切线法证明不等式.docx

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1、切线法证明不等式牛顿法，也叫牛顿迭代法、切线法，是一种迭代求解函 数零点的方法。切线法又称为牛顿法,是一种一般情况下具有二阶收敛 速度的非线性方程的数值解法。具体方法如下：设X*是方程 f (x)=0的根，又xO为x*附近的一个值,将f(X)在xO附近做 泰勒展开:f (x)=f (xO) + (x-xO) f (xO) +1/2 (x-xO) 2f ( g ) 其中，在x和xO之间令x=x*,则:0=f (x*) =f (xO) + (x*-xO) ff (xO) +1/2 (x*-xO) 2f ( g )去 掉 x*-xO 的二次项得到：f (xO)+x*f (xO)-xOf (xO)泣0

2、 即 x*xO-f (xO)/f(xO)令 xl=xO-f (xO)/f(xO)并由此构成一 个递推式 xk+l=xk-f (xk)/f (xk)(表示下标)可 以证明，当f(x) eca, b且满足以下条件时 由以上递推式 产生的序列最后收敛到f (x)=0在a, b上的唯一根 (l)f(a)f(b)O 计算实例：1。求解f(x)=x-cosx=0的实根由零点定理知f(x)=O在 (0,4/2)内有实根F (x)=l+sinx,由迭代公式有:xn+l=xn-(xn-cosxn)/ (1+sinxn)Ik xO二 n /4 得到：xl=0。73936133x2=0o739085178x3=0。

3、739085133x4=0o 739085133 所以 x=0。 739085133。2。任意数开n次方为了说明的方便， 在此就常见的开3次方作较详细的说明，对于其他的可以类 比计算设x=3 J A则x3=A所以x3-A=0采用递推公式 xn+l=xn-(xn3-A)/(3xn2) (口表示下标)即可求出3 JA的任意精度近似值。初值x0 一般取与3 JA接近的整数。举例求3J28,取 x0=3,迭代结果如下:xl=3。037037037037037x2=3o 036589037977101x3=3o 036588971875664x4=3o036588971875663x5=3o036588

4、971875663从上面可以看出，只要迭代4次即可求 出15位精度的近似值。设 a、b、c、d0,且 a+b+c+d=l, 证明:6(a3+b3+c3+d3)a2+b2+c2+d2+1 /8.证明设 f(x)=6x3-x2 (0xl/8(其中，a b c、dO 且 a+b+c+d= 1)f(x)=6x3.x2在x= 1/4处的切线函数为y=f(l/4)(x-l /4)+f( 1 /4)=(5/8)x-1 /8.下面证明 f(x)(5/8)x-l/8, 即 6x3-x2(5/8)x-l/8.此式等价于(4x-l)2(3x+l)0,显然成立. Af(a)(5/8)a-l/8,f(b)(5/8)b-l/8, f(c)(5/8)c-l/8, f(d)(5/8)d-l/8. 以上四式相加得 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)5(a+b+c+d)-4J/8 = 1/8.J 6(a3+b3+c3+d3)a2+b2+c2+d24-1/8。