第13讲 . 复数的综合应用.docx

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1、2、设复平面上一个正方形的四个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程 x4 + px3+qx2 + rx + s = 0的四个根，求这个正方形面积的最小值解析：因为在正方形上，所以为复数方程（X-。）4=人的解，半径为蚣打开对比易知为整数，最小的半径为1,可以找到/ri即可5、已知复数Z满足1121+10力99+10反11=0,求证：|Z|=1解析：先降次数再说|Z99 |=| TSZ|,设2 =+A1 lz + 10z,99l , 11-10/z ,1121 + 220 + 100(/+/72)z = Illz + lOz Vl21(2+2) + 220Z? + 100然后讨论/ +大于

2、1和小于最后都得矛盾10、设非零复数4*2/34/5为复数范围内的等比数列，满足Zj+Z. + Z. + Z =4(+ + + + ) = 5 ,其中 s 为实数，且2S2,求 Z| z2 z3 z4 z5证：4*2*3,24/5在复平面上对应的点位于同一圆周上证明：回归基本元4(1 + 4 + /+43+夕4)=土幺土吗立土Ql = sz】q解得(4)( + q + q2+g3+g4)= 0(1)若 l + q + 42+/+q4=0,得证4(2) Z = 0 ,即 Z3 = +2z、q所以-H-1 + q + q2 =,即(I- q)2 HQ -H1q- qZ3 q qJ1、2_S511l、2/9(cj ) =1， 所以一W(- q -) W -q2z344 q24 0 FgWl 或一24 FqW1qqq- r(cos + zsin),由一+ q为实数，所以r=1, |q|=1得证 q