江西省吉安市2022届高三上学期理数期末考试试卷.docx

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1、江西省吉安市2022届高三上学期理数期末考试试卷题号总分评分姓名：班级：考号：阅卷入、单项选择题（共12题；共24分）得分1. （2 分）集合/ = xx = 2sin-， n E N*, B = xx2 2% 3 0,那么/ A B =（ ）A. -V3, 0, V3C. -V3, 0B. 0, V3D.-1, 0, V3）【答案】B【解析】【解答】B = （xx2 2% 3 0 = %| 1 % 3,A = xx = 2sin等，n E N*,当九=3/c时，x 2sin=- = 0；当九=3k + 1 时，x = 2sin（31） = 2sin（/c7r + ） = V3;当九=3k +

2、 2时,x = 2sin（32）兀 _ 2sin（/c7i + 等）=+V3.所以4 = 0, V3, - V3那么/ CiB = 0, V3.故答案为：B.【分析】分别求解集合4 B,进而取交集即可.2.（2分）假设复数2二号 1为虚数单位），那么在复平面内，2对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】B矍和E郑,Q期出服K-【分析】首先画出可行域，利用的几何意义，求zl的最大值. xx15. （1分）/（%）为定义在-1, 1上的偶函数，且在-1, 0上单调递减，那么满足不等式/（2a） /（4a - 1）的a的取值范围是.（用区间表示）【答案】0, 1）

3、【解析】【解答】因为/（%）为定义在-1, 1上的偶函数，且在1, 0上单调递减，所以/（均在0, 1上单调递增，所以一 1 工 2a 4 1, -1 4a - 1 1, 2a |4a- 1|,所以0 a o故答案为：0,【分析】根据偶函数的性质可知在上0, 1的单调性，再由12al |4a-1|求解即可.a匚（1分）等差数列册的前几项和为,假设S70,那么成的取值范围是.【答案】（-00, -1）【解析】【解答】由题意可得S7 = 7（叼；叼）=7a4 0,那么。4 0,可得。4 +。5 0,那么的 一。4 。,设等差数列an的公差为d,那么d =曲一。4 ，由题意可得（3Ho 可得_襄等_

4、3,所以，号+ 3 02 a2 a所以 5 = 1=1+ d=1+_1_2 = _1以么，a4 a1+3d 旬+3d 豆+3,d故答案为：（-00, -1）.【分析】设等差数列a九的公差为d,利用等差数列的求和公式与等差数列的性质可得出 a4 0可得出d 0,求出一（詈 2ac - ac = ac,解得ac* (当且仅当口 “ =挛时取等号)，所以 ABC的面积s = acsinB 2义x,x字=冬 乙乙 O 乙O故4 4BC面积的最小值为尊TT 由 BD=BD -TT 由 BD=BD -acsinB =12 a , BD - sinZ-CBDc - BD - sinZ-ABD选=乙CBD,即

5、Jac XT =乙乙化简得V5ac = a + c,1 . 1 , 1 4 1 5QX 1 X5 + 5CX 1 X5, 乙乙 乙乙由gac = a + cN2V,得ac2当 (当且仅当q = c =挛时取等号)， J3所以 ABC的面积s = acsinB之义x & x孚=卓, 乙乙 。乙。故 ABC面积的最小值为堂.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用两脚和的正弦公式及三角形内角的 关系，从而可得出答案；（2）选，由BD1/C,得前csinB = BD ，化简得人=学就 再利用余弦定理 结合基本不等式可求得ac的最小值，即可得出答案.选，由Z71BD =s，WacsinS =

6、 cl- BD - sinz.CBD +c - BD - sinz.ABD 那么V3ac = a + c,再利用余弦定理结合基本不等式可求得ac的最小值，即可得出答案.16. （10分）为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人 安全知识抽样调查.随机地抽取了 200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中 拥有驾驶证的占, 这200人所得的分数都分布在30, 100范围内，规定分数在80以上P(K2ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0272.7063.8415.0246.6357.87910.828矍和E郑,a期出服K-（1

7、） （5分）补全下面的2x2列联表，并判断能否有95%的把握认为“具有很强安全 意识”与“拥有驾驶证”有关？拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识22 氐 O .12/19AN不具有很强安全意识总计200(2) (5分)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，记 “具有很强安全意识”的人数为X,求X的分布列及数学期望.【答案】(1)解：200人中拥有驾驶证的占自 有80人，没有驾驶证的有120人，由题意 知(0.004 + 0.008 + 0.020 + 0.028 + 0.020 + Q + 0,004)x 10 = 1,解得a = 0.016.所以 具有很强安全意识的

8、人有200 x (0.016 + 0.004) x 10 = 40人，不具有很强安全意识的有 160 人.拥有驾驶证没有驾驶证总计具有很强安全意识221840不具有很强安全意识58102160总计80120200补全2x2列联表如下:2200x(22x102-18x58)40x80x160x12075=右生688 3.841，.有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关.(2)解：由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率堤所以X的所有可能取值为0, 1, 2, 3那么尸褥=0)=)3=基1 14 ,48P(X=l) = Qx 5 X%)=用4 12

9、X5 = 1251 1P(X = 3) = (5)3 = 125X0123P6412548125121251 125所以X的分布列为:矍和E郑,Q期出服K-故E(X) = 0x 修+ lx 覆+ 2x 修+ 3x$JL 乙 JJL 乙 JJL 乙 JJL 乙 J J【解析】【分析】(1)根据成年人拥有驾驶证的比例可得拥有驾驶证的总人数，进而得到得 分优秀的人数，再结合频率分布直方图得到得分优秀的总人数，即可得到列联表，计算 K2的观测值，查表判断可得结论；(2)依题意，随机变量X服从二项分布，X的所有可能取值为0, 1, 2, 3 ,求出对应 概率，结合二项分布的相关知识即可得到X的分布列和数

10、学期望.17. (10分)如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD1平面ABCD, PD = DC = 3D4 点E是棱AD上的一点，且4。= 37九 点F是棱PC上的一点，且=2PF.(1) (5分)求证：。9/平面PEB；(2) (5分)求直线PC与平面PEB所成角的正弦值.【答案】(1)证明：在棱PB上取一点G,使得GB = 2PG,连接GF, GE,在尸中，GB = 2PG, CF = 2PF,所以GF | BC,且 J又 EDIIBC, ED =BC,所以 GF | ED, GF = ED,所以四边形DEGF是平行四边形.所以OF | EG,又。尸山平面PBE, EGu平面PBE,

11、所以DF|平面PBE. O 郑 O K O 期 O 氐 O .(2)解：如图，以D为原点，DA, DC, DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立 空间直角坐标系.不妨设D4 = l,易得PD = DC = 3.所以。(0, 0, 0), C(0, 3, 0), P(0, 0, 3), (1, 0, 0), 8(1, 3, 0),所以丽=(一：,0, 3),丽=/，3, 0), PC = (0, 3, - 3)-(n - EP = -ix + 3z = 0设平面PBE的一个法向量是五=(%, y, z),可得o(n - EB =可x + 3y = 0令X = 3,解得y = _|, z =

12、所以五=(3, , i). OOJ J,n PC-n 33743设直线PC与平面PEB所成角为氏所以s】 = 商而=3鱼-巡=宙,3即直线PC与平面PEB所成角的正弦值是婴I. OO【解析】【分析】(1)如图，在棱PB上取一点G,使得GB = 2PG,连接GF, GE,易 证GF | ED, GF = ED,即可求证；(2)如图，建立空间直角坐标系，不妨设。4 = 1 ,求得直线的方向向量与平面的法 向量，代入夹角公式即可求解。18. (10分)椭圆C： 1 + =1的左、右顶点分别为儿B,右焦点为F,过F的直线 43/与C交于P, Q两点.(1)(5分)设和BQF的面积分别为SS2，假设Si

13、 = 3S2，求直线的方程;(2) (5分)当直线/绕F点旋转时，求证：四边形4PBQ的对边4P与8Q所在直线的斜 率的比值恒为常数.【答案】(1)解：由题知，a = 2, c = 1,那么|力尸| = a + c = 3, BF = a - c = 1故Si =AF PFsmAFP, S2 =寺 |QF|sin4BFQ,结合sin/ZFP = sin4BFQ, Si = 3S2,求得|P* = |QF,那么根据椭圆对称性知，直线/垂直于X轴，直线/的方程为 =1;（2）证明：设p（%yi）, q（%2，丫2），PQ的方程为 = ay + 1，（由题知PQ的斜率不为0）,% = my + 1联

14、立椭圆方程2 y2 ,化简得(3血2 + 4)y2 + 6my - 9 = 0, It+ 3 =1那么为+%=异，无为=一洋kAP _xr +2 _yr x2-2_%2-2 2_ ：4一后者，kBQ 丫2 2 丫2 + 2 J免 与 + 2 J4 %2 %i + 2= 1(%1-2)(%2-2)，2 2(%1+%2)+ 4一 1 + 2)(%2 + 2) - 卜1%2 + 2(巧+久2)+ 4故结论得证;7?22yly2 - 租+ 为)+ 1租 2yly2 + 36(、1 + 72)+ 99m267n23m2 + 4 37n2 + 49?i2 _ 187n2 + N3m2 + 4 3m2 +

15、41J36 = 3【解析】【分析】（1）求得AF = a + c = 3, BF = a c = 1 ,根据三角形面积公 式，及Si = 3S2,求得|PF| = |QF|,根据椭圆对称性知，直线/垂直于x轴，从而求得直 线方程；（2）设P（%1，yj, q（%2，丫2），PQ的方程为 = my + i，（由题知PQ的斜率不为0）,联立椭圆方程，利用韦达定理求得*，化简，代入韦达定理，化简证得结果.kbq21. （10分）函数/（%） = % +苧.（1）（5分）求曲线y =/（%）在 = 1处的切线方程；（2） （5分）假设求证：在区间（%0）内有且仅有一个实数工。，使得%2一勺【答案】（1

16、）解：由题意知，/%） = 1+上弊=+ 1严16/19矍和E郑,Q期出服K- O O .AN所以/(I) = 2，又/(1) = 1+ + =1,所以曲线y = /(%)在 = 1处的切线方程是y 1 = 2(% 1),即2% - y 1 = 0.(2)证明：令g(%) = 2% + - 彳)二= 2% + * 一(% + 肛 + 净?%1), % e%2xXo(%1，%2)令2 = %i 1(A 1),所以，、,1m五,( 1 InA 1、 1孙 = %_%2+_ 二 】_菽1+而_=(1ln2(21)巧=(1 4)%i +A1InA(A1)巧,因为1 2V0, A - 1 - InA 0

17、,所以g(%i)在i 6 (1, +8)上单调递减.所以gQi) 助.令9(Q = _於 + 3a _ 2 _ lnA(A 1),2所以F,Q) = _2/1 +31= -22 +341 = 一(22?(/1 1) 0在Q, +8)上恒成立，所 AAA以F(4)在(1, + 8)上单调递减,所以F(4) F(l) = 0,所以g(%i) %1 L 所以g(%2)= %2 一 = (A 1)%1 + c *, 因为4一八乙) ，2 x2xl(2一1)%111 0, 1 t InA V 0, A所以0(支2)入_1 +1iInA1)2+1iInA4A1A-l令(入)=(4 _ 1)2 + 1 _

18、* _ hU,那么-2(A -l)+p-j=(A- 1)(2 一 摄),0 在A G (1, +8)上恒成立，所以(入)iz(l) = 0,所以g(%2)0.又因为g(%) = 2- / 0在Qi，12)上恒成立，所以9(%)在(尤1，第2)上单调递增所以存在唯一的o，使g(&) = 0,即在区间犯)内有且仅有一个实数工。，使得2%。+工二 %2/(%2)一%(勺)【解析】【分析】(1)先求出切线的斜率和切点的坐标即得解;令g(%) = 2% + J %2/(%2)一叼/(勺)Xx2xllnx2-lnx1第2).证明g(%i) 0，g(%)在(%i，外)上单调递增，即得证.矍和E郑,Q期出服K

19、-(10分)在平面直角坐标系Oy中，圆C的参数方程为卜= a+?csa (。为参 ( y 2sina数)，直线1的参数方程为=巴(t为参数)，设原点。在圆C的内部，直线1与圆I y = V2tC交于M, N两点；以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) (5分)求直线1和圆C的极坐标方程，并求a的取值范围；(2) (5分)求证：|0M|2 + |0N为定值.【答案】(1)解：将直线1的参数方程化为普通方程，得y = %,所以直线1的极坐标方程为。=氯.WR)；将圆C的参数方程化为直角坐标方程，得( - a)2 + y2 = 4, 所以圆C的极坐标方程为p2 - (2acos0)p +

20、 02 一 4 = 0.由原点。在圆C的内部，得(0 。)2 +。2 解得一2。 3的解集;(2) (5分)假设/(%)的最小值为m,且对任意正数a, b满足a + b = zn,求普+今 的最小值.(-1 2% x 工-2 3, -2% 1当 2时，不等式变为1 2% 3,解得 V2； O 郑 O K O 期 O 氐 O .18/19当一2 Vx 3,无解;当% 1时，不等式变为2% + 13,解得工1.故不等式/(%) 3的解集为% 1或 l(5 + 2 lj_.+l) = 9当且仅当鲁=等，即a = |,匕=去时，等号成立， 一八 W+1 小 4 la + b = 333所以图+(的最小

21、值为/【解析】【分析】(1)将函数化简为分段函数形式，再分别求解/(%) 3的解集；n|p(2)由题意得a +6 = 3,代入化简之后利用乘“1”法，根据基本不等式求解最小值.矍和E郑,Q期出服K- 媒 O【解析】【解答】复数z =乙=2 = 1 23故2 = 1 + 2i,对应点的坐标为 i1,1（-1, 2）,位于第二象限.故答案为：B.【分析】求得z = 1 23从而求得2 = -1 + 23进而求得结果.3. （2分）各项均为正数的数列&J满足册+i = 2即，且即附=8,那么log2a5 + log2a7 =（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【解答】数列an满足O

22、n+1 = 2an,那么数列an为等比数列且公比q = 2,由等比数列的性质可得03 -a5 = al = 8,那么log2a5 + log2a7 = log2（a5 - a7） = log26 = g2（a4q2）2 = log227 = 7.故答案为：B.【分析】由题可得公比q = 2,再根据等比数列得性质可求.4. （2分）质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为 1120的该商品中抽8件进行质检，假设所抽样本中含有编号67的商品，那么以下编号没 有被抽到的是（）A. 112B. 37C. 22D. 9【答案】D【解析】【解答】由系统抽样的特点知抽样间隔为12

23、0+8=15,故所抽样本编号符合%o + 15k （久（）为第一段的抽取样本编号，k E N）, 由抽取样本中有编号67,那么汽o = 7,选项中不符合7 + 15k（/ceN）的是9.故答案为：D.【分析】根据系统抽样的定义求解即可.5. （2分）一个圆锥的母线长为6,侧面积为24兀，那么此圆锥的体积为（）A. 雪红B. 6V5ttC.2奈巴D. 12遥7rJJ【答案】C2/19【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r,高为h,那么x 6 x 丁 = 24兀，得r = 4,所以圆锥的iWj为Zi = V62 - 42 = 2遮，因此该圆锥的体积，=7ir2h =段兀x 42 x 2V5 = 32

24、757T3anan故答案为：C.【分析】由条件可以先算出圆锥的底面半径，然后可算出高，然后可得答案.6. (2 分)。 (0, tt), sin(7T 。)+ cos(2tt 。)= / 那么sin(29+苧)=【答案】A【答案】An|p【解析】【解答】解:1(sing + cos0)2 =cos0 0,B.土嚅C.1532D- -f1i因为sin(7i 6) + cos(2tt - 6) = 4，得sin。+ cos。=才 所以1d r一1 + 2sin6cos8 =正，所以2sin0cose =五，又6 (0,兀),所以因此 cos。 sing = y/cosd - sin0)2 = V1

25、 2sin0cos0 =居二一与工，因止匕sin（26 + 竽）=cos20(cos0 + sin0)(cos0 sin0)V31故答案为：A.【分析】利用诱导公式得至in。+ cos0 =两边同时平方即可得到2sin0cos。=一登，再由cos。 sin。= 1（cos。一 sin。）?求出cos。一 sin。，最后利用诱导公式及二倍 角公式计算可得.7. （2分）在四棱锥P4BC。中，底面ZBCD为正方形，且24 1平面ABC。，PA =2AB,那么直线PB与直线4C所成角的余弦值是（）A嘴D正 TO【答案】A【解析】【解答】连接BD交ZC于点O,取PD的中点E,连接EO, EA.不妨设4

26、B = 1.因为四边形ZBCD是正方形，所以。是BD的中点，又E是PD的中点,所以。EIIPB.所以直线PB与直线/C所成角即为4EYM (或其补角).因为P/1平面ABCD,又48, AD所以PZ1AB, PA LAD.在P4。中，PA 1AD, PA = 2, AD = 1,所以/E =卓；在P4B中，P4 1ZB, PA = 2, AB = 1,所以 乙PB =求，所以*。=卓；在40E中，E=字，A0 =与,E。=卓，所以 乙乙乙乙cos乙40E =诃=，即直线PB与直线AC所成角的余弦值是黑口2-A0-0E1010故答案为：A.【分析】根据异面直线所成角的定义，转化为相交直线所成角，

27、如图，即NE0Z (或其补 角)，ZOE中，利用余弦定理即可求解.8. (2分)实数a, b, c,满足Inb = e。= c,那么a, b, c的大小关系为()A. a b c B. c b a C. b c a D. a c b【答案】C【解析】【解答】解：设/(%) =靖%,那么/(%) = 1，当 0时，/(%) 0时，/(%) 0，所以/(%)在(-8, 0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增，所以/(%)min = /(。)= 10，故 %，所以c = e。 a,又Inb = c,所以匕=ec c,所以b c a.O 筑 O K O 媒 O 宅 O 矍和E郑,a期出服K-4/1

28、9故答案为：C.【分析】构造函数/（%） = /-%,利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据条 件即可得出答案.AN9. （2分）某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需 要，医院准备将其中4位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的2位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位 主治医师，那么调整的不同方案数为（）A. 135B. 360C. 90D. 270【答案】An|p【解析】【解答】从6个医疗小组选出4位主治医师，有乙种不同的方法；不妨设这4位主治医师分别为甲、乙、丙、丁，调整为均不在原来的医疗小组且每组均有1

29、位主治医师，有9种不同的方法.所以调整的不同方案数为牖X 9 = 135.故答案为：A.【分析】应用组合数求6个医疗小组选出4位主治医师做调整的方法数，再将所选4为 医师分配到其它小组的方法数，最后应用分步乘法求不同方案数.10.（2分）点F是双曲线鸟一彳=1（Q 0, b0）的左焦点，过点F且斜率为1的 Q b直线与双曲线的右支交于点M,与y轴交于点N,假设点N为MF的中点，那么该双曲线的离心 率为（）A.与已B. V5C. V6D. 1 + V2乙【答案】D【解析】【解答】设直线方程为y = % + c,依题意得|0N| = 0F = c,过点M作MH 1 %轴于H,点N为M尸的中点，那么

30、= |尸| = 2c,又当 = C,代入双曲线4g=i（a0, 50）中得马g=1,解得v = + j ba乙 by -a-h2所以 |MH| = 2c = g，即有2ca = b2,所以02 2皿一小=0,等式两边同除以q2,有/一2?一1 二。，解得0 = 1 +/（1鱼舍去）所以双曲线的离心率e = 5=1 + 1 U/v故答案为：D.【分析】先设直线方程y = % + c,过点M作MH 11轴于H,由条件得|M”| = 2c =匕由e = 5可求得离心率.aa11. （2分）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，

31、也可以形象地称它为倒影曲线），它 每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点M（竽，|）,其对应的方程为|y| = （2 - !）|sincox| （x 0,其中团为不超过x的最大整数，1口 0）过点M（苧，|）,所以* （2 相）I痴竿|可|sin等|,所以|sin苧| = 1,所以等 = ? + /OT（keZ）,即a 器 +为（kZ）,11O又 1 0）的焦点为F,过F且倾斜角为韵勺直线1与抛物线 相交于A, B两点，|4B| = 8,过A, B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.以下说法 正确的选项是（）A. QA 1 QB 408（0为坐标原点）的面积为 1 1C AF+BF = 2D.假设

32、M（l, 1）, P是抛物线上一动点，那么|PM| + |P用的最小值为, 【答案】A【解析】【解答】I过点F且倾斜角为印 4,矍和E郑,Q期出服K- O 郑 O K O 期 O 氐 O .，】义工直线1的方为x = y + 1与抛物线方程联立，得y2 2py-p2 = 0,设 4（%1，71） B（%2,%），那么、1+%=2。，当当=p2,2.,.%i+亚=3p, X1x2 = （y；/）=，又= p + %2 = 4p = 8,:p = 2, .y2 = 4x；不妨设为。，当yo时、y = g，7 I 1，过a的切线斜率为乙y i=xi 一河， 同理可得过b的切线斜率为版=ylx=X2

33、=12心心=一=一万二一1, ：.QALQB, A符合题意；saob = F , lyi -y2l =+为)2 -4yly2 = 2或，b 不符合题意;僚+侪 = W=l c不符合题意；设点M到准线的距离为d,假设M(l, 1),那么仍M| + |PF|Nd = l+=2,那么D不符合题意.故答案为：A.【分析】设1的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出|/8|=8,求出p的 值.8/19A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为一1；B：利用三角形面积公式即可求解；C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；D：数形结合，利用抛物线的定义转化|PF|为P到准线的距离即可求出最值.阅卷入得分填空题(共4题共4分)13. (1分)向量五=(1, k), b = (k + lf 2),假设N与石共线，那么实数【答案】1或-2【解析】【解答】因为N与B共线，k(k + l)-2 = 0,解得k = 1或k = -2.故答案为：1或-2.【分析】根据两向量共线的坐标表示即可求得k的值.(x 1,14. (1分)实数x, y满是约束条件( % + y工2, 1% 3y 0,那么号的最大值是【答案】2如图阴影局部所示:当(, y)取4(1, 1)时,2.(空)人 max故答案为：2