电磁场习题解答：第二章 宏观电磁场的基本规律.docx

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1、第二章宏观电磁场的基本规律 内容提要:1.真空中的静电场库仑定律：实验得出，点电荷/对点电荷纭施加的力是4町属式中用2是两个点电荷之间的距离，后2是从小指向夕2的单位矢量。将/视为试探电荷，其上所受的力为户口，则定义电场强度为E = -%根据叠加原理：点电荷系及连续分布电荷的电场分别为:豆B机、占4殒冏其中囱,为连续分布电荷的电荷元。对体、面、线电荷分别为:dq= pdv Pds P.dr静电场的基本方程:微分方程：xE = O.后=2 0积分方程：/疝=0冲 d2E p dJV-E-z.= V- + /z-以上推导中利用了矢量恒等式及其力=夕，Vx/7 = J + dt同理可推出关于磁场满足

2、的方程-5-5Vx(Vx/7) = Vx J+ (VxD) = Vx J+ -(VxE)-，-d dBV(VH)-V2H = VxJ + ()dt dt7_d2 H-V2/ = VxJ-/r)ct-? 一 d h -二 VxJdr2-11.据边界条件：= D2n& = %E, cosq = s2E2 cos。？ E| sin 仇 =E2 sin2 两式之比火仇二5 吆夕2 ?- -GD-2-12. Vx/7 = J+V D = pdt - - VxE = -Jtn-5B = PmCt2 .真空中的恒定电流的磁场安培定律：闭合电流回路1的磁场作用在闭合回路2上的磁力是P I出2乂（弱血）建 一

3、层 2口2舄其中凡2是从线元而指向而的单位矢量。则电流L产生的磁感应强度是IdlxRRr上式是毕奥-萨伐尔定律。对于连续的电流分布rdvxR洛仑兹力：在磁场月中，一个速度为V的电荷q受到的磁力是qVxB如果还同时存在电场后，则总的力是q（E + V x B）恒定磁场的基本方程： 月二0 x 月二 （）/微分方程：积分方程：8山=氏1 =）小因此B=VxA其中无=氏弓 是失势。这个线积分是对通有电流/的回路所作的3 .电介质中的静电场介质中的静电特性可用极化强度描述。极化产生了真实的电荷聚集。由p可确定 体与面束缚电荷密度Pp =VPPsp =一方（2-勿）其中单位矢量R与介质的表面垂直，指向外

4、方。介质中静电场的基本方程：微分方程：力二VxE = OD = eE = s0（E + p）积分方程：jb - ds = pdv根疝=0说明静电场是有源无旋场。4 .磁介质中的恒定磁场磁化强度而是与电介质中的极化强度日相对应的量。磁化产生一等效面电流密度 和等效体电流密度。其中JSM =力 X02 -必1）JM =VxM等效电流与传导电流在产生磁场方面是等价的。磁介质中恒定磁场的基本方程：微分方程：Vx = J 月=0月=月=0（月+而）积分方程：H dl = jds. 苏=0说明恒定磁场是有旋无源场。5 .几个定律法拉第感应定律：dB微分形式：VxE =p dt积分形式：后工说明变化的磁场要

5、产生电场，这个感应电场为有旋场。欧姆定律：在导电媒质中，传导电流密度与外加电场关系为：J = aE电荷守恒定律：自由电荷是守恒的，5：=-泣dt束缚电荷也是守恒的，./”=一竺dt其中：=7 + + Vx后是物质电荷的流动引起的电流，/是自由电流密度，dt坦是极化电流密度，又而是磁化物质中等效电流密度。pt=p + Pm,。是自 ot由电荷密度，化”是束缚电荷密度，夕,” =一万。还有第四种电流，即使在真空中亦存在，相应的电流密度为=。且喈与哼总的体电流密度小 7+vx* 空a.dt dt- - A_=J 4- V x A/ + (0E + p)- - db=J+VxM+ dt其中为位移电流密

6、度。6 .麦克斯韦方程组 介质中的麦克斯韦方程组微分形式：力=夕VB = O口尸 防V x E =dtVxH = J+ dt积分形式：jb ds = pdvp-S = o后应邛软石真空中的麦克斯韦方程组在上述方程中，用)=%左，月=0月代入即可得真空中的麦克斯韦方程组。麦 克斯韦方程组都适用于非均匀、非线形和非各向同性介质。7 .电磁场的边界条件在两种介质交界面上，场矢量满足/? (D2 -/),) =h(B2-B1) = 0x (2 - Ej) = 0力x(凡一凡)=)其中单位矢量由介质1指向介质2o若是两种理想介质，则分界面上R=0,j$ = o。若介质为理想介质，则力=E =同=月=o。

7、2-1.这题的解放在第四章中 22据高斯定理r rq r r2极化体密度:据 P/)=-Vp = -V(l-)D= (-l)VD可得：Pp =(-l)Pftrr2Pp =0r r2极化面电荷密度：据 bp=_R.(Q2_ pjr = ,j E, =0二%=唔 一净巧2-3.证： 等吟忻小= /，(尸/)产小/=皿a加Jv dt= _JVj.尸介=一心口7.八&- 7)，小3-/”加瓦 JyJrJv备分量:“ j W=1VG7) (%) 71 小=卜庙-人介上式第一项为封闭曲面，即边界面。边界面上无电流流出，故fxJ凉=0。则(守*川=-4加同理(J)zMu=因此3=J性+优加马+ /隹=Jdv

8、2-4.解：由安培环路定理：r r B)-dl = 0A = 0r r r2、及dl = dJ产(r； 一片)2 mB& = /.iJ f7r(r； 一 片)p 4(片一- B= 2rl f xr由 tm = V x MM=(-)B=/AoB o A叩。M = H0-H/ r r2JM = VxM =Vx(/Z=VxB.o o“0=(-ivz4or r2磁化面电流密度：=。JsM =(忆-忆)r - r 7M = r二八 7sM = -h X A?! = -H X ()Bo=一（幺-D（纣）（工x7，x马No2r； rr二_（红一1）（宇巧No2 G2-5. pp =-V-p = -V(l-)

9、D = -(1- )V - D = -(1 - )Pf- -dD2-7.由 p = V Dx” = /+ dt= (VD) = V = V(Vx/-J) = -VJdt dtdt迦 +./ =0dt2-9.证：证明的思路是从其中两个方程出发可导出另外两个方程。我们从两个旋度方出(1)(1)发，导出两个散度方程Vx = - dtVx/? = J + (2)dt_ d - 设：V-(VxE) = (V-B) = 0dtV - 5 = C(x.y.z)C相对时间t而言是常数，由初始条件确定。假设初始时刻月=0或月=常矢(稳恒场) 则 月=0 C(x.y.z) = 0 设:VxH=V J+(V D)dt一 3-VJ=(VD)dt由电荷守恒定律5也dt得：V - D = p波动方程的推导对(1)式两边求旋-3-3-VxVx, =(Vx Z?)=Vx(/)dtdtv(ve)-v2e = -/(.7 + ) 由 dt