + 2y = 6, 2xy = 8 ,即x+2y2xy , qi p,所以是q的充分不必要条件.应选：A【分析】根据所给结论，直接套用即可得解.痴r、 2949 、 (2 + 3【详解】/(1) = += +- = 25 ,

16、v 7 x l-2x 2x l-2x 2x + l-2x231当且仅当9时，即x 时等号成立，2x 1-25应选：A11. D一14J77【分析】由知。一/?()，/?-c0, a-c0,由 -+ ； 得 a-b b-c a-c门,(clc)(7+ J-),结合基本不等式求出(a-c)(7 +J)的最小值，得到加的最大 a-b b-ca-b b-c值.【详国军】由aOc,知。一人0, b-c0, a-c 0,14 mz xz 14 、由;， 得4, 3 c)(-),a-b b-c a-ca-b b-c1414又：a c = a b + b c, /. a-c)( - + -) = (。一)+

17、(人一。)(;)a-b b-ca-b b-c4(a-b) _ b-c b-c a-b5 +竺上处+ .5+ 陛迈三 =9,当且仅当 b-c a-b V b-c a-b即一c = 2(。勿时，(a-c)(-L- +取得最小值9,a-b b-c.配9,加的最大值为9.应选：D.12. D【分析】根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.【详解】对于选项A,因为*是正实数，所以。+人22疝，那么12豆豆，可得到 a + b箍2 当,当且仅当。=人时等号成立，应选项A错误； a + b对于选项B,因为是正实数，所以二22帅2 = 2e，当且仅当乃=2，即 ab V abcibM二夜时取等号，应选

18、项B错误；对于选项C,片+63b2) =。2_4必+ 4=(。2A)2no,当且仅当=勖时取等号，应选项C错误；对于选项D, a-ba-b,那么Q恒成立，应选项D正确；应选：D.r . ,r , b 3 b 3。+ 3匕 b 3a心匕1/由甘*7必七刀口r【分析】化简丁+ 7 = h + ； = + + 3,然后利用基本不等式求解即可 3a b 3a b 3a b【详解】根据题意，假设正实数。力，满足 +。= 1,h 3 h 3a + 3h h 3a . . b_3a _ .3a b 3a b 3a b N 3ab当且仅当匕= 3 =。时等号成立，4b 3即F + ：的最小值为5；3a b应选

19、：C【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题A【分析】根据，结合基本不等式分别判断选项即可，但需注意取最值时的条件.I /11 A【详解】对于选项A, I= (x+y) = l + l + H.4, % y I% yjx y当且仅当工= =；时取等号，故A正确；对于选项B,初，1立2=_1,当且仅当x=y = 2时取等号，故B错误； 2 )42对于选项C, 2、+2v.2万万=2后” =2及，当且仅当x = y = ：时取等号，故C错误；对于选项 D, (Vx + 7j)2 =x+y + 2yxy 2(x+y) = 2 ,所以 + 6, O，当且仅当了= =；时取等号，故D错误.应选：A.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得 假设忽略了某个条件，就会出现错误.14. D【分析】利用基本不等式求得的最小值判断. X y【详解】解：因为正实数尤、满足x + 2y = 2,