控制工程基础第三章.docx

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1、第三章时间响应分析a基本要求了解系统时间响应的组成；了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点；掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲 响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲 线的基本形状及意义。掌握线性系统中，输入存在微积分关系， 其输出也存在微积分关系的基本结论；掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、 单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的 对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之 间的关系；掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差 及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结

2、构和参数以 及干扰对系统偏差的影响。5.正弦函数（1）定义：X： sin。/t0者（心0/0)Ts +1 T单位脉冲响应曲线:单位脉冲响应曲线:特点：当T I ,过渡过程持续时间变短, 说明系统惯性越小，系统的快速 性能越好。2. 一阶系统的单位斜坡响应输出信号拉氏变换为：X (s)= G(s)X (s)=110f Ts + 12时间响应为:xo(t)=L-iXo(s)= L-=5 2(75 + 1)a o)单位斜坡响应曲线:3. 一阶系统典型信号输入与输出的关系u(t) = 8 (0 。(彳)= 一 T =卬.)-) = = 1 =) X (0 = l-e T = X (0 C/，(_x l

3、/V输入:输出:输入:输出:dd单位脉冲 二二单位阶跃 二一单位斜坡dtdtdd单位脉冲响应=单位阶跃响应=单位斜坡响应。dtdt对于任意线性系统而言，假设输入A是输入B的导函数，那么输入A所引 起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，假设输入A是输入B的 积分，那么输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分。闭环传递函 数输入信号时 域输出响应ssTS+ 11一 e /(Z 0 )T0l(t)t1 - e T t 00ttt - T + Te F t 0T-t1 2lr2-n+T2(l _ e 7) t0 2无穷大等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应 的导数

4、;系统对输入信号嬴分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。3b例3-1 试求系统的单位阶跃响应Q21s +1解：首先求出系统的闭环传递函数7(5)_ G(s) _20_ 0.95X(s) 1 + G(s)0.21s+ 21 O.Ok + 1因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由(3-12 )式可知攵=0.957 = 0.01 4a本章重点(1) 一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃 响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。(2)二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶 跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系，二 阶系统性能指标的定义及其与系统

5、特征参数之间的关系。(3)系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的 求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影 响。司本章难点(1)二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其与 系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系 统特征参数之间的关系；(2)系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。3b因此，单位阶跃响应表达式为y) = k(l-e%) = 0.95(1- e 彳%=0.95(1- e100/响应曲线 如图3-8所不*图3一8君普1的单位阶跃响应曲线例3-2某一系统单位阶跃响应曲线如图3-9所示，试 写出其传递函数

6、图3-9某系统单位阶跃响应曲线3b解：在响应曲线上，找到稳态值（此值为10 ）的63.2%（即6.32 ）点，此点所对应的时间为0.l（s ），即为时 间常数，而传递函数的增益k值，可由输出的稳态值10 与输入的阶跃值1的比值得到，即k-107（1八）因此，系统的传递函数为G(s)=1075 + 1 0.15+1图3-9某系统单位阶跃响应曲线3.3二阶系统的时间响应二阶系统的数学模型二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。1 .传递函数：Xo(s)X(s)Xo(,G为无阻尼固有频率，4为阻尼比。2 .特征方程特征根：S1 + 2 cons + 可；=。S2=3 n 土nJ T

7、0ql4=1空1jco ssgj几4=0阻尼比与极点的关系目尼比极点极点特征空1S1，S2 =-M 叫 J铲 T两个不同的实数 槛A4,$2 = 一自隈两个相同的实数极占八、01币必=一4 ja-&2两个共胡的复数极占八、4=04,=西位于虚轴上的共J0*,邑=-& j叫11-景两个共辗的复数极占八、33.2二阶系统的单位阶跃响应X(s) = X,(s)G(s) =CD1n051015单调上升,没有超调。1、当之二1时（临界阻尼）x。=加2=-S（S + COn ） S （5 + CDn ）x（，）=z；tx0（s）=i?卜”一可1（1 + CDt）2、当之1时(过阻尼)，1X(s)=2斗(5

8、-51 )(5-52)兀=L X0(s)= L-ll1s(s + a)(s + b)= 3n Id(-s2eSt + sxeS2S2S131-at -bt=-1+(be -ae )一 aba-b=1 + Si( e + e )与 一- S $22t.印=1+ )2d J 2 - 2 S曲线上升缓慢，没有超调。指数衰减的振荡，振荡频率为加4、当之二0时无阻尼时瞬态响应是等幅振荡, 振荡频率为师负阻尼情况（4 0）负阻后（夕0）状态 -10：输出表达式与欠阻尼状态相同。 1 时：=sin( Tl7? )f-1 cow(0 = L 77 1 = con sin cont一+还T 切2 -co tw(

9、Z) = Ln2 =contew=exp(J-42-1)。川-expH + T?!)欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且己愈 小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其 幅值衰减的快慢取决于J例。单位斜坡响应图 3-11二阶系统的单位斜坡响应曲线3.4二阶系统时间响应的性能指标 用以衡量系统瞬态响应的参数，称为性能指标。线性系统的性能指标取决于系统本身的特性而与 输入信号的大小无关。 评价控制系统动态性能的好坏，常以时间域的特 征量来表示的。 通过单位阶跃响应来评价控制系统的瞬态响应特 征。3.4二阶系统时间响应的性能指标1.上升时间:：响应曲线从初态开始，

10、第一次到达输出稳态值 所需的时间。当3 n一定，W t f tr t ；当己一定,3 n t f tr I2、峰值时间tp :响应曲线到达第一个峰值所需的时间。dx n口人。 =0dt_71_ 71qJl-T 0)d当 3 n一定，& t f tp t ;当自 一定，3 t f % J3、最大超调量Mp：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量。43)Mp=e 后 a%=e 府 xlOO%Mp只与己有关司控制系统的动态特性可以通过在输 入信号作用下，系统的瞬态响应来 评价的。系统的瞬态响应不仅取决 于系统本身的特性，还与外加输入 信号的形式有关。丁调整日中同ts ：响应曲线稳态值附近取稳态值的5%或2

11、%作为误差 带，响应曲线到达并不再超出误差带范围，所需要的最小时间。5.兼顾各项性能指标2居f -Mp | f 一减弱振荡性，改善准确性，但影响快速性3) 工程上：一般取自二0. 707为最正确阻尼比。ts M均不大，由M确定自，再由tS确定G)n。例3-3图a是一个机械振动系统。当有8.9N的力（阶跃输入）作用于系 统时，系统中质量M所作运动的响应曲线如图b所示，试求出质量m,粘性阻尼系数C和弹簧刚度系数k。F=8.9Na)解:1.系统的微分方程为：mx9 + Bxr + kx(t) = FA(t)系统的传递函数为：G(s) = Xo(s)_ Xo(s) 1X j (s)F(5) ms2 +

12、 Bs + k2、由响应曲线得：x0(oo) = 0.03m单位阶跃力F=8.9N. , F(S)=8.9/S ,那么XG) 二18.9ms2 + Bs + k s由拉氏变换终值定理得：吧X。二吧SKlim 4=lims - X0(s) = lim s G(s)X, (s) t 8s f 0s -0=lims . 吧二丝=o.O32 ms2 + Bs + k s kk=297N/m3.由响应曲线得：(DM。Mp0.029二xlOO%0.03e . xlOO%9.6%4=0.6 tp = 2s717Ccon - 1.96$t，丁P n mk 297m = 丁许 E3kgC = 2Jo根穴 182

13、Ns/m00.005s二阶系统的单位例3-4设单位反应闭环二阶系统的单位阶跃响应曲线 如图3-18。试确定其开环传递函数。3-18阶跃响应曲线解:由图3-18可见%=30%, tp = 0.005(s)查阅图3-14%与维系曲线，可得7C7C7C7Cp _ &d 3“I c7CI (rad/s)3.14= 675.3(rad/s)o.oo5，l-0.362I丫x(s)因为，系统的闭环传递函数为=3：一2 + 2 初 +n n单位反应时的开环传递函数为G(s)= 加s(s+2g)675.32456xlO3ss + 2x0.36x675.3) s(s +486.2)35稳态误差分析与计算1 .稳态

14、误差定义误差是希望输出与实际输出之差，是系统的准确性指标。E(s)=X”(s) X0(s)e(f) =(0 - x0 (0稳态误差为误差的终值。e = lime X(s)X(s)(S)J J t 00.稳态误差的计算E二念XQ二Xi (s)(s)l+G(s)H(s)e = lim e(t) = lim sE(s) = lim s X (s) f 2020 (s)l+G(s)(s) ie = lim e(t) = lim sE(s) = lim s X (s) f 2020 (s)l+G(s)(s) i1H(s)G(s)G(s)X(s)2、时间响应函数:时间响应(函数)等于传递函数与输入的拉氏变

15、 换之积再取拉氏逆变换。X。(s)= G(s)X,(s)两边取拉氏逆变换-1.x)=L G(s)X(s)2 .三种稳态误差的形式系统的型次:开环传递函数中包含积分环节的数目成为系统的型次。V二0时为0型系统;V二1时为I型系统;V二2时为n型系统; 依此类推。(1)单位阶跃输入(稳态位置误差)r 1 1 r 1 e = lim s = Um即 s-o 1 + G(s)”(s)s srol+G(s)”(s)1esPG =(v = 0)1+储K=limG(s)(s)1 s-0(V1)(2)单位斜坡输入(稳态速度误差)e 二 lim s L = limS -。1 + G(s)”(s)$2 s_os

16、+ s.G(s)(s)00(V=0)(V=l)(V=l)K = lim sG(s)(s)V 20(v2)(v2)001 p -sa 7r0Ka = lim Ng(s)(s) a sf0单位抛物线输入（稳态加速度误差）e = lim s = limS 2。1 + G(s)H G) $3 s-。f+ N G(S) (s)(v = O,v = l)(v=2)(v3)控制工程基础表32稳态误差ess系统类 型输入信号阶跃x(t)=R斜坡x(t)=Rt加速度R 2 X(t)= r20型R1 +K0000I型0RK00II型00R K例35某一仿形铳床加工一圆形零件，当仿形指的最高速 度为 0.5 rad

17、/s时，为使误差不大于05。( 0.00087rad ), 欲到达这一要求，系统应为何种类型？其&应为多少？例35某一仿形铳床加工一圆形零件，当仿形指的最高速 度为 0.5 rad/s时，为使误差不大于05。( 0.00087rad ), 欲到达这一要求，系统应为何种类型？其&应为多少？解：由于仿形指为斜坡输入，即x(Z) = 0.5 ,那么X(s)=0.5/s2 , 而e0.00087rad ,为使刀具能很好跟踪仿形指，所以系统 应为工型系统，查表32 ,可得：J = 0.5= 57,4( 1/S )SSSS0.00087例，6 一个调速系统如图76所示，当输入电压为10 VH5 , 试求速

18、度的稳态误差。测速发电机图7-6调速系统解1 :直接代入P57公式（3-53 ）解2 ：由于系统为三库位反应，因此输入与反应之差是系统误 差，单位是电压。要想求得速度的稳态误差，需将图76 变为单位反应，如图77。图7-7图7-6的等效变换图此时系统的开环传递函数为：G（s）_ 100x10x0.1 _ 100- O.ls + 1- 0.1s + l由上式可见，系统为0型系统，开环放大倍数K=100 ,原 系统输入为阶跃函数，即，经等效变换为图7-6后，由表7-1可查：=0.99 (rad/s)1+100 1+100. R 100图7-8电液伺服阀框图图7-8电液伺服阀框图7如图78所示的电液

19、伺服阀的指令输入为1(0= 0.01(4),挡板组件受热变形造成的挡板角位移干扰输入为 曲=-0.000314 rad ,求这两个输入造成的稳态误差。解1 :直接代入公式计算（S）=G2（S）N（S）H（s）/ + G/（s）G2（s）H（s） / + G“s）G2（s）（s）：由于题目要求计算输出量xr(0的稳态误,且此系统不为单位反应系统，为此先化为单位反应系统，如图7-9 o图7-9电液伺服阀等效框图对于具有给定输入与扰动输入而引起总的稳态误差，可 分别求引起的稳态误差，再按叠加原理，即可得到：e e + ess ssx ssn而： e = lim s X(s)ssx 2。l+GiGWG

20、)e lim s G? (s)N (s)ssna。1+G(s)G2(s)典型输入信号常用的输入信号:单位脉冲函数.单位阶跃函数,单位斜坡函数、单位抛物线函数（单位加速度函数）.正弦函数和某些随机函数。foo(1)定义：Abb=0t = Q办0.+85力=100(2) L变换:俗=179和图7.4可得：0.01x15.8 xX=/ =G G) J.3x2400 2.N(s) =-0.000314因此，代入上述各值平得:e =limssfOl+9x xl.3x 240043s0.01xl5.8x ；二0s1.3x2400, r - z-0.000314= hm s sx (s-0 + 9xJ_xl.3x2400s4343 sx 0.000314 = 0.0015(cm) = 0.015(9)得 ess = essx + essn = 0.015(mm)2.单位阶跃函数(1)定义：fl t0=o t0x：=1 0t0t0Xj (/)=/0V.(2) L变换:取A芍0