第12章整式的乘除知识点复习总结.docx

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1、第12章整式的乘除知识点L同底数幕的乘法公式为：|lMM |I am a1 =am+l（m. 均为正整数）; I Hl Hl Hl Hl Hl Hl Hl HlI即:同底数幕相乘，底数不变，指数相加.注意：（1）本公式可以反向利用，即：I a,+ = an - an（m 均为正整数）I一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一有关的重要结论(2) (- A)1 =A（为偶数）-A（为奇数）;(3)(A - B)n =仍-4）5为偶数）（B A）rt （ft 为奇数）2 .幕的乘方公式为：I Hl Hl Hl Hl Hl Hl Hl HlI S)=机、为正整数 I 即，塞的乘方，

2、底数不变，指数相乘.(1)公式可以反向利用，即：I a1,1,1 =(a,) (zw 为正整数)IIm 1(2)重要结论： M |(an) =() = an (m 为正整数)IM (3)公式可推广：(a + b)2 = a? + 2ab + b2完全平方差公式:|(a b)2 =a2 - lab + b2i两个公式可以合记为：JI I(a by =a2 lab + b2I !MMH H H H H H H H H H H H H I说明:(1)公式里面的，、/叫做完全平方项,习惯上将它们放在公式的两 边，将乘积的2倍放中间.(2 )两个公式的惟一区别在于一个是加上乘积的2倍,另一个是减去 乘积

3、的2倍.(3 )两个公式可以相互转化.(4 )反向利用完全平方公式可以用于分解因式，是公式法里面的两个非常重要且常用的公式.(5 )有关的重要结论：iI 2 +Z2 =( + Z)2 - laba2 + b2 = (a - by + lab(6)完全平方式的判断 判断所给的多项式是不是完全平方式只需 要判断两个完全平方项所对应的数或式子的2倍是否等于多项式的第三项（或第三项的相反数）即可,假设等于，那么是;假设不等于，那么不是.（7）配方法 配方法是一种很重要的解决问题的方法,可以用来分解 因式、解方程（如在九年级要学习的解一元二次方程）等.把题目所 给的多项式进行变形、拆项等处理，使多项式中

4、出现完全平方式的过 程，叫做配方，利用配方来解决问题的方法就叫做配方法.例14.假设x2 + 2（a + 4）x + 25是完全平方式，那么a =.分析：根据完全平方式的判断方法，两个完全平方项/与25所对应 的工与5的乘积的2倍,应等于土 2（ + 4）x .所以10元=2（a + 4）x，解得 a = 1 或。=9.注意此题有两种情况，两种结果.例15体验配方法的一种应用 当。为何有理数时，二次三项式2/ 一 4 + 5有最小值?最小值是多少?解：22 4a+ 5=2a2 4。+ 2 + 3= 2(a2-2a + l)+3=l(a -1)2 + 3V（a-l）202（-l）2+3N3,此时

5、a = L （小说明:即当a = l时取等号）该多项式的l=J1小值为3.例16 .配方法的应用求证:多项式/ + / _ 2。+ 4 + 6的值总是正数.说明这是我们做过的一道选择题改编而来.证明：2+22。+ 4力 + 6=2a + 1)+(, +4Z + 4)+l (：这里完成了配方) =(-1) +0+2)+1V(a-l) ,m 4= 4V(a-l) ,m 4= 4 m0,( + 2)20.(a-l)2+(b + 2)2+ll工多项式，+ / 一 2a + 45+ 6的值总是正数.例 17.假设(km 4- 3n)2 = m2 - 6mn 4- 9n2，贝!J k 的值为.分析利用完全

6、平方和公式把等式的左边展开,再根据两个多项式相 等的结论即可解决本问题,此题属于易错题.解：(km + 3n)2 =m2 6mn + 9h2k21n2 + 6kmn + 9n2 = m2 6mn + 9n2/左2 =1,左=1,但4=1不符合题意，舍去，所以 = L例18完全平方公式的结论的应用的值.桃2 -4m+ 1 = 0,求m2 + 二 m分析利用结论：“2+/=( +02一2解：m2 4m + 1 = 0m2 + 1 = 4mm2 14 m1= m m m、2=m H- 2I m)= 42-2=14例19完全平方公式用于分解因式分解因式:x2 -4x-12.解:原式=x2 -4x +

7、4-16= (x2 -4x + 4)-42= (x-2)2-42= (x-2+4Xx-2-4)=(x 4- 2)(x - 6)说明:当然，这里还用到了配方法和其它的公式.例 20 . a2b2 +a2 +b2 + 1 = 4而,求 / + b2 的值.解：a2b2 + a2 + b2 +1 = 4ab(ab)2 +a2 + b2 + l-4ab = 0(a-2ab + l + a2 -2ab + b2 =0(ab -1)2 + (a - Z)2 = 0Q1 = 0 ,口)，得到a b = 1a-b = 0：.a2+b2=2.例21.将代数式J + 6% + 2化为(x +0丫 + q的形式.解

8、：x2 +6x +2=x2+ 6x4-9-94-2=(x2 + 6x + 9) 7= (x + 3)2-7这里,p = 3,q = 7 .( ) =(小 、P为正整数)r3 .积的乘方公式为:5(曲)=* 5为正整数)iII即积的乘方，把积的每一个因式分别乘方,再把所得的募相乘.(1)公式可推广： ；(c)=Wc(为正整数 I MBH MMMMMMMMMM(2)公式可以反向使用用于某些简便运算的题目. MM BMiM MMB MM W MMI !ab = (ab)|Wc=(abc)5 为正整数)!Lb iH MB J(3)说明:在反向利用积的乘方公式时，可以把两个指数的最大公约 数给提出来.注

9、意:( + b)H * a + b- 5为正整黝，如(a + b) a + a = an n(m 为正整数且相 n,a * 0) I Il Hl Hl Hl Hl Bl Hl Hl 1 Hl!HBiHi即同底数塞相除，底数不变，指数相减.(1)是被除数的指数减去除数的整数.(2)公式可以改写为：II0m = a,n ,l(m%为正整数且根,a工0) IL1(3)当zw = 时+ a = a = 1.记住:任何不等于0的数的0次方都等于1.0的0次方没有意义.底数既可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式.a2+b2.4 .同底数事的除法公式：j MM I MM I MM IMHilHMBB H

10、 HHM MHBMHM MMBBIIM例题LITI例1.计算:一29+2加2.分析 给出最详细的过程.解:原式=-22。+2珈向=-1 x 22011 + 2 x 22011= 22011 x(-1 + 2)=2201例 3.计算例1.计算:一29+2加2.分析 给出最详细的过程.解:原式=-22。+2珈向=-1 x 22011 + 2 x 22011= 22011 x(-1 + 2)=2201例 3.计算例2.计算+ 2a3分析疗与2/是同类项解:原式=3/分析此题为易错题，没有得到最终的结果.解:原式=（-“）2 （有些学生的结果到此为止）=，（这才是最终的结果）.例4.2?* +4 =4

11、8,求的值.分析此题具有一定的难度，要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解：22w+1 + 4 = 482x22n +（22）n =482 x 22n + 22n = 482232 + 1）=4822nx3 = 4822n = 16）2 2 4, w 2.例 5.4x8xl6=(24)求 的值.例题LITI例1.计算:一29+2加2.分析 给出最详细的过程.解:原式=-22。+2珈向=-1 x 22011 + 2 x 22011= 22011 x(-1 + 2)=2201例 3.计算例1.计算:一29+2加2.分析 给出最详细的过程.解:原式=-22。+2珈向=-1 x 22011 + 2 x

12、22011= 22011 x(-1 + 2)=2201例 3.计算例2.计算+ 2a3分析疗与2/是同类项解:原式=3/分析此题为易错题，没有得到最终的结果.解:原式=（-“）2 （有些学生的结果到此为止）=，（这才是最终的结果）.例4.2?* +4 =48,求的值.分析此题具有一定的难度，要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解：22w+1 + 4 = 482x22n +（22）n =482 x 22n + 22n = 482232 + 1）=4822nx3 = 4822n = 16）2 2 4, tl 2.例5.4x6 xl6 =3)求的值.5 .整式的乘法整式的乘法运算有三种：(1 )单项式

13、单项式；(2 )单项式多项 式；(3 )多项式,多项式.单项式.单项式系数与系数相乘,同底数幕相乘，单独的事保存.(1 )注意两个用科学记数法表示的数相乘(2 )在计算时要用到同底数幕的乘法公式.其他两种运算的进行都需要将运算转化为单项式单项式，然后再把所 得的积相加,还要用到乘法分配律，注意符号的改变.在进行多项式多 项式时，还要注意合并同类项.单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的 积相加.运算的结果可以按某个字母的降幕顺序排列. 6.ifW：（3xlO8）x（5xlO2）.解：（3x108）x（5x102）=（3x5）x（108 x102）= 15x10= 1.5

14、x10两个重要的结论：（1）多项式相等的问题如果两个多项式相等，那么它们对应的系数相等.A = D 如假设 A“2 + Bx+C = Dx2 + Ex+F，那么有 B = E.C = F(2)多项式中不不含某一项的问题如果一个多项式中不不含某项，那么该项系数等于0 (合并同类项 之后的系数). 6.平方差公式即两数和乘以这两数的差 I (a + ba -b)=a2 -b2IH IH IH IH IH IH IH IH IH IH IH IH IH IH IH IHl这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.说明：(1)该公式可以简化某些多项式乘以多项式的运算，也可以实现某些 有理数运

15、算的简便运算.(2)该公式可以反向利用，即逆用.(3)反向利用平方差公式可以用于分解因式. 例 7.计算（2x + 3 j）2 -（2x - 3j）2.解:原式=（2x + 3j）+（2x - 3j）J（2x + 3yx2% - 3j）=（2x + 3j + 2x - 3y）（2x + 3j - 2x + 3y）=4x-6j=24xj 例8平方差公式用于分解因式 分解因式:-苏+ :/.49解:原式=/。2二/ (49,(2 )3 Ji Y1n 3人21 )n3 J例9某些题目无法直接使用平方差公式，需要对所给的式子变形处 理之后才可以使用(即创造条件使用平方差公式).计算：(a + b- c

16、a b + c).解:原式=a + 0 - c)a -(b- c)=a2 -(b- j=a2 - (b2 - 2bc + c2)=a2 -b2 -c2 + 2bc相同为a 适当交换(a+b)(a；b)=(a)2-(b)2 /合理加括号相反为b相同数的平方减去相反数的平方例10多项式相等的问题 x3 - 6x2 + llx - 6 = (x - l)(x2 + mx + 求 n 的值.解：x3 6x2 + llx - 6 = (x - l)(x2 + mx + n)x3 + (- 6)x2 + llx + (- 6)= x3 + mx2 + nx- x2 - mx - nx3 + (- 6)x2

17、 + llx + (- 6)= x3 + (m l)x2 +(n- m)x + (- n)m 1 = 6n-m = lln 6解之得:,.n = 6 .11.多项式中不不含某一项的问题(x2 + ax +_ 3% +。的乘积中不含x2项和x3项，求八力的值.解：(x2 + ax + 8)(x2 - 3x + )=x4 - 3x3 + bx2 + ax3 - 3ax2 + abx + 8x2 - 24x + 8bx4 + (- 3 + a)* + Q - 3a + 8)x2 + (- 24)元 + Sb,该乘积中不含Y项和一项.-3 + a = 0b-3a+ 8 = 0解之得b = l例12反向

18、利用平方差公式的问题计算:(x +1)2 (x -1)2.分析反向利用积的乘方公式和平方差公式可方便地解决问题.解:(X + 1)2(X -1)2=(+ 如-1)T=(/ -1)2=x4 2x2 + 1例13 一道综合题探索下面的问题：(l)(x - l)(x +1)=;(x - l)(x2 + x +1)=;(x - l)(x3 + x2 + x +1)=;(x - iXx2012 + x2011 + x2010 + -+x + l)=.(2)请你用上面的结论计算:22012 + 22011 + 22010 + 2 +1解：(1) x2-l;x3-l;x4-l; x20,3-l.(2) 22012 + 22011 + 22010 + + 2 +1=(2- 1/220,2 + 220H + 2 刈。+ + 2 +1)=22013 -17.平方差公式的图形证明： 8.完全平方和公式的图形证明: 9.完全平方公式完全平方公式有两个:完全平方和公式与完全平方差公式.完全平方和公式：