第4讲 不等式恒成立问题（解析版）.docx

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1、第4讲不等式恒成立问题【方法技巧】(一)与不等式恒成立问题有关的结论.匕),均有人X)A恒成立，那么於)min4.WrW。,均有火幻g(x)恒成立，那么 F(x)=fix)- g(x) 0,.*. F(x)min 0；.均有 g(x)恒成立，那么 F(x)=fix)- g(x) 0,.*. F(x)皿 g(X2)恒成立，贝gCOmar；. VXi D, VX2 E,均有 fix) Vg(X2)恒成立，那么 fix) m0证明/在(。，+8)上单调递增,/(1)在L2上的最小值为 /U)m,=/(D = 1.(2)对DX|W1,2,切 eO,2,使得/(%)g(w),那么/(百)1nto 去g(

2、W)min,根据 J(X)min =l，g(X)= (g) -?在0,2上单调递减，所 g*2)min =g(2)=j-?， 13所以即m .44(二)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数，利用导数研究该函数的单调性，由函数的单调性确定其 最值，或把其最值用含有参数的式子来表示，再根据所给不等式列出关于参数的不等式，注意如果所构造的函数，其导数结构比拟复杂不易分析出单调性，那么可把需要判断符号的式子拿出来构造 一个新函数，再想方法解决其符号.有时所构造的函数的最值不易求出，可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.在考虑函数最值时，除了依靠

3、单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选 点”,所以有的讨论点就集中在“极值点是否落在定义域内.【例2】(湖南省长沙市雅礼中学高三上学期入学考试)函数=g(x) = xe +虫pj(awA,。为自然对数的底数).(1)假设函数“X)在上有零点，求。的取值范围；2.(河南省洛阳市高三4月调研)定义在(0,+8)上的关于x的函数/(x) = (x1)，漆.(1)假设。=%讨论/的单调性；2) /(x)43在(0,2上恒成立，求a的取值范围.【解析】(1) f (x) = xex - ar = x(ev - ,在xo,i)上ja) OJU)单调递增.(2)由(1) /，U

4、) = A(er-6z),假设。41,在(0,2匕/&)0JU)单调递增,2)= /-23,不合题意；假设 1 一,在(o,in)上 ja)oja)o)=i；在(lna,2上,尸)0./( - a e, 2假设 a 2在(0,2)上，/(x) 0 JU)单调递减，那么在(0,2 ,/(x) /(0)= -13 符合题意，综上所述,“2金.2.函数/(切=一生工 X(1)设g(x) = /(x) + .f(),求函数g(x)的最小值；IX 1 /(2)设力(=/对任意王、吃6(。,内),(内)+ (电)之(与+芍)+ * (司+出)恒成立,求4的最大值._【解析】(1)/(x) = 3 = Ln

5、令，=那么7 =十=一, x x x x x- _| I-/t设 F= 8(1)= 皿+(1-，)111(1-。淇中陛(0,1),那么 尸(f) = ln7 + l-ln(l-1) l = ln,当t0,；)时, (0,1),那么r(r)0,尸单调递增, 12 71 - Z(1 A 1所以，g (XLn = F(0min =Flij =，ni = ln2；那么(xj + /?(x,)一 (玉十三)=X In Jr】+ x2 In 芍(jt, +x2)ln(Aj +x2)那么(xj + /?(x,)一 (玉十三)=X In Jr】+ x2 In 芍(jt, +x2)ln(Aj +x2)InIn*

6、 + x2+ x2 In% + .q=Ui(%+/) hX由(1)知工2x?X， i + =-In+m)百+12 X+X2 X, +X2In=F内+巧,一加2,因为(N ) +，?(芍)之(N +)+左(内+三),那么女/ + h (内+切，故4 W-ln2.故A的最大值是-hl2.4.函数/(X)= QXlnx,awR.(1)当” =1时，求/(X)的极值;假设对任意的xNe都有f(x)ex ,niOm的最大值； x(2)假设函数g(x) = f(x) + x2有且只有两个不同的零点占,%求证: e2.【解析】(1)。=1 时J(x) = Wnx,那么八x) = lnx+l(x0),令ra)

7、o,解得：xL令ra)o,解得：oO,故/,由知，/在(：，+8)单调递增,故之丁,可得1门2W,即从1才,，当xe时,/(6的最小值是/(e) = e,故川的最大值是J(2)证明：要证中2*只需证明皿中2)2即可,由题意，%、是方程orlnx+Vm的两个不相等的实数根，又X1, 邛产十寸：消去整理得：叫小.心，|/“11电+电=。五一 X2X2不妨设% %,令上，那么/1,故只需证明当，1吐上|小，2,即证明ln/也?, x2t-/ + 1设那么=！_2/一：)=0,，+ 】i(r + 1)+h(t)在(l,+oo)单调递增，从而付)力=0,故皿 任二川即斗心 片得证.r + 15.函数/(

8、x) = hu+云的图象在点(L-3)处的切线方程为了 二 -21-1.(1)假设对任意xeg,+8)有/(理,?恒成立，求实数用的取值范围；(2)假设函数以1)=/(幻+/+2 + 2在区间(0,y)内有3个零点，求实数大的范围.【解析】(1) /)一 + ,。0). X函数/(X)的图象在点(1, -3)处的切线的方程为)，= -2x-./ (1) =-2,/ (1) =-3,a + b = -2-。，解得。=-3, = 1.b = -3*- f(x) = nx-3x.1-3(彳一；)f(x) =-3 =2_xxV xe4-co),. /(x) 0.当X = 3时，函数/U)取得最大值,/

9、($ = -ln3-l.,/对任意xeg,Xo)有/(幻,恒成立,所以机/(幻,皿,工日；,+8).nt.In3-I.二.实数的取值范围是-ln3-l,).(2)由(1)可得：g(x) = Inx - 3x + / + % + 2,g，(x)+ 2x-3=(2-g-D XX令g(x) = O .解得列表如下：X吟2修)1(1,E)ga)+00+g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增113由表格可知：当X = 1时，函数/(X)取得极小值g (1)=%当x = 5时，函数g。)取得极大值g)= Tn2 + ( + h要满足函数g(x) = /(X)+ / +火+ 2在区间(0,+8)内有3

10、个零点，-ln2 + - + 04,k0解得ln2-1vZ0), X X当a .0时,gf(x) 0, g(x)在(0, +劝上单调递增；当 a 0,解得% 一。,令 gx) 0，解得 0 v x v -，g(在(o,-a)上单调递减，在(-a,+00)上单调递增;综上，当a .0时,g(x)在(0,+8)上单调递增；当 0)，那么(x)=- + l =-,X X易知函数h(x)在(0,m)上单调递增， 而g./g所以广即“时即为出旅,设 (.M)=a 1)，贝 iJ *(x)=, hirlnx易知函数*)在(0,e)上单调递减，在+8)上单调递增，:.(p(x).(p (e) =e,，”,即

11、4的最大值为e.7.(重庆市第八中学高三下学期适应性月考)函数/(m二-一米,且(/) = /+-一3.(1)讨论函数= /(*的单调区间；(2)假设2/(x)Ng(x)对任意xNO恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)f(x) = ex-k,当AWO时J(x)0恒成立，那么= /(“在R上单调递增；当k0时, In A时,/(x) 0,y = /(X)的单调递增区为(In女”)；xvin左时,r(力0 = /卜)的单调递减区间为(gin*).(2) 2ex -2kxN f +/ -3对任意的x。恒成立，即厂+2h+ ”-342对任意的x之0恒成立. ex令 3户2米小一3,仆)=_(x

12、+ M(i3) exex当23时,。)0在xw(0,+oo)恒成立M(x)在(0,y)上单调递减.所以只需(0)=女2-342,即石，石，矛盾.当-YAv3时,/?(“在(0,-+3)上单调递增，在(一女+3,讨)上单调递减.所以只需m-3) =，77 V 2,RUW3 In3.； 1 W A W 3 In 3 ；当AvT吐力在(0,一01)上单调递减，在(一1,一4 + 3)上单调递增，在(-k+3,y)上单调递减.力(小2 口 /i(-k + 3)2-753-ln3A -75 0时,/(x)。；(2)假设g(x)()时7VLu/x + l,令力(x) = 0-X-l,贝!1 (X)= e

13、-1 0,/?(力在(。,+8)上单调递增，(力力(0)=0,二 ex+l(2)由题 g(x)_/(X)0,即 ln(x+1) dx2 2.ax - e s H 0,令尸(不)=111(工+1)-*-20- + 白，易知/?(0)= 0,日 Fr(x) = ! 20r 2a + ex!7旦 v 7 X+(x+l).，要满足题意,必有广(0)工0,那么1-2zY0,a 2；,当 a 2 L 时，F(x) = ln(x+1) ax2 -2ax e H- 0,(p(x) = ! + eKt-(x+l) -! + !-丁-(x+1)X+l (x+l)X+l A + l (X+l)2 V )=(2ZH+

14、L 上 0(x+l)2(X+l)2。(大)在(。,+8)上单调递减，那么(px)O,0(x)递增;xe 冬+8 时,“(x)0,0(x)递减. / /姐)的最大值即。的极大值为。y =/停 :甘吐0，所以/(%)在(%”上递减，函数小)在(3)上有零点，那么必卜0,那么. + - ,0, 3xxF(x)在区间口,口)上单调递增,F(x)2F(l) = 3-20, 爪x)在区间口,e)上单调递增,尸(*2尸(1) = 0恒成立；(0) 3a-2V(),即时，当 aWO 时,/(力=一/一+g) + a(2x + ) V 0 恒成立，所以厂(在区间口，内)上单调递减，所以尸(X)(尸(1) = 0

15、恒成立，即X)4g不成立;当0vaV：时，尸,l) = 3Q_2(0,Fp) = 43_a + 2_el =3+(_。)+ _ j a , 二 /=二。= 1，所以尸()。,又/外)=61+3 + 24+卜0, 所以尸(X)在区间口,一)上单调递增，所以户(心)在区间(i,|上存在唯一的零点，设为商，当xe(lf)时口”0时，假设“X)在区间1,4上的最小值为_2,求。的取值范围；(2)假设对于任意0,/(百)-/伍)2巧-2%恒成立,求。的取值范围.【分析】(I)对/求导拼令导函数为0,得到x或分类讨论一与区间口，4的关系，得到a的取值范围是口，”)；(2)令g(x) = /(x)+2，那么

16、g (x)在(0, +8)上单调递增：对g(力求导，分类讨论当。=。时与当0时的情况，得。的取值范围：“、八 1 2ap - ar+1 g (x) = 2ax- 0，此时g (x)在(0,+8)上单调递增； X当a # 0时，只需g(x) 2 0在(0,一)上恒成立；只需2ap 一族+ “在(o,y)上恒成立.所以(),且A = /-8W0,解得Ov“K8；故。的取值范围是0,8.【典例精讲】【例J 1(广东省七校联合体高三下学期第三次联考)函数/(x) = lnx-ar.(1)假设函数/(%)在定义域上的最大值为1,求实数。的值；设函数力(耳=(戈-2)/+/(1),当a = l时,/?(1

17、)对任意的恒成立，求满足条件的实数力的最小整数值.【解析】(1)由题意，函数y = /(x)的定义域为(0,+8)J(x)=-。， X留神0时J(x)J-a0,函数), = /(1)在区间(0,m)上单调递增， X此时，函数=fW在定义域上无最大值；留神。时，令小)=L = o,得 xa由 rax。,得由 ra)o,得 xo,|,(1 ( 1此时，函数k/的单调递增区间为喘，单调减区间为7+8 所以当X，时，函数/(x)有最大值，即/(。皿=.也卜*-1 = 1 = 4 = ,即4 =b为所求;(3)只需2。一2把，+111%-1对任意的工(/1)恒成立即可.构造函数 gM = (x- 2)e

18、v + lnx-x,fU) = (x-l)e + -1 =(x-l)fe1-1 x k x)x e (g, 1),x-1 v0,且Z(x) = ex-单调递增，V r(l) = e5-20,:.一定存在唯一的 为 e (；, 1),使得，(天)=0,即 * = L/ = - In %, 2%且当3 V X V X。时,无)0;当事 X 1 时/(X)0,即 g(x) 1；假设/”(x) + 2cosx-2*x恒成立，求实数。的范围；(2)假设函数八)在(0高上存在极值，求实数。的取值范围.【解析】证明：当 =1时,/(x) = e-sinx,那么r(x) = e-cosx,由于当k之。时21,

19、 1 WcosxKl,故/(x) = e -cosxZ。，所以，函数x)在0,+co)上为增函数测当xe0,m)时,X)刃(0) = 1 ；依题意,e+ cos x - 22 bx在0, +)上恒成立，设 g(x) = +cosx 2 x,其中1之 0,那么 g(x) = e Jsinx N 当后1时，短(X)之0,此时g(x)在0,用)上单调递增,故g(x)2g(O)= O,符合题意;(ii)当力1时,由知，短(4)=-sinx-在0,+ 0,此时函数g (x)单调递增，所以,g(x)的=g(y)vg(O) =。,不符合题意.综上，实数方的取值范围为(tJ；(2)= a/-sinx,可得f(

20、x) = -cosx,由广(x) = 0可得=以丝,cx所以，直线y=a与曲线,，=等在(0,Ml上的图象有交点(非切点), e I 2J/ , /、 cos x . io n.i ., /、sin x + cos x d八乃4令(#=丁，其中不卜那么(x)=。在o,万J上恒成立，/ / 所以，函数在彳 上单调递减，且(0)=1 y =0,/ 作出函数)=与函数/?(在0,g上的图象如下列图所示：乙)由图可知，当。“。时，直线与曲线等在画)上的图象有交点(非切点).因此，实数的取值范闱是(0/).【例3】函数71(x) = lnxT,g(x) = x + =且函数/与g(有相同的极值点. Xr

21、(1)求实数的值；(2)假设对7小匕3,不等式，叫一，(,恒成立，求实数用的取值范围;e* +cosxe* +cosxek+1(3)求证:【解析】(1) /的定义域为(0,+8)J(x) = L-l,由r(x) = O得X=l, X易知函数/(I)在(0,1)单调递增，在。,内)单调递减，故函数/。)的极大值点为X=l,/(x) = l-乌，依题意有g=1- = 0,解得” =1,经验证符合题意，故“ = 】. X(2)由(1)知，函数/在单调递增，在(1,3)单调递减，又不= -lJ(3)= ln3-3,且吊3-3-1-1,ej ee.当xe -,3 时,/(幻2=八1) = -1,/(冷.

22、=3) = 1113-3. _e _ 当A + l0,即&-1时，对“，占e -,3，不等式?一J?L 1恒成立，即为L./&)-/(马)恒成立, e Jk + TWJ A： +1 . ./(x) - /(x)min = -1 - (In 3 - 3) = 2 - In 3,hi-11)3,又 1 - ln3 -1,此时大的取值范围为hl-ln3；当10,即左V-1时,对“,八” 3，不等式/a一/5), 1恒成立，即为k + l%)-f(w)恒成立, e JZ + 1那么 k + L /(x)min - f(x) = (In 3-3) -(-1) = In 3 -2 ,所以工，lr)3-3,

23、乂ln3-3v-1,此时的取值范围为除In3-3.综上,实数4的取值范围为(r，ln3-3Uln3,*o).(3)证明：所证不等式即为xlnxeccosxl,下证：xlnx-eA 一工一1,即证xlnx-e +x+l 0)，那么 /?(x) = ln.r+l-el + 1 = In x-er + 2,令 r(x) = (x) = lnx-e +2,那么 r(x) = -eX易知函数，)在(0,+劝上单调递减，且/(； = 2-面0,/= l-e 0,r(x)即(x)单调递增;当 xgx0,-kc)时,/(X) 0, r(x)即(x)单调递减，Lx =(%)=,n而-铲 + 2 = -，+ 2

24、=1)0,故h(x) 0,BPxlnx-ex-x-l;再证：一%10),即证。5工+工0在(0,+ /7(0) = I 0,即 cosx+x o,故一x1 cosx1 ,综上,xlnx-e cosx-L【课后精练】1.(江苏省南京市高三上学期开学摸底)函数/*) = alnx+JTT7 (其中0,6 = 2.71828)(1)当时,求函数/的单调区间；(2)对任意的XG 2,+81均满足/(X)立，试确定。的取值范围. .e 72a33【解析】(1)当 =一7时,/(x) = -：lnx+ 44、3 ,1 (VTi2)(2717 + 1) - 4x 2ViT- 4xVT+7函数/(X)的单调递

25、减区间为(0,3),单调递增区间为(3, +8).(2)由/(1)工；得2a4当0 (2/2) = 8x/x-4/2Vl + x-21nx, i己 p(x) = 4x - 2/2 x/T+T - In x, a- y,rjii I ，/、2 V2 12/x Jx+1 /2xjx+1贝ij p(x)= _ -=-=7 K JX+ XXyJX+(x-l)l + x/x(V2x+2-l)xJx+(x + l)(Jx+1 + VZr)列表讨论:X71(l,y)P(x)-04-p(x)J极小值（1）pU)/Xl) = O,：, g(t)之 g(2&) = 2(x) = 2p(x)之0.1 _75当q/)时,gRg(mm=-2器(2) 令 q(x) = 2x ln.v + (x + 1) ,xe故如工）在44上单调递增, 夕7由（i）得q2币 T277(扑一手”(1)=0, q(x)/2,+co)51g(/)0, 1A7.即对任意4 6下，+8，均有f(x) , -e)2a综上所述,所求的的取值范围是o.中