几何辅助线专题.docx

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1、目录第01讲辅助线的初步认识第02讲截长补短法第03讲中点模型一一倍长中线第04讲三垂直模型第05讲角平分线模型（一）第06讲角平分线模型（二）第07讲手拉手模型一一全等第08讲最短路径问题第09讲 平面直角坐标系中的几何问题第04讲三垂直（全等）模型【知识提要】直角三角形作为一种重要的三角形。它的边，角都具有很多特殊的性质。1 .直角三角形的内角和为180度，直角三角形的两锐角互余。2 .边：直角三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三遍；特别地，直角三角形两条 直角边的平方和等于斜边的平方。3 .在直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半；反过来，在直角三角形中，如果一 条直角边是斜

2、边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度.除了以上的性质，直角三角形还具有很多其他重要的性质，在未来的学习我们会一一碰 到。当两个直角三角形组成如下基本图形时，可以构成三垂直全等模型.（三垂直的全等模 型是从勾股定理证明时所用的弦图模型中提炼出来的，所以也叫作弦图模型）当这两个直角三角形位置发生变化之后，也可以形成如下的基本图形。直.接证明全等即可。【典型例题】例题 1：如下图，AB1BC, DCA.BC, AELDE, AE=ED.求证：AB=EC【思路点拨】题FI中出现了三垂直全等模型, 在证明全等时，注意其中导角的技巧.10变式 1：如下图，DC1BC, AE1BD, AE=BD.求证

3、：AB = BCA例题2：如图，在ZkABC中，NAC8=90。，AC=BC,直线MN经过点C,且AO_LMN于D,BE上MN于E.(1)当直线MN不与底边AB相交的时，求证：4OC 四/XCEB；OE ; AD+ BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE =AD - BE；(3)当直线MN绕点。旋转到图的位置时，试问。E、AD. 8E具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。【思路点拨】此题中出现了三垂直全等模型的两个三角形不同位置的情形，只需要证明&4OC与&CEB全等即可.11例题3：如图l,A(-2,0),8(0,4),以8点为直角顶点在第二象限作等腰直角AB

4、C.(1)求。点的坐标；(2)如图2,点石为)，轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角人EM,过M作MNLx轴于N,求OE-MN的值 v个Va【思路点拨】(I)要求。点坐标，我们可以转化为七/人、 计算相应的线段长度，所以过C作y轴 的垂线，那么出现三垂直全等模型.(2)过作)，轴的垂线，那么可构造出 三垂直模型，同时将MN平移到OE上来, 从而解决问题.练习1：在aMPN中，”是高MQ和NR的交点，且MQ = NQ.求证：HN = PM练习2：如下图，在ABC中，AB=AC, ZBAC = 90,。为AC中点，AFIBDE,交BC于尸，连接。RA求证：NADB=NCDF.【归纳总结】通过

5、本节课的学习，你知道什么是三垂直模型吗？题目中存在什么条件时，我们 可以构造三垂直模型，如何来构造？12第05讲角平分线模型（一）【知识提要】1 .角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角 的角平分线.2 .角平分线的性质：角平分线.上的点到角两边的距离相等.3 .角平分线的判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.与角平分线有关的常用辅助线的做法，通常有四个基本图形，我们先来介绍前两个:P是N4OB平分线上的一点.模型一：图中有角平分线，可向两边作垂直.辅助线添加方法：过户作PE_LOB于E图形：模型二：图中有角平分线，可将图对折，对称以

6、后关系现.图形:辅助线添加方法：在08上截取。=0。，连接PE【典型例题】 例题 1： (1)如图 a 所示，在BC 中，ZC= 90% A。平分 NC4B, BC=6cm, 8D = 4cm,那么点D到直线AB的距离是.【思路点拨】过点。作AB的垂线即可.13(2)：如下图，Z1=Z2, Z3=Z4,求证：AP平分/84C【思路点拨】过点P分别作直线AB, BC, AC的垂线，利用角平分线 的性质即可证明.例题2：如下图，在AABC中，4。是AABC的外角平分线，P是AD上异于点4的任意一点，试比拟P8+PC和A8+4C的大小，并说明理由.变式：如下图，4。是ABC的内角平分线，其他条件不变

7、，试比拟PC-PB和AC-AB的大小，并说明理由.练习1：在ABC中，AC = BC,求证：AB = AC + CD变式 1：己知：在ABC 中，AC = BC, ZC=108, 求证：AB = AC + CD14 练习2：，在四边形ABC。中，NB+ND=180。，BC=CD 求证：AC平分NBA。【归纳总结】通过本节课的学习，当我们看到角平分线时，你能联想到什么？如果要构造辅助线应该从何处构造？第06讲角平分线模型（二）【知识提要】1 .角平分线的定义：从个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角 的角平分线.2 .角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.3 .角平

8、分线的判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.与角平分线有关的常用辅助线的做法，通常有四个基本图形，我们已经学习了前两个, 现在我们介绍另外两个：P是NAO8平分线上的一点.模型三：角平分线加垂线，三线合一试试看.图形：辅助线添加方法：模型四：角平分线加平行线，等腰三角形必呈现.图形：辅助线添加方法：A/过点P作d/jC15【典型例题】例题 1：ZA=90f AB=AC, 8。平分/A8C, CELBD,垂足为 E.求证：BD=2CE例题2：如图，在AABC中,/ABC的平分线交4C于E,过点E做。E 8C交于Do 求证：BD = DE变式1：如图，在A4C中，N43C的平

9、分线和N4C8的平分线交于点Q,过点。变式1：如图，在A4C中，N43C的平分线和N4C8的平分线交于点Q,过点。作EFBC交AB, AC相交于E,F. 求证：EF = BE + CF求证：EF =BE -CF.求证：EF =BE -CF.变式3：如图,交48于E交AC于练习：在A8C中，N84U60。，ZC=40 , 4尸平分N8AC交8C于P, BQ平分乙48。交 AC 于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ16头 NAEB = 60。【归纳总结】通过本节课的学习，当我们看到角平分线时，你能联想到什么？如果要构造辅助线应该从何处构造？第07讲 手拉手模型全等【知识提要】等腰三角形和等边三角形

10、是两种最重要的轴对称图形，它们具有很多重要的性质，是我 们在学习中非常重要的内容。如下图，对于等腰三角形ABC,很形象地我们可以 把顶点叫做头，两个底角顶点叫做手。左边的顶点叫做左手, 右边的顶点叫做右手.手拉手模型：两个顶角相等且共顶角顶点的等腰三角 形组成的图形。手拉手模型中能形成全等三角形的有以下三种基本模型:模型一：两个等边三角形条件：O/W,均为等边三角形结论：AOOgZXBOC T AD = BC模型二：两个等腰直角三角形条件：OA8, OCO均为等腰直角三角形结论：AODWABOC - AD = BC模型三：两个任意等腰三角形17条件：AO/W, OC。均为等腰三角形，ZAO=Z

11、Cdo结论：40。且BOC T AD = BC NAEB=/AOB注意: 上面都是用SAS来证明AO。丝80C。上面基本图形中的两个等腰三角形绕点。旋转到其他位置时，结论也成立。手拉手模型中个主要的结论就是两个等腰三角形左手拉左手得到的线段（BC）和右手 拉右手得到的线段（AD）相等，所以这个模型叫做手拉手模型。【典型例题】例题1：如图，O是线段AC上的一点，分别以04 0C为边长在AC的同侧作两个等(1)求证：AD =BC.【思路点拨】（1）证明入。8。即可.ZAEB可以利用8字型导角即可得出变式1：当等边OCD绕点。旋转到如下图，结论还成立吗?变式2：当等边OCD绕点0旋转到如下图，结论还

12、成立吗?对于其他基本图形，大家也可以自己尝试在旋转过程中，上面的结论是否都成立？18例题2：如图，点C是线段AB上一点，分别以4C,为边在48的同侧作等边ACM和 CBN,连接AN, BM.分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜测CEF的形状，并说明理由.；【思路点拨】图中存在手拉手模型的基本图形，可以得出ACNgMC8,进一步可以证明FOVgaECB,从而得出rC=EC, ZFC=60；也可以通过证明AC/0得出产。=石C, ZFCE=60o练习1：如图，四边形A8CD和四边形CEFG都是正方形，且A8CE. CG/BD ,BG = BD.求NBOE的度数.练习

13、2：如图，在8C7）中，ZBCD2）,连接BC,以8c为边在第四象限内作等边C3。，直线QA交），轴于点E.（1）试问O/3C与全等吗？并证明你的结论；（2）求线段4E1的长度.例题2：在平面直角坐标系中，ABC的顶点A,C分别在），轴和x轴上，且NAC8=90 , AC= BC.如图，当A（0,-2）,点8在第四象限时，那么点B的坐标为.22(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动，点人在)，轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作轴于点。，试判断空土丝 和空心2哪一个是定值，并说明定值是多少，请OA0A证明你的结论.例题3：如图，在平面直角坐标系中，4OE为等腰直角三角形，NAOO = 90 ,

14、点人为 (4, 4)(1)求8点坐标；(2)假设C为工轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角*, NACD=90。，连0。, 求/A0Q的度数；(3)过点4作)，轴的4七J_y轴于，尸为x轴负半轴上一点，G在功的延长线上,以EG为直角边作等腰R/ZXEG”,过4作x轴垂线交曰;于点M,连FM,等式23AM - FM上巴=1是否成立？假设成立，请证明；假设不成立，说明理由.OF【归纳总结】通过本节课的学习，你知道线段和坐标之间如何转化吗？在平面直角坐标系中解决几何问题需要注意什么？24例2.如图，。是ABC内一点，连接08和。C.你能说明OB+OCvAB + AC的理由吗？【思路点拨】要证明

15、线段之间的不等关系，要将线段放 在三角形中，利用三边关系来证明。XABC和08C 中无法解决，所以只需要将0ZM0C）延长交AC（A4） 于点在ABO （AC。）和OC。SOBD）利用三边关系解决即可.归纳：构造线段时辅助线的写法:1 .连接*。例如：连接A8.延长*。例如：延长A8交CO于E点：延长A8到E,使8E = A8.例题3：如图A4QE.求证：N8+NC+N。= 360【思路点拨】要证明这三个角的和是360 ,可以构造周角，2个180度或四边形的内角和来证明。通过作平行线就可实现角的位置的转移，将角移动到 适当的位置。归纳：构造平行线时辅助线的写法：1.过*作* / *o例如：过点

16、A作A8 /CD.练习：表达并证明三角形内角和定理。例题4：如图，A8C的N8的外角的平分线8。和NC的外角平分线CE相交于点PM求证：点P也在N8AC的平分线上。/【思路点拨】CP和8尸为外角平分心线，要证明P在 C/2,角平分线上，只需要过P向AM、AN、BC边上作垂线即可。N归纳：构造垂线，中线，角平分心线时辅助线的写法：1 .垂线：过*作*_L*于点*。例如：过点A作A8_LC。于点8.2 .中线：过*作*边上的中线*。例如：过A作8c边上的中线AD.角平分线：过*作*的平分线*。例如：过点人作NAAC的平分线人O.练习：ABC中，AB = AC.求证：ZB =Z.C【归纳总结】通过本

17、节课的学习，你知道辅助线是做什么的吗？常见的辅助线如何画呢？第02讲截长补短法【知识提要】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系。我们前 面已经学过了线段的和与差，下面我们来用个具体的例子来介绍截长补短法.给定三条长短不一的线段m b, c,如何来得到这三者之间的数量关系呢？1 .不等关系：显然，我们可以通过测量每条线段的长度，然后猜测他们之间的不等关系。但是如果要 给出严格证明，我们就要通过这三条线段构造三角形，利用三边关系来证明。2,等量关系显然，我们可以通过测量每条线段的长度，然后进行比拟来猜测线段之间的等量关系。但是如果要给出严格的证明，我们可以构造线段的

18、和或者差来证明.截长法:在长线段上截取一条与某一短线段相同的线段,再证剩下的线段与另一线段相等. c -b补短法：在短线段上补一条与另一短线段相同的线段，再证新的线段与长线段相等.a + b【典型例题】例题1：如图，在aABC中，ZB=2ZC, AO平分N84C 从求证：AC =AB +BD【思路点拨1】要证明AC = AB +BD,在人C上截取人石= /W,然后只需要证明8。= CE即可.证明：在AC上截取AE = A8,连接。七问题：为什么不在AC上截取CE=AB,接着去证明AE = 8。？【思路点拨2】要证明AC = 48+8Q,可以使用补短法，延长A8至，使得/把=80,然后只需要证明

19、= AC即可:证明：在4c上截取4E = /W,连接。石例题2：正方形ABC。中，点E在CD上，点尸在8c上，NE4”=45。求证：EF = DE + BF变式：正方形ABCD中，点E在C。延长线上，点尸在BC延长线上，ZEAF=45,请问现在后尸、DE、8/又有什么数量关系？请问现在后尸、DE、8/又有什么数量关系？练习1：如图，AD/BC, N1=N2, N3=N4,点七在。上.试说明AO + 8C = AB成立的理由.练习2：如图，四边形ABC。中，AC平分N84。，CE_LAB于E , AB +AD = 2AE, 那么N8与NAOC互补.为什么？练习3：己知：如图，在ABC中，ZA =

20、 6() , BD、CE分别平分/A8C和NAC8, BD、 。石相交尸点Q试判断BE, CO,的数量关系，并加以证明.【归纳总结】c通过本节课的学习，你知道什么是截长补短法吗？截长补短法通常用于解决怎样 的问题？第03讲中点模型倍长中线【知识提要】中点：点M将线段AB分成相等的两条线段AM与8M,那么点M就叫做线段AB的中点。A M B如下图，如果M是线段AB的中点，那么=2很多题目中都会给出“点*是线段*的中点”这样的条件，那么看到中点除了联想到线 段相等之外，我们还能联想到什么？中点有哪些作用呢？三角形一边上的中点，可以考虑:1.倍长中线:延长中线，使所延长局部与中线相等，然后连接相应的

21、顶点，构造全等三角形。延长过中点的线段，使所延长局部与线段相等, 然后连接相应的顶点，构造全等三角形。辅助线画法：延长4。至E,使DE=AD,连接BE.【典型例题】辅助线画法：延长至，使ED=DF,连接CF.2 .倍长与中点有关的线段例题1：己知：在ABC中，人。为8C边上的中线求证：AD-(AB+AC)2【思路点拨】要证明A力(AB + AC),也就是24)AB + AC, 2因为人。是中线，所以倍长人。，陶造全等三角形，从而将2AO,AB, 4c放在一个三角形中，利用三边关系去解决.变式1：在ABC中，48 = 5, AC=3,求中线AD的取值范围.【思路点拨】在例题的基础之上，借助三角形

22、的三边关系得出A。的取值范围.B变式2：如图，点。、E三等分4BC的8C边.求证：AB+AOAD+AE【思路点拨】因为。、是BC的三等分点，那么。是8E的中点，E是ACO的中点，利用例题1的结论得到两个不等式，那么结论显然.久B D E c例题2：如图，/XABC中，E、尸分别在48、AC上，DELDF,。是的中点，试比拟BE+CF与E”的大小.【思路点拨】此题需要将BE, CF, EF集中在一个三角中。题目中 出现了中点可以考虑倍长过中点的线段E。或/7),从而构造 全等三角形，利用三角形三边关系来证明.B变式：如图，在RlZXABC中，NB4C = 90, E、尸分别在AB、AC上，DE1

23、DF, D是BC 的中点，试说明BE, CF与比之间的数量关系.【思路点拨】在此题中，这三条线段除了具有例2中的也可以构成特殊的三角形.数量关系，但是A3C为直角三角形，所以BE, CF与EF E练习1：。是A8中点，/ACB = 90 .求证：C) =，A3 2练习 2：己知：CZ) = 4B, NBDA =/BAD, AE 是48。的中线.求证：ZC=ZBAEB练习3：己知：如图,40是ABC的中线，BE交AC于七，交AZ)于F, R AE = EF.求证：AC = BF练习4：如图,练习4：如图,DF=AC.求证：AG = FG在A8C中，D、E在8C上,【归纳总结】通过本节课的学习，看到中点，你知道如何倍长中线吗？倍长中线可用于解决什 么样的问题？