陕西省安康市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷.docx

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1、陕西省安康市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷阅卷人得分、单项选择题（共12题；共24分）1.(2 分)集合4 = %|% 2 之 0, B = 1, 2, 3, 4,那么/ 八 8 =()A. 3, 4A. 3, 4C. 2, 3, 4B. 1, 2D. 1, 2, 3, 4)【答案】C【解析】【解答】由题意可得4 = 汨、2 2,又8 = 1, 2, 3, 4）,那么4nB = 2, 3, 4).故答案为：C.【分析】利用交集的定义即得.2. （2 分）直线八：a% 2y + 4 = 0与直线6： % + （q 3）y + 2 = 0,假设人 II %，那么。=（）A. 1B

2、. -1C. 1 或2D. -1 或-2【答案】A【解析】【解答】因为。口2,所以卜（3）+ 2 = 即卜2-%+ 2 = ,2a。4,a W 2,解得a = 1.故答案为：A.（CL（CL - 3） + 2 = 0,” 、，即求.2a W 4,（2 分）sin（a + 兀）-cos（a + 3兀）=可 贝!Jsin2a =（）JA. 5B.C. |D. 三【答案】C【解析】【解答】因为sin（a + 7r） cos（cr + 3兀）=（2） （5分）求Sn的最大值.【答案】（1）解：设数列an的公差为d,那么产产萼仁30,解得的 = 21, d = .2,（S3 = 3al + 3d = 5

3、7故斯=a1+ （几一l）d = 23 2n, n E N*.（2）解：由等差数列前n项和公式可得Sn = wi+吗利=一层+22九=一（九一11）2 + 121， 那么当几=11时，S九取得最大值，且最大值为S11 = 121.【解析】【分析】（1）根据条件列出方程组，即可求出an的通项公式；（2）根据所求结果，写出Sn的表达式，利用二次函数的性质求得Sn的最大值.18. （10分）如图，在多面体ABCEF中，48。和%（?均为等边三角形，D是AC的中点，（2） （5分）假设平面4BC 1平面ACE,求二面角4 一 - E的余弦值.【答案】（1）证明：连接DE.因为= 且D为AC的中点，所以

4、因为4E = EC,且D为AC的中点，所以4C1DE.因为8。u平面BDE, DEu平面BDE,且BD CiDE = D,所以4C _L平面BDE.因为所以BFu平面BDE,所以AC1BF.（2）解：由（1）可知 DEI AC.因为平面48。1平面ACE,平面平面4CE = /C, DE u平面4CE,所以DE 1平面所以DC, DB, DE两两垂直.以D为原点，分别以反，DB.朝的方向为x, y, z轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系D xyz.E设4B = 2.那么8(0, V3, 0), C(l, 0, 0), F(0, 0,遮).从而前=(1, - V3, 0), CE = (-1

5、, 0, V3).设平面BCE的法向量为几=(%, y, z),那么.鸵= %-*Z =。，令“o得计 n-C = -x + V3z = 0,平面ABC的一个法向量为th = （0, 0, 1）.设二面角4-BC-E为仇 由图可知。为锐角，那么cos。= |cos（n, m）| = | 船 =,=【解析】【分析】（1）根据题意由条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，然后由线 面垂直的判定定理即可得出4。1平面8。 ,再由平行的传递性即可得证出结论。由条件即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面BCE 法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCE的

6、法向量的坐标，同理即可求出平面ACB 的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角4-BC- E的余弦值。19. (10 分)向量五=(2, sin(2x + ), b = (cos(2x-), 1),函数/(%) = ,（1）（5分）求f （%）在信,，上的值域;（2） （5 分）假设/Q）=|,且fvaVTT,求fg 看）的值.【答案】（1）解：由题意可得/(%) = a -b = 2cos(2% 5)+ sin(2x + ,) = 2sin(2x + ,) + sin(2x + ,) = 3sin(2x +，).因为 E冷，刍，所以2% +江由来, 所以

7、sin(2% + 3)C *，1所以3sin(2x +V)去3,即/(%)在各 刍上的值域为怖，3.(2)解：因为f(Q)=,所以sin(2a + /)=所以cos(2a 9=所以cos(2a 9=cos(w 2a)=cosg (2a + 看)=sin(2a + 看)=因为.6恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)解：因为/(3) = 2,所以(k)gQ3)2 + 2k)gQ3 + 3 = 2,所以(log/ + I)2 = 0,所以log/ = -1,解得a =(2)解：由/(%) 6,得(log/)? + 21ogax - 3 0,即。ogq% + 3)(logax - 1) 0, 即 l

8、oga% 1.当0 a 1 时,loga12 logax loga8,那么log/ 1,因为 10gal2 1 不成立,Elaloga8 -3可得(! 8，得 a 1 时,loga8 logax loga12,那么logal2 1,因为logal2logal = 0,那么 10gal2 l,解得1 V Q 6可得出loga% V-3或loga% 1,分Ova VI、a 1两种情况讨论，可得出关于 实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.21. (10分)圆C的圆心在直线 2y+ 3 = 0上，且圆C经过尸(2, 0), Q(3, 3)两点.(1) (5分)求圆C的标准方程.(2) (5分)

9、设直线/： y = /c% + 7n + 2与圆C交于A, B (异于坐标原点O)两点，假设以AB为 直径的圆过原点，试问直线1是否过定点？假设是，求出定点坐标；假设否，请说明理由.【答案】(1)解：设圆C的标准方程为( = 丁2(丁 .)( a 2b + 3 = 0,由题意可得卜2 a)2 + (0 b)2 = r2,解得a = 1, b = 2, r = V5.(3-a)2 + (3-b)2 =八，故圆C的标准方程为( l)2 + (y 2)2 = 5(2)解：设4(%i，y1), B(%2，、2)联立y = kx + m + 2,(%1)2 +(y 2)2 = 5,整理的(肥 + l)%

10、2 + 2(km l)x 4- m2 4 = 0A = 4(/cm l)2 - 4(/c2 + l)(m2 - 4) 0,A = 4(/cm l)2 - 4(/c2 + l)(m2 - 4) 0,那么=一写詈m2-4 %i%2 = k+l故 %丫2 = (kxi + m + 2)(/c%2 + m + 2) = k2xrX2 + k(m + 2)(% i + x2) + (jn + 2)2.因为以AB为直径的圆过原点，所以耐赤=%1%2 +丫1丫2 = 0，即(小 + l)x1x2 + k(m + 2)(%i + x2) + + 2)2 = 0那么(/ + 1) .+ k(m + 2) -+(

11、 + 2产=0,k +1k +1化简得 2(zn + 2)(m + k) = 0.当m = -2时，直线&y = kx,直线1过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.所以mH2,那么m =匕 那么直线A y =/c% k+ 2 = 1) + 2过定点(1, 2).( a 2b+ 3 = 0,【解析】【分析】(1)设出圆C的标准方程，由题意列出方程卜2 a)2 + (0 b)2 =r2,从而可得答(3-4 + (3-b)2 =八，案.(2)设4(%,%)，F(x2, y2),将直线/的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得0A - 0B =%62 + 丫1丫2 = ，从而得出答案.22

12、. (10 分)函数/(%) = (61nx - 3)/+ 12q%(q R).(1) (5分)假设/(%)在其定义域内是增函数，求a的取值范围；(2) (5分)定义：假设/(%)在其定义域内单调递增，且f(%)+g(%)在其定义域内也单调递增，那么 称9(%)为/(%)的“协同增函数”.函数g(%) = 4%3 - 18a%2 + 12(2 - a)x,假设g(%)是f (%)的“协同增函数”,求a的取值范围.【答案】(1)解:因为/(%) = (61nx 3)x2 + 12a%,所以f (x) = - - x2 4- 2x(61nx - 3) + 12a =X12xnx + 12a,令/i

13、(x) = xlnx,那么/(%) = In% + 1.由h (%) 0，得% J;由/i (%) 0，得0 V % 噂)=4即/(%)2- v-因为/(%)在其定义域内是增函数，所以12a-券20,解得a A：(2)解：由(1)可得a e设 F(%) = f(x) + g(%) = 4%3 + (61nx - 18a 3)x2 + 24%,贝(%) = 12/ + 12xlnx 36ax + 24.因为F(%)在其定义域内是增函数，所以-(%)之0在(0, +8)上恒成立， 即 12/ + 12xlnx 36ax + 24 0在(0, + 8)上恒成立, 一即 + Inx + - 3a在(0

14、, + 8)上恒成立. X设Q(%) = % + In% + ： 那么Q (%) = 1 + 3 刍=(%-1)/2) XXX由q(x)O，得工1;由q(%)0，得所以Q(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增， 那么Q(%)之 Q(l) = 3,故3a 4 3,解得a 0恒成立，利用导数求出函数/(%)的最小 值，可得出关于实数Q的不等式，由此可解得实数a的取值范围；(2)由(1)可得出aL分析可知I + ln% + 22 3a在(0, +oo)上恒成立，利用导数求出函数 e(2(%)=% + 111% + |在(0, +8)上的最小值，可得出关于实数。的不等式，由此可解得

15、实数a的取值 范围.2所以 sina cosa = 一 3所以 sin2a 2sinacosa + cos2a =可所以 sin2a = f. y故答案为：c.【分析】利用诱导公式可得sina-cosa = -京 再利用同角关系式及二倍角公式即求.4 .(2分)“m 6是“方程%2 + y2 _ mx + 4y + )72 + 7 = 0是圆的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】假设方程2 + y2 一M + 4y +租+ 7 = 0表示圆，那么(-771)2 + 42 - 4(m + 7) 0，即th2 4m 12 0

16、,解得zn 6或m 6是方程/ + y2 mx + 4y + m + 7 = 0是圆的方程”的充分不必要条件。故答案为：A【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“m6”是“方程%2+y2 mx + 4y + m +7 = 0是圆的方程”的充分不必要条件。5 . (2 分)a = 2-101, b = 1.201, c = log43,那么()A. b a cB. c b aC. a b cD. b c a【答案】D【解析】【解答】因为2 101 = i1oi 1, = log42 log43 log44 c2a.故答案为：D【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，再借助中间

17、量求解，即可得答案.6. (2分)等比数列即满足+ 5 + 9 = 21, 04 + 12 = 42&，那么。7 =()A. 4B, 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【解答】设数列an的公比为q,那么。4 +他+。12 = （。1 +。5 +。9加3,即21q3 = 42a,解得 q = V2-因为由 + 与 +。9 =。1（1 + Q4 + Q8） = 21al = 21,所以即=1,那么电aiQ6 8.故答案为：B.【分析】设数列Q九的公比为q,根据条件求出q = /和%=1,进而可求得劭的值.7. （2分）在&ABC中，。，E分别在线段AB ， AC上，且DB = AB ， AE

18、 = 1AC，点 JJF是线段BE的中点，那么加=（）B. AB-AC63DAC o 3A. AB + AC63C. 63【答案】A【解析】【解答】如图，因为AE = 1AC ， BE = AE -AB = AC-AB.JJ因为点F是线段BE的中点，所以BF = BE = AC - AB ， 乙o乙所以B, C, D不符合题意，A符合题意.故答案为：A.【分析】作图，根据条件利用平面向量加减法的运算法那么表示即可.8. （2分）q0, b0,且直线ax + by 3 = 0始终平分圆C： / + 丫2 一 6y = 0的周长,那么工+部J最小值是（）A. 2B竽C. 6D. 16【答案】B【解

19、析】【解答】由直线过圆心得：。+3b = 3,1 , 31, 丁、 /I 3、1 一八 3bl 3a、16.-.- + = 3X(a + 3b)x(-4-) = 3(10 + + T)T，当且仅当Q = b=细取等. q故答案为：B.【分析】利用条件得出直线过圆心，再结合代入法得出a + 3b = 3,再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出工+油最小值。 a b9. (2分)函数/(%)=遮sin2% 2cos2%,那么以下结论正确的选项是()A. /(%)的周期为兀的奇函数/(%)的图象关于点哈,1)对称 .L乙B. /(%)在用，争上单调递增C. /(%)的值域是一1, 3【答案】C【

20、解析】【解答】由题意可得/(%) = V3sin2x - cos2x - 1 = 2sin(2x 一看)一 1.因为/(r) = 2sin(-2%-看)一 1 =2sin(2% +3)一 1。一/(%),所以/(%)不是奇函数，A不符合题后、；1)对称，B不符合题意;因为/($) = 2sin(2 x$ 看)1 = 1,所以/(%)的图象不关于点(金，令2时一当42/ot +苧(A 6Z),解得/ot +等(kZ),当k = l时，x?都是等边三角形,所以 MB = MC = ME = MD = 2,所以点M为四边形BCDE的外接圆的圆心，那么四棱锥P BC DE外接球的球心在过点M且垂直平面

21、BCDE的直线上，设球心为。,由G为DE的中点，所以尸G IDE,因为平面PDE 1平面BCDE,且平面PDECI平面BCDE = DE, PG u平面尸DE,所以PG 平面BCQE,那么OM/PG,设外接球的半径为R, OM = x,MG = PG = V3, CM = 2,那么解=%2 + 4, r2 = 3 +(_%)2,所以3 + (V3 x)2 = / + 4,解得% =坐，所以R=挈， J所以四棱锥P BC DE外接球的外表积是4ttR2 = 4兀x等=故答案为：A.【分析】分别取BC, DE的中点M, G,易得MB = MC = ME = MD = 2,那么M为四边形BCDE的外

22、 接圆的圆心，那么四棱锥P-BC-DE外接球的球心在过点M且垂直平面BCDE的直线上，设球心为 。，设外接球的半径为R, OM = x,利用勾股定理求得半径，从而可得出答案.In% x 0、 假设函数y = fCOF +租/(%)+ 1有6个零点，那么一%2 -4%-3, % 0g(3) = 9 - 3m + 1 0,10g(l) = l + m+l0,解得 2 m4了-3 一3 V 1,z故答案为：D.【分析】作出函数/(%)的大致图象，函数y = /(x)2 + mf(x) + 1有6个零点等价于g(t) = 0在二、填空题(共4题；共4分)阅卷人得分二、填空题(共4题；共4分)13. (

23、1分)向量落-3, 1)上有两个不同的实数根，由此求解可得m的取值范围.了不共线，且(而髭)(五庭)，那么攵=【答案】2【解析】【解答】因为向量方,信不共线,R(ka-4b)/(a-kb)所以有(Z2 4b) = A(a kb) = Aa 上必 那么所以有(Z2 4b) = A(a kb) = Aa 上必 那么k = A,-4 = 一卜入,解得k = 2.故答案为：2【分析】根据向量共线定理即可求出k的值.14. (1分)某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中 挖去一个小圆柱后的剩余局部（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为20sl的正

24、方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为lg/cm3,不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量为 g. （fe = 3）【答案】4500【解析】【解答】根据题意可知大圆柱的底面圆的半径R = 10cm,两圆柱的高/i = 20cm,设小圆柱的底面圆的半径为r,1那么有2yrr/i = 5 x 2nRh,即40仃=200兀，解得丁 = 5,所以该模型的体积为V大一 u小=nR?h - nr2h = 15007T（cm3）,所以制作该模型所需原料的质量为1500 x 1 = 4500（g）。故答案为：4500o【分析】根据题意可知大圆柱的底面圆的半径R = 10cm,两圆柱

25、的高/1 = 20cm,设小圆柱的底面圆 的半径为丁，那么有2兀=/乂2兀/?心 从而求出的值，再利用作差法结合圆柱的体积公式得出该模 型的体积，从而得出制作该模型所需原料的质量。15. （1分）曲线y = 2%lnx + 3过点（一, 0）的切线方程是.【答案】2x-y+l=0【解析】【解答】由题意可得点（10）不在曲线y = 2%ln% + 3上，设切点为（%。，y（）,因为y = 21n% + 2,所求切线的斜率攵=21nxo + 2 = -1,%0十2所以 = 2x0lnx0 + 2x0 + lnx0 + 1.因为点（%o, y。）是切点,所以y。= 2%（）ln%o + 3,2xol

26、nxo + 2x0 + lnx0 + 1 = 2xolnxo + 3,即2x（）+ lnx0 -2 = 0.设f （%） = 2% + In%-2,那么/（%）在（0, +8）上单调递增，且/（1） = 0,所以2%o + lnx0 - 2 = 0有唯一解 = 1,那么所求切线的斜率k = 2,故所求切线方程为y = 2（% + = 2% + 1.故答案为：2x-y+l=0.【分析】设切点为（%o，y。），可得= 2%oln%（）+ 2）+ In%。+ 1, y。= 2%（）ln%o + 3,进而可得x（）= 1,即求.16. （1 分）如图，在平面四边形 Z8CD 中，DAB = AC BA

27、 = 45, AD = 2, DC =后,CB = 1,那么 cosZ-ADC =.【解析】【解答】延长4D,相交于点E （如下图）贝必/BE为等腰直角三角形,设= 那么CE = % + 1.由勾股定理可得d +Q+i）2 = i3,解得 = 2 （负值已舍去），那么cosZ-ADC = cos 乙 EDC =22713 1回一 13 .故答案为一维I【分析】设DE = %,那么CE = % + 1,由勾股定理可求出x的值，进而求出cos乙4DC的值.阅卷入得分三、解答题（共6题；共60分）（10分）设等差数列Q九的前n项和为Sn,恁+。5 = 30, S3 = 57.（1） （5分）求小的通项公式;