北京市海淀区2021-2022学年高一上学期期末数学试题解析高中数学.docx

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1、高一第一学期期末参考样题数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1 .已知集合4 = 0,123,4, 8 = %| - 3 V % 2,则4 n B =()A. 0,1B. (0,1)C. (0,2)D. 0,1,2【答案】A【解析】【分析】根据交集的概念直接可求出答案.【详解】因为集合 4 = 0,1,234, B = (x-3x 0”的否定为()A. 3x e /?,使得/ -x + 3 0C. Vx 6 R,都有2 - % + 3 0D. 3% /?,使得/ - % + 3 0”的否定为：Fx e R,使得第2 -x + 3

2、0”,所以选项A正确.故选：A.3 .已知a V b V 0,则()1A. a2 2bD. ln(l - a) ln(l b)【答案】D【解析】【分析】利用平方差公式判定选项A错误；利用不等式的性质判定选项B错误；利用指数函数的单调性判 定选项C错误；利用不等式的性质和对数函数的单调性判定选项D正确.【详解】对于A：因为q V b V 0,所以a + bVO, a - b 0,即标 ft2,即选项A错误；=（Q%一。血）（1 +） 0,即/（/） /（%2）.所以/O）在（0, + 8）上是减函数.【小问3详解】选择条件：a 1, b = 1.实数瓶的取值范围是5, -1U1, 5.选择条件：

3、ova 1, b = -1.实数m的取值范围是（一8, - lul, + oo）.18.某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为4:1 .现采用 分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位： 件）.一等品一堂口寺口口甲生产线76a乙生产线b2（1）写出。，匕的值；（2）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；（3）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记Pi表示从甲生产 线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，尸2表示从乙生产线随机抽取的1

4、。件产品中恰好有5 件一等品的概率，试比较A和P2的大小.（只需写出结论）【答案】（1）。= 4*=18；*（3） Pi P2.【解析】【分析】根据题意列出方程组”从而求出“，人的值；76 + a = 4（匕 + 2）（2记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后 再找出事件C所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.【小问1详解】由题意，知7：煞：2蓝；，解得a = 4,b = 18；【小问2详解】记样本中甲生产线的4件二等品为公, 42, 3, 4,乙生产线

5、的2件二等品为名12.从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：(“L “2)，(”L 43, (4L 44)，(42, 43)，(，2,，4)，(43, “4)，(41，口1)，(42,当)9(43, B) (A4, B) (A, B2), (A2, B2), (A3, B2), (Z4, B2), (B, BQ ,记。为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则G中的结果有1个，它是(当,多).所以 P(C) = 1 P = l-2 = *【小问3详解】Pl 0举例说明当i0时不存在出户=0；取%2 = 2-%(0, 1)可知/(%) = log2x, %e(o, 1)具有性质

6、P(0).(2)分别从/(%)存在零点，证明2钉0, 1.和若2 0/(%)具有性质P (1) 时，f(%2)= 0.两个角度证明f明)存在零点”是“2 W/T的必要而不充分条件,(3)令函数/(%) =比2+% + 4, % e 0, 2的值域为凡g(%) = 2a %, % e o, 2的值域4 = 2a 2, 2a.若函数/(%)有性质P(a),则 有对 0, 2, Bx2 G 0, 2,使得/(%2)= 2a - 成立，所以F = 4分情况讨论t的范围，从而求出t 的取值.【小问1详解】函数/(%) = 2、不具有性质P(0) .理由如下：对于a = 0, %i = l，因为胃 0,

7、x2ER,所以不存在%2ER满足包吟所以函数/(%) = 2%不具有性质P(0).函数/(%) = log2x, % e (o, 1)具有性质P(o),理由如下：对于V%1W(O, 1),取2 = 2一%，则犯(0，1)因为%l+Qg2%2 _ X1-X1 = 0 , 22所以函数/(%) = og2%，X G(0, 1)具有性质P(0).【小问2详解】必要而不充分理由如下：若/(%)存在零点，令/(%) = 3%-1, %eo, 1,则/(9 =。因为V%1CO, 1,取2 = 1则26 白1，且红等=笔口=1.所以/(%)具有性质P (1)，但20, 1.若2 6 0,因为/(%)具有性质

8、P(1),取= 2,则存在2 e。使得出户=出磬=1. 乙乙所以/(%2)=。，即/(%)存在零点2.综上可知，“/(%)存在零点”是“2 e ZT的必要而不充分条件.【小问3详解】记函数/(%) = t/+ % + % % 6 0, 2的值域为F,函数g(x) = 2a-x, % 6 0, 2的值域4 =2a 2 9 2q.因为存在唯一的实数a,使得函数/(%)=1产+% + 4, xe 0, 2有性质P(a),即存在唯一的实数a,对Vxt G 0, 2,三不 。，2,使得/(%2)= 2a /成立，所以F = A当t = 0时，/(%) = %+ 4, % e 0, 2,其值域尸=4, 6

9、.由 F = 4 得Q = 3.当一亍工如且tHO时，/(%) = t%2 + % + 4, % G 0, 2是增函数，所以其值域产=4, 4t + 6.由尸=4得t = 0,舍去.当一时，/(x) = tx2 + x + 4, X 6 O, 2的最大值为/(一盘)=4一,最小值为4,所以/(%)的值域尸=14, 4 一二. 4c.由F = 4得t = - J,舍去. O当一手寸,/（x） = tx2 + % + 4, % G O, 2的最大值为f （一t）=4 卷，最小值为f （2） =4t + 6, 所以/（%）的值域F =依+ 6, 4-1由尸=A得t = 土色（舍去二二i血）. 442

10、0. 2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖,屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青 蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生 命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青 蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没 有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无 效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以 发挥作用.已知青蒿

11、素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即 药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即 进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降 到一个不会影响人体机能的非负浓度值,人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用，表 示时间（单位：h）,在1 = 0时人体服用青蒿素药片；用。表示青蒿素的血药浓度（单位：kg/ml） .根据青 蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是1的函数.已知青蒿素一般会在L5小时达到需要血药浓度的峰值.请 根据以上描述完成下列问题：（

12、1）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是.司小（0.2t,0t 1,5（t2 + t, 0 t 15CQ）= 21三;1.5wt 4.5CQ)=0.3ef - 0.3,0 t 1.50.31n(2.5)，15r0.21n（t + 1）,0 t 1 5（2）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0. hg/m则称青蒿素药片是合格的.基于（1） 中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片;（填“合格不合格”）（3）记血药浓度的峰值为Cmax，当CNqCmax时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于。）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一

13、个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.【答案】（1）（2）合格（3）（4钓卜【解析】【分析】（I）先分析函数C（t）同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证;（2）作差比较进行判断；（3） 4C（t） 0.11n2.5,分段解不等式，再取并集即可求解.【小问1详解】解：根据题意，得函数CQ）同时满足以下条件：4函数CQ）在0,1.5）上单调递增，在15+8）上单调递减；A当t = l.5时，函数CQ）取得最大值；函数CQ）的最小值非负；C函数CQ）是一个连续变化的函数，不会发生骤变.,比拼f 0.2t, 0 W t 1.5选择：C=o 75 - 0.3心1.5 因为C（3） =

14、0.75 - 0.3 x 3 = 0.15不满足条件 B,所以不能描述青蒿素血药浓度变化过程；工 / + %, 0 t 15 55选择：C（t） =911,1.5 M t 4.52当owe v 15 时，c（t）= -lt2 + 2 = _iA +匕k 7555 V 575当 = 1时，函数CQ）取得最大值，不满足条件以所以不能描述青蒿素血药浓度变化过程；f0.3? - 0.3,0 t 0.3 x (215 - 1) = 0.3 x (2V2 - 1) 0.54,0.31n(2.5) , 0.31ne 八 o=0.2, 1.51.5所以不满足条件c,所以不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择：C

15、（t）=选择：C（t）=0.21n(t + 1), 0 t 1,5 t因为 0.21n(1.5 + 1) = 0.21n2.5 = -31n(2-5且当时,C(t) 0,所以C(t)同时满足三个条件，即能描述青蒿素血药浓度变化过程；综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是.【小问2详解】f0.21n(t + 1), 0 t 0, 24e即血药浓度的峰值大于0hg/ml，所以此青蒿素药片合格，即答案为：合格；【小问3详解】解：当0 t 0.11n2.5,所以ln( +1)2之ln2.5,即 + 1)2之三， 2即2t2 + 4t-3o,解得t 三包或t 士蛆， -2-2即二回4tL

16、5; 2当之1.5时，令”屿 20,lln2.5, t则:21,解得即1.5 t 0, 则J即3ab ab b a即选项B错误；对于C：因为a b 0且函数y = 2%是增函数，所以2a 1 一bl,又因为函数y = In%在(0,+8)上单调递增，所以ln(l - a) ln(l - b),即选项D正确 故选：D.4.已知函数/(%)=目 log2k在下列区间中，包含/(%)零点的区间是() XA. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)【答案】C【解析】【分析】根据导数求出函数在区间上单调性，然后判断零点区间.【详解】解：根据题意可知:和-10g2%在(。,+8

17、)上是单调递减函数/(%)在(0, +8)上单调递减而/=3-0 = 3031/(2)=-1=-0/(3) = l-log230有函数的零点定理可知，/(%)零点的区间为(2, 3).故选：C5. 4x100米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏， 每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4 x 100米接力赛，教练组根据 训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是Pi，P2, P3,假设三次交接 棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是()A. P1P2P3B 1 P1P2P3C

18、.(1 - Pl)(l P2)(l P3)D. 1 (1 - Pi)(l 。2)(1 P3)【答案】c【解析】【分析】根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：1-Pi，l-P2，l-P3,则该组合不失误的概率为： （1 一。1）（1 一口2）（1 3）.故选：c.6 .下列函数中，在R上为增函数的是（）A. y = 2-xB. y = x2D. y = Igx【答案】c【解析】【分析】对于A, y = 2T = G）;在R上是减函数；对于B,、= %2在（_8, 0）上是减函数，在（0, +00） 上是增函数；对于C,当X 2 0时，y =

19、 2%是增函数，当0时，y = %是增函数；对于D, y = 1g%的定义 域是（0, + oo）.【详解】解：对于A, y = 2T = C）,在R上是减函数，故A不正确；对于B, 丫 = /在（_8, 0）上是减函数，在（0, +8）上是增函数，故B不正确；对于C,当之。时，y = 2%是增函数，当2八以Q 10 Q 当且仅当等=詈，即Q = 100时，等号成立./(Q)的最小值是60.故选：B.逻辑斯蒂函数/(%)= 占二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类. 下列关于函数/(%)的说法错误的是()A.函数/(%)的图象关于点(0,/(0)对称.函数/(%)的

20、值域为(0, 1)C.不等式/(%) 押解集是(0,+8)D.存在实数a,使得关于x的方程/(%) - a = 0有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】A选项，代入/(%),计算/ (%) + f (x) = 1和f (0) = %可得对称性；B选项，由0-、0和分式函数 值域可求出结果；CD选项，判断函数/(%)的单调性即可判断正误./(%)+/(-%) = 1,所以函数/(%)的图象关于点【详解】解：对于A： /(%)=赤=三, /(-)=击,(0,)对称，又/(0)=5所以函数/(%)的图象关于点(0,/(0)对称，故A正确;对于B： /(%)= 士，易知-%0,所以1 +已一%

21、1，则占 6(01)，即函数)的值域为(0,1), i+ei+e故B正确； 对于C：由/(%)= 占容易判断，函数/(%)在R上单调递增，且f (0)=j所以不等式/(%)?的解集是(0,+co),故 C 正确；对于D：因为函数/(%)在R上单调递增，所以方程f (%)-Q = 0不可能有两个不相等的实数根，故D错误.故选：D.8 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是()A.甲得分的极差大于乙得分的极差A.甲得分的极差大于乙得分的极差54577669B.甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数C.甲得分的平均数小于乙得分的平均数D.甲得分的标准差小于

22、乙得分的标准差【答案】B【解析】【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解.【详解】乙组数据最大值29,最小值5,极差24,甲组最大值小于29,最小值大于5,所以A选项说法错 误；甲得分的75%分位数是20,乙得分的75%分位数17,所以B选项说法正确；甲组具体数据不易看出，不能判断C选项；乙组数据更集中，标准差更小，所以D选项错误故选：B.已知函数/(%) = 2/+ b% + c (b, c为实数),/(一10) = f(12).若方程/(%) = 0有两个正实数根%1，次，则;+ 9的最小值是()1A.4B.2C.lD.-【答案】B【解析】【分析】由/(10) = /(分)求得b = -4

23、,再由方程/(%) = 0有两个正实数根%1，%2,利用根的分布得到0 c0，解得0 Vc 42,LL 1 I 1 xl+x2 24、。所以云+若=三百= f = 2 2,当c=2时，等号成立，所以其最小值是2,故选：B二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.H.函数/(%)=1Ogo.5(% 一 1)的定义域是.【答案】(L+8)【解析】【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解:要使函数/(%) = log0,5(x - 1)有意义就要% -10,即% 1,所以函数/=logo* - 1)的 定义域是(L+8).故答案为：(1,+8).已知/(%)是定义域为R的奇函数，且当

24、0时，/(%) = Inx,则/(一工)的值是.【答案】1【解析】【分析】首先根据% 0时/(%)的解析式求出/(3) = -1,然后再根据函数的奇偶性即可求出答案.【详解】因为当 0时，/(%) = Inx,所以/ G) = In, =-1,又因为/是定义域为R的奇函数，所以/(一三)=-/(-) = 1. ee故答案为：1.12 .定义域为R,值域为(一8,1)的一个减函数是.【答案】/(x) = 1 2、(答案不唯一)【解析】【分析】利用基本初等函数的性质可知满足要求的函数可以是/(%) = 1 -其中a 1.【详解】因为/(%) = 2%的定义域为R,是增函数，且值域为(0,+8),所

25、以/(%) = 一2%的定义域为R,是减函数，且值域为(-8,0),则/(%) = 1一2%的定义域为R,是减函数，且值域为(8,1),所以定义域为R,值域为(-8,1)的一个减函数是f(%) = 1 - 2X.故答案为：/(%) = 1 - 2X (答案不唯一).13 .己知函数/(%) = |10g5第| .若/(%) V/(2%),则x的取值范围是.【答案】(L2)【解析】【分析】结合函数的定义域求出工的范围，分 = 1, 0 V%1以及1 VXV2二种情况进行讨论即可.【详解】因为/(%) = |log5%|的定义域为(。,+8),所以即0% 1,则f(%) Vf(2-)等价于|log

26、5%| V |log5(2-)|,所以一k)g5%VIog5(2 - %),因此0 V log5(2 - ) + logs%,即0vlog5 f(2 -x)x),所以 1V(2 -因此,-2% +l0,方程无解；当1V%V2时,0 2 - % (2-)%，因此%2-2% +1 0,即第 H 1,则1 0且awl).给出下列四个结论： ax,x 1存在实数m使得/(%)有最小值；对任意实数Q (。0且。01), /(%)都不是R上的减函数；存在实数m使得/(%)的值域为R；若a 3,则存在& e (0,+co),使得/(&) = /(一%o).其中所有正确结论的序号是.【答案】【解析】【分析】通

27、过举反例判断.，利用分段函数的单调性判断，求出y = (2-a)x关于y轴的对称函数为、=(a - 2)x,利用y = (a- 2)%与尸必一】的图像在(1,+8)上有交点判断.【详解】当a = 2时，/(%) =0,% 1当% 1时，2%一1 1,所以/(%)有最小值0,正确;a 2=OVa VI,无解，所以正确;a 1(2 - a 0若/(%)是R上的减函数，贝10 a a1-1 = 1当0 V q 1时,当0 V q 1时,值域为(0,1),而此时y = (2 a)x单增，最大值为2 a,所以函数/(%)值域不为R；当lVa2时，y = (2-a)x单减，最小值为2 - a, y = a

28、xr 单增，且所以函数/(%)值域不为R,综上错误；又y = (2 - a)x关于y轴的对称函数为y = (a - 2)%,若a 3,则q - 2 1 = a1-1 = 1,但指数函数y =Q“i的增长速度快于函数y = (a-2)%的增长速度,所以必存在10 6(1,+8),使得(0-2)& =谟。t,即/(&)=/(&)成立，所以正确.故答案为：三,解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16 .已知集合4 = xx2 2% 3 0, B = xx - 4a 0得 3.所以4 = (8, - 1) U(3, + 8).当a = 1时，B = (-oo, 4.所以A

29、nB = (oo, 1)U(3, 4.【小问2详解】由题意知B = (-8, 4a.又4 = (-8, - 1) U(3, + oo),因为4UB = R,所以4az 3.所以4所以实数a的取值范围是陈，+8).17.已知函数/(%)=标+6。一%(。0且。工1),再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知.(1)判断函数/(%)的奇偶性，说明理由；(2)判断函数/(%)在(0,+8)上的单调性，并用单调性定义证明；(3)若/(|血|一3)不大于匕/(2),直接写出实数机的取值范围.条件：Q1, b = 1；条件：OVaVl, b = -1.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【

30、答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 (3)答案见解析【解析】【分析】(1)定义域均为R,代入/(-%)化简可得出与f(%)的关系，从而判断奇偶性；(2)利用定义任取与，X2 6(0, +8),且%1 1, b = 1.函数/(%)是偶函数，理由如下：/(%)的定义域为H,对任意 eR,则一 e R.因为/(一%) =。一 + ax = /(%),所以函数/(%)是偶函数.选择条件：ova 1, b = 1./(%)在(0, +8)上是增函数.任取第1，%2 (，+8),且第10,因为a 1,所以 a%VQ%2,所以/(/)-/(%2)= Q%1 +。一%-(。句 + af)(J ) axi - ax2/=(axi - a久2). a：；： 0,即/(%i) /(%2)所以f (%)在(o，+ 8)上是增函数.选择条件：ova 1, b = -1./(%)在(0, +8)上减函数.任取1，x2 G(0, + oo),且 aX2 0.所以f (%1) /(%2)= Q1 -。一1 (。2 Q一%2)