巧用旋转进行证明和计算（金华婺城 黄国飞）公开课.docx

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1、例L如图，在ABC中，AE_L5C于点E AE=BE,。是A上的一点，且DE= CE,连结 BQ, CD.判断8。与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图，假设将CDE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和 数量关系是否发生变化？为什么？如图，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求与AC夹角的度数.与AC夹角的度数.变式：小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形A3C内有一点P,且必 =3, PB=4, PC=5,求NAP5的度数.小伟是这样思考的：如图，利用 旋转和全等的知识构造APC,连结PP,得到两个特殊的三角形，从而将 问题解决.(1)请你回答：图

2、中NAPB=；参考小伟同学思考问题的方法，解决以下问题：(2)如图，在正方形ABCO内有一点P,且 %=2吸，PB=1, PD=p,求NAPB的度数和正方形的边长.二、问鼎巅峰(1)如图，在正方形ABCO中，4厂的顶点E,尸分别在5C, CO边上， 高线AG与正方形的边长相等，求NEA/的度数；(2)如图，在 RtZVLBO 中，NBAD=90 , ABAD, M, N是 80边上的任 意两点，且NM4N=45 ,将绕点A逆时针旋转90至AQ”位置, 连结NH,试判断MAZ ND2,之间的数量关系，并说明理由；(3)在图中，假设EG=4, GF=6,求正方形A3CQ的边长.D2答图例1：解：(

3、1)8。与AC的位置关系是8OLAC,数量关 系是80=AC证明：如答图，延长交AC于点尸.A_LBC 于点 ,：.ZBED=ZAEC=9Q .:AE=BE, DE=CE,：.ADBE0 CAE(SAS),:.bd=ac9 /dbe=/cae, zbde=zace./BDE= /ADF, ：. /ADF= NACE：.BDAC；：.BDAC；答图V ZACE+ZCAE=90 , A ZADF+ ZCAE=90(2)否.证明：如答图，AC与3。交于点尸，/AEB=/DEC=90。,ZAEB+ ZAED= ZDEC+ ZAED,即/BED=/AEC：AE=BE, DE=CE,：.ABED经AEC(

4、SAS),:BD=AC, /BDE=/ACE, ZDBE=ZCAE.： /BFC= ZACD+ ZCDE+ ZBDE= ZACD+ ZCDE+ NACE = 90。，：.BDAC;(3)如答图，AC与BD交于点、F.*. AABE和 DEC是等边三角形，答图答图:AE=BE, DE=EC, ZEDC= ZDCE=60,/BEA=/DEC=60。,：.ZBEA+ ZAED= ZDEC+ /AED,，ZBED= /AEC,BE=AE,图由旋转的性质，得PA = M = 2j, PfD=PB=NB4P=90。，ZSAPP是等腰直角三角形， PPr=ylPA =yl2x2yf2=4,/APT=45。，

5、VPPf2+PfD2=42+12= 17, PD2 =(Vi7)2=17,:.PP 2 + PrD2 = PD2, ：.ZPPf 0=90。,NAP D= ZAPfP+ ZPPrD=5 +90 =135 ,A ZAPB=ZAPfD= 135 .V ZAPB+ZAPPr=135 +45 =180 ,:.P，P, B三点共线.过点A作AELPP于点E,贝=2, ：.BE=PE+PB=2+1=39在 RtZAB 中，AB=AE2+BE2=22+32=V13.问鼎巅峰：解：(1)在正方形A8CD中，ZB=ZD=90 , VAGEF, ABE和AAGE是直角三角形.在 Rt/ABE 和 RtAAGE 中

6、，ab=ag9 ae=ae9：./ABEqAGE(HL),N BAE= Z GAE.同理，ZGAF=ZDAF.：.ZEAF= ZEAG+ ZFAG=ZBAD=45 ; 2MN2=ND2+DH2.由旋转可知，/BAM=/DAH,V ZBAM+ZDAN=45 ,；. NHAN= /DAH+ /DAN=45 .：.ZHAN= ZMAN.rAM=AH,在AN 与AHN 中， NMAN=/HAN, 、AN=AN,：.AAMNm /AHN(SAS), MN= HN.V ZBAD=9Q , AB=AD9 ：. ZB=ZADB=45 ,： NHDN= /HDA+ /ADB=90 , ：.NH2=ND2+DH2, :.mn2=nd2+dh2； (3)由(1)知,BE=EG=4, DF=FG=6.设正方形ABC。的边长为x,那么CE=x4, CF=x-6. VCE2+CF2 = EF2, .*.(x-4)2+(x-6)2=102, 解得xi = 12,&=-2(不合题意，舍去).正方形A8CQ的边长为12.味展望在旋转过程中找到基本图形，各个量之间的关系以及不变的结论。综合题中，培养学生作图 构建数学模型的能力。主要方法：抓住旋转过程中的不变性，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法； 尝试添加辅助线，寻找解决问题的方法。