1994考研数一真题及解析.docx

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1、(1)(4)二、(1)(4)1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题填空题（此题共5个小题,每题3分,总分值15分.）r /II、lim cot %（）=_.sin x x曲面z-产+ 2盯=3在点（1, 2, 0）处的切平面方程为sin -,那么萼在点（2,-）处的值为 y oxoy 7i22设区域。为尤2 + y2 & ,那么口言+方）s =.a = （1,2,3）,=（1,!），设A = a邛，其中二7是a的转置,那么A =-2选择题（此题共5个小题,每题3分,总分值15分.）期兀2. 1 cos4 xdx, N = f (sin3x + cos4 l + x2期兀2. 1 cos

2、4 xdx, N = f (sin3x + cos4 l + x271x)dx, P =(x2 sin3 x - cos4 x)dx,2那么(B) MPN(D) PMN(A) NPM(0 NMP二元函数f（x, y）在点（%, 为）处两个偏导数0,且级数片收敛,那么级数Z（T） 2n（）n=n= il +4（A）发散（B）条件收敛（0绝对收敛（D）收敛性与2有关6ztanx + Z7(l-cos x). 22 八 厂一 、,hm1=2,其中那么必有iocln(l 2x) + d(l )(A) b = 4d(C) a = 4c(A) b = 4d(C) a = 4c(B) b = Yd(D) a

3、 = -4c向量组必、的、%、%线性无关，那么向量组（A） a + a2 。2+。3、。3+。4、%+/ 线性无关用待定系数法将被积函数分解:1A B DT =11y (1-)(1 + ”)1U 1+(1 + )(A 8)/+(2A Q) + (A + 5 + D)(1 )( +尸A-B = O= 2A- 0 = 0= B = = .42A+B+D=l于是, 原式=f (11Qdu = In 1 u In 1 + u8J -u + u (l + )281In (1 - cos x) - In (1 8In (1 - cos x) - In (1 8+ cosx) + - 1 + COS X+

4、C.四、（此题总分值6分）【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化 为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如假设Z垂直yOz平面,那么JJ Rfydz = 0.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.2方法L注意，公。=o,（因为$关于孙平面对称,被积函数关于z轴对称）7 r + y- + z-所以/W中7 x +y + z1S由上下底圆及圆柱面组成.分别记为,邑与平面yOz垂直一rr xdydz _ rr xdydz _%

5、2 + y2 + z2 J J x2 + y2 + z2在上将/ + 丁 = R2代入被积表达式一/ =单竺.3JJ R2 + z2s3S3在yz平面上投影区域为Dyz :-Ry R-R W z W R ,在S3上，x = 加_ / ,邑关于yz平面对称,被积函数对x为奇函数,可以推出II ，办龙= 2x2x2.斯一时=8.衿arctan - 7T2R 2方法2： S是封闭曲面，它围成的区域记为。，记, rr xdydz再用高斯公式得/明 dxR2 + z1rR-dV = dzR2 + z2加rr dxdy=2兀口=2兀口11 9-dz = (先一后二的求三重积分方法) R2 + z22其中Z

6、)(z)是圆域：x2 + y2 cos，、cos7是2在点(x,y,z)处的法向量的 方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(此题总分值9分)【解析】由全微分方程的条件，有aay(+ y) - /(九)刃=/W + /田，dyox即x2 + 2xy - f(x) =+ 2xy,亦即 /(x) + f(x) = x2.y + y = V因而是初值问题,的解，此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的氏=0=。，、 4。二1，齐次方程的特征方程为，+ 1 = 0的根为4)= Z,原方程右端V = e。.中的2 = 0 ,不同 于两个特征根，所以方程有特解形如Y = Ax2 + Bx+C.代入方程可

7、求得 A = 1,3 = O,C = 2,那么特解为/ 一2 .由题给 f(0) = 0, -(0) = 1,解得 /(%) = 2 cos % + sin x + J - 2./(X)的解析式代入原方程,那么有xy2 +2y-(2 cos x + sin x)ydx + x2 .y + 2x - 2 sin x + cos xdy = 0.先用凑微分法求左端微分式的原函数：凉+吴/)+ 2(2+她)一 必2而%)-(2sincos%)叱。, 1 O 0d(x y +2q + y(cosx 2sinx) = .其通解为工X2y2 +2孙+ y(cosx 2sinx) = C其中C为任意常数.【

8、相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(%)是二阶线性非齐次方程y + P(x)y + Q(x)y = /(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程/ + P(x)/ + Q(x)y = 0的通解,那么y = /(%) + y*(x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Mx),可用特征方程法求解：即丁 +。)：/ +。5)丁 = 0中的月(月、。食)均是常数，方程 变为y + py + qy = 0.其特征方程写为/ + + = 0,在复数域内解出两个特征根不弓； 分三种情况：(1)两个不相等的实数根不那么通解为y

9、 = G +。2-叱(2)两个相等的实数根q =弓，那么通解为y =(G+C2X)*;(3) 一对共粗复根rl2=a甲、那么通解为y = eax (Q cos x+C2sin网).其中G, G 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程y + P(x)y+ Q(x)y = /(的一个特解/(%),可用待定 系数法，有结论如下：如果/(x)=匕(x)*二那么二阶常系数线性非齐次方程具有形如)*(、) =的特解,其中是与以(光)相同次数的多项式，而女按几不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果/(x)=小片(x)cos cox+ Pn(x) sin cox,那么二阶

10、常系数非齐次线性微分方程y + p(x)y + q(x)y = f(x)的特解可设为y = xkeAXR(tx) cos cox + R；丁(x) sin cox,其中R；(x)与R?(x)是m次多项式，m = max /,而左按；I + i(或2 /)不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(此题总分值8分)【解析】lim/ = 0说明x -0时/(%)是比x高阶的无穷小，假设能进一步确定/(x)是x 一 x的p阶或高于p阶的无穷小，pl,从而/()也是的p阶或高于p阶的无穷小，这就 n n81证明了级数2/()绝对收敛. n=方法一：由lim2也=0及/(x)的连续性得知

11、/(0) = 0,广(0) = 0,再由/(%)在点x = 0 3 x的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法那么Jim2孚为“9”型的极限未定式,又分 一。x2 0子分母在点。处导数都存在,连续运用两次洛必达法那么,有2x=|白=n limx-0f(x) 1x2/()由函数极限与数列极限的关系= lim = -770)1. f+81200 10018因Zf收敛)收敛，即 ()绝对收敛n= 72=1几72=1 几方法二：由lim1 = 0得知f(0) = 0,1(0) = 0,可用泰勒公式来实现估计.f(x)在点 工-0 xx = 0有泰勒公式：/(x) = /(0)+八 0)%+1 /(纭)

12、%2 = 1 /(纭)%2(0 e 0,7(%)在X25有界，即0,有I /(%)区M,X一瓦dn|/(九)| = ；|/(。龙)|/ 0, mN.N时，0,Sn /(-) Z)收敛，即 ()绝对收敛n= n= n= 几【相关知识点】正项级数的比拟判别法：008设E %和E 577=1n=都是正项级数，且lim， -0 U0000(1)当0vA收敛，那么 收敛；假设Z与发散，那么 发散;=171=1 = 1 = 1008008 当A = 20时，假设Z与收敛，那么 收敛；假设 发散，那么X5发散.n=n=1n=七、(此题总分值6分)【解析】方法L用定积分.设高度为z处的截面D二的面积为S(z)

13、,那么所求体积V =S(z)dz.J 0AB所在的直线的方向向量为(01,1。,1一O)=(T,L1)，且过A点，所以所在的直线方程为=二2= *或1.-111 1y = z截面Dz是个圆形,其半径的平方R2 =x2 + y2 =(l-z)2 + z2,那么面积S(z) = 7rR2 =tt(1-z)2 + z29jIAo Pq由此 V = tt(1-z)2 + z2dz = (l-2z + 2z2 Jz -ti z-z2+ z3=.I343方法2：用三重积分.V = BIdV =呵;dzf rdr = ,或者V = dV = Jo dz do =0 - z）2 + z2 dzQD.=1-2z

14、 + 2z2z（2 2 3M2兀二71 z- Z + Z =I 3儿3八、（此题总分值8分）-1 1 0 0 -【解析】（1）由，（I）的系数矩阵，A= 0 10.由于 r（A） = 2,所以解空间的维数是2.取七，%为自由变量,分别令（&，%） = （1，。）,（。/），求出4=0的解故的基础解系可取为（0,0,1,0）, （1,1,0,1）.方程组（I）和（II）有非零公共解.将（II）的通解% =-k2,x2 =k +2左2，%3 =K +2左2/4 =左2代入方程组（I），那么有k? + K + 2k) 0k k、+ 2k2 心二0那么当匕=左2 w 0 时，向量 k (0,1,1,0

15、) + 左2 (-L 2,2,1) =%(1, -1, -1, -1)是(I)与(II)的非零公共解.九、（此题总分值6分）【解析】证法一：由于A=A7，根据4的定义有4 = %（，, j = 12L ,），其中&是行列式| A |中的代数余子式.由于AwO,不妨设%。0,那么IA |= a,Ai + A, +L + a,”An =册 +L + u；n 之 cr 0,1 111 11 i 乙 i 乙in 11111inin 故 |A|wO.证法二：（反证法）假设 | A |= 0,那么 A4* = A47 = | A | = 0.设 A 的行向量为 G（i = L2,L ,），那么 a,a：

16、= a： +aj2 +L + 成=0 （z = 1,2,L .ri）.于是 4. =(%,%，L ,。%)=0 (i = l,2,L,).进而有A = 0,这与A是非零矩阵相矛盾.故| A快0.十、填空题(此题共2小题，每题3分，总分值6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式)，有P(AB) = P(AUB) = l-P(AUB)=1 - P( A) + P(B) - P(AB) = 1-P(A)-P(B) + P(AB).因题目P(A5) = P(A3),故有P(A) + P(B) = 1, P(B) = l-P(A) = l-p.(2)【解析

17、】由于x、y相互独立且同分布，只能取o、i两个数值，易见随机变量Z = maxX,y只取0与1两个可能的值，且pZ = O = PmaxX,y = O = PX=O,y = O = PX=O.py = O=；,3pz = l = l-PZ = O= 7所以随机变量Z = max X, y的分布律为：z0113p44卜一、(此题总分值6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望(Z)和方差。(Z),是个常规问题；(2)求相关系数Pxz，关键是计算X与Z的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1)由 X N(l,32), y N(0,42),知E(X) = 1, D(X) = 9, E(

18、Y) = 0, D(y)= 16.由数学期望和方差的性质：E(aX+bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c,D(aX +bY + c) = a2D(X) + b2D(Y) + lab Cov(X, Y),其中为常数.EZ = -EX+-EYDz=gox+；z)y+；cov(x,y)=白9 +卜16 +枭/) .回5= 5 + L()x3x4 = 3.32 因为Cov(X,Z) = Cov(X-X+y)=-Cov( X,X) + - Cov( X, y)31 9 1= 3 h (6) = 032所以所以Covc)=04dx4dz（3）由于（x,y）服从二维正态分布，那么其线性组合

19、构成的随机变量也服从二维正态分布，而v yz =+,x = x+oy,故x和z都是其线性组合,那么（X, Z）服从二维正态分布,根据 3 2=C要2=0,所以X与Z是相互独立的. 4dx4dz（B） 6Zj CC1、6Z? 一。3、戊3 、二4 一线性无关（C） % + %、a、+ %、% +。4、。4 “1 线性无关（D） 6Z| + 6Z9、OL + %、。3 。4、。4 四线性无关三、三、（此题共3小题，每题5分,总分值15分.）x = cos(),x = cos(),y = tcos(r)-f = cosudu, 2G平力 dy n求上、一在1 =、一的值.dx dx1 V 2将函数/

20、(x) = LlnH + Larctanx - x展开成x的基级数. 4 1 x 2求f主.J sin2x + 2sinx四、（此题总分值6分）计算曲面积分JJS其中S是由曲面/ + y2=R2及两平面2 =反z = R（R 0）所围成立体外表的外侧.五、（此题总分值9分）设/（X）具有二阶连续导数，Z（0） = 0,广（0） = 1,且xy（x +y）-f（x）ydx + /（x） + x2ydy = 0为一全微分方程，求/（x）及此全微分方程的 通解.六、（此题总分值8分）设f（x）在点x = 0的某一领域内具有二阶连续导数,且lim = 0,证明级数 5 X001/（）绝对收敛.=1 七

21、、（此题总分值6分）点A与8的直角坐标分别为（1, 0, 0）与（0, 1,1） .线段A3绕Z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面z = 0, z = 1所围成的立体体积.八、（此题总分值8分）M M = 0,设四元线性齐次方程组为 2又某线性齐次方程组(II)的通解为l2 -X4 =0,仁(0,1,10) + %2(1,2,2,1).(1)求线性方程组的基础解系；(2)问线性方程组和(II)是否有非零公共解？假设有，那么求出所有的非零公共解.假设没 有,那么说明理由.九、(此题总分值6分)设A为阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，是A的转置矩阵，当A* = 时,证明| A|w0.十、

22、填空题(此题共2小题，每题3分，总分值6分.)(1)4、8两个事件满足条件尸=，且P(A) = p,那么P(8)=(2)设相互独立的两个随机变量X、丫具有同一分布律，且X的分布律为X0111P22那么随机变量Z = max X, Y的分布律为.十一、(此题总分值6分)随机变量(x,y)服从二维正态分布,且x和y分别服从正态分布n(i,32)和1v yn(o,42), x与y的相关系数夕乂卜=，设2=+,3(1)求Z的数学期望石(Z)和方差。(Z)；(2)求X与Z的相关系数Pxz ；(3)问X与Z是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(此题共5个小题,

23、每题3分,总分值15分.)(1)【答案】-6【解析】原式变形后为“9”型的极限未定式，又分子分母在点o处导数都存在，所以连 o续应用两次洛必达法那么，有r cosx(x-sinx) x-sinx原式=hm=limcosx-limd xsin xd。 x 1-cosx sinx 1 /上主sinx=hm- = hm=-.(由重要极限 hm= 1)3x a。6x 6a。x(2)【答案】2x+y 4 = 0【解析】所求平面的法向量为平行于所给曲面在点(12。)处法线方向的方向向量/, 取 =,又平面过点加(1,2,0).平面的法向量(A,氏C)和过点(, %, z0)可唯一确定这个平面:&X %)

24、+ 5(y %) + C(z z0) = 0.因点(1,2,0)在曲面伏(羽y,z) = 0上.曲面方程F(x,y,z) = z-ez + 2xy-3.曲面在该点的法向量_dF_ dF_ dF、dx dz_dF_ dF_ dF、dx dz(“o)=42O = 22,l,O,故切平面方程为2(x l) + (y 2) = 0,即2x+y 4 = 0.万2 (3)【答案】【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以此题可以先求求X cos , yd2udxdyd2u(21)办为乃(2,-)71d 6udx dy1=- 乃x=2=e(_/scsGx=2冗=（一（1 一 x）

25、COS 71X）1=2 +0 = e（可边代值边计算,这样可以简化运算量.）【相关知识点】多元复合函数求导法那么：如果函数 =（羽丁）# =夕（乂0都在点（尤丁）具有对X及对y的偏导数，函数2 = /（#）在对应点（,V）具有连续偏导数,那么复合函数z = f y）,（x, y）在点（x, y）的两个偏导数存在,且有dz dz du dz dv rfdu rtdv = /p .cccccJ2cOX OU ox ov ox ox oxdz _ dz du dz dv _ , du , dvdy du dy dv dy 1 dy 2 dyjrI |（4）【答案】-7?4（+ ）4 a b-【解析】

26、很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算:原式Jo Jo-；1；-cr b- )rdr(2 c2 cos 3=J0sin2d0-注意:A71o cos*d9 = J。Sin-0d0 = ,原式=【答案】【解析】【解析】由矩阵乘法有结合律，注意/I=3是一个数,323,（是一个三阶矩阵）于是,于是,A = (arB)(arB)(a邛).(% = a1 (A/ )(A/).(呢)/2132I 3 2 3二、选择题(此题共5个小题,每题3分,总分值15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质，被积函数是奇函数,积分区间

27、关于原点对称,那么积分 为0,故M=0,且由定积分的性质，如果在区间。回上，被积函数/(x) 20,那么0 (a0, P = -2 厂 cos4 xdx = -N 0.JoJo因而PMN,应选(D).【答案】(D)【解析】/(x, y)在点(%, %)连续不能保证f(x, y)在点(4, %)存在偏导数4(%,%),4(公,%).反之，在点(%,%)存在这两个偏导数力(%, %),(%,%)也不能保 证了(羽y)在点(%, %)连续，因此应选(D).二元函数以x, y)在点(4, 为)处两个偏导数存在和在点(x0, 为)处连续并没有相关性.【答案】(0【解析】考查取绝对值后的级数.因/I 2

28、111 21 -a H；0,b 0, 1时收敛；当时发散.) /?=!/7=1 2=几所以之收敛，由比拟判别法，得郊如收敛士2 2-| 4r嬴|故原级数绝对收敛，因此选(C).(4)【答案】(D)【解析】因为l-COSXx2 =0(x), 一 0-厂尤2=0(1)，2故(2tanx + /?(l-cosx) -ax (a wO),cln(l- 2x) + d(l - ex ) 2cx (c w 0),因此原式左边二lim=2=2 =原式右边，=a = -4c.1。-2cx -2c当 = 0,cw0时，极限为0；当。0,。= 0时，极限为g,均与题设矛盾，应选.【相关知识点】1 .无穷小的比拟：

29、设在同一个极限过程中，a(x),，(x)为无穷小且存在极限lim以2 = /.队4假设/。0,称伙x)在该极限过程中为同阶无穷小；(1) 假设/ = 1,称a(x),以)在该极限过程中为等价无穷小,记为a(x)以工)；假设/ = 0,称在该极限过程中a(x)是0(x)的高阶无穷小,记为a(x) = o (%).假设等不存在(不为8),称B(x)不可比拟. B(x)2.无穷小量的性质：当X /时，e(x),x)为无穷小，那么a(x)伙x) a(x) = 0(x) + o(0(x).【答案】(0【解析】这一类题目应当用观察法.假设不易用观察法时可转为计算行列式.(A)：由于(q +4)_(% +%

30、) + (%+%) (% +) = 0,所以(A)线性相关.(B)：由于(4 _%) + (%_%) + (% _%) + (% _4)=。，所以线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由a的系数构成的行列式，即10 0-1110 0=2 w 0,0 1100 0 11由行列式不为o,知道(0线性无关.故应选(0.当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由知(D)线性相关,【相关知识点】知(D)线性相关,【相关知识点】3 +%)(% +%)+(% -%) + (% -%)=0,于是用排除法可确定选(C).%,见，4线性相关的充分必要条件是存在某区 = 1，2,5)可以由%

31、，9 %+线性表出.%,%,4线性无关的充分必要条件是任意一个区( = 1,2,s)均不能由%_，4+i，4线性表出.三、(此题共3小题，每题5分，总分值15分.)(1)【解析】dy dy clt dy dx dx dt dx dt! dtt cos 厂一2t2 sincos/, 2t7=W=同理乂，=丝上=一xt -2t sin t2【相关知识点】1.复合函数求导法那么:如果 =g(x)在点L可导,而y = f(x)在点u = g(x)可导，那么复合函数y = /g(x)在点x可导,且其导数为孚=(“)(%)或 柴孚孚dxdx du dx2.对积分上限的函数的求导公式：假设/=。：/(%心，

32、0，均一阶可导，那么尸=夕.(2)【解析】/(x) = -ln(l + x)- ln(l-x) + arctanx-x. 4,先求3的展开式.将/（X）微分后，可得简单的展开式，再积分即得原函数的累级数Z1 、a 1a(a-l)(1 + X)= 1 + OCX H2!Z1 、a 1a(a-l)(1 + X)= 1 + OCX H2!展开,所以由7117112 a(a l)(a + l) n x + + -+, (-1 xl)该级数在端点x = 1处的收敛性,视a而定.特别地,当二=-1时,有X + X1 X3 HF (H,(-x=1 + X + X2 + + x，1 + , 得 /(x)=-4

33、1+x 41x 21+x0000co1-x41-x4n=072=1积分，由牛顿-莱布尼茨公式得coco= /(o)+= J；严力=Ecoco= /(o)+= J；严力=E4+1 九77=14n +1【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin2a = 2sincrcosa,并利用换元积分, 结合拆项法求积分,得dxdxdxsin 2x + 2sin xsin 2x + 2sin x2sinx(cosx + l)sinxdxsinxdxcosx-u2sin x(cosx + l) =dusin2x = l-cos2x)1 + + 1I Z7-4)(1-)(l + )2 8)du=In 1|-In 11 + | +8=In 1|-In 11 + | +8(l + )=-ln(l-cosx)-ln(l 8+ cosx) + 1 + COS X+ c,其中。为任意常数.方法2：换元cosx = 后，有原式=Jdx2 sin x(cosx + l)sinxtZxdu2sin2 x(cosx + l) 2(l-w)(l + w)2