专题7 复数概念与运算.docx

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1、专题7复数概念与运算知识点一复数的有关概念.复数(1)定义：我们把形如a+6i(a，R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足i2=.表示方法：亚数通常用字母z表示，即立妇省回),其中。叫做好数z的实部，叫做复:数z的虚 部.1 .复数集(1)定义：全体更数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.知识点二复数的分类.复数 z=a+Z?i(a, Z?R)(实数S=0),4纯虚数4 = 0,虚数SWO)I I非纯虚数“wo.1 .复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系知识点三复数相等的充要条件设 a, b, c, 4 都是实数，则 a+/?i=c+dia=c 且 b=d, +

2、历=004=3=0.【例1】下列命题：若则(a+l)i是纯虚数；若a, bR,且。匕,则a+ib+i；若，-4) +，+ 31+2是纯虚数，则实数工=2；实数集是复数集的真子集. 其中正确的是()A.B.C.D.厂6【例2】当初为何实数时，复数z= /“I? +(户一2加一15凡 是虚数：(2)是纯虚数.【例3】（2022 乙卷）设（l + 2i）a +）= 2i,其中“，为实数，则（ ）A. a = l, /? = 1B. a = l, b = C. a = -1, b = 1 D. t/ = -1 b =知识点三复平面实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序

3、实数对为(0.0),它所确 定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.知识点四复数的几何意义.复数z=a+hi(m b R) 一一对应复平面内的点Z(a, h).1 .复数z=a+/?i(m R)对应平面向最龙.知识点五复数的模.定义：向量应的模叫做复数z=a+历3, 6WR)的模.1 .记法：复数z=a+万的模记为团或|a+|.2 .公式：|z| = |tz+bi =yJa2-b2.【例4】(2021 上海)已知z = l-3i，则|三一，|=.知识点六共姬复数.定义：当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共短复数.虚部不等于0的两个 共枕复数也叫共枕虚数.1 .表示：z

4、的共挽复数用T表示，即若z=a+历(a, bR),则一历.【例5】(2022上海)已知z = l + i (其中i为虚数单位)，则25 =.【例 6】(2021 乙卷)设2(z + 5) + 3(z-习= 4 + 6i,则 z =()A. 1-2/B. + 2iC. 1+zD. 1-z【例7】(2023多选安徽月考)已知复数z的共桅复数记为5,对于任意的两个复数4，z2,与下列结论正确的是( )A. zl-z2=zl-z2B. zi+z2=zi+z2C. zi-z2zl-z2C. zi-z2zl-z2D. |z,-z2+z21知识点七复数与复平面内的向量的关系(1)已知M(l,3), N(4,

5、 -1),P(0,2)，。(一4,0),。为复平面的原点，试写出曲，ON, OP,两所 表示的复数：(2)已知复数1, -1+2 - 3i,67i,在复平面内画出这些复数对应的向量；(3)在复平面内的长方形A8CO的四个顶点中，点A, B,。对应的复数分别是2+3i,3 + 2i, -231求点。 对应的复数.知识点八复数加法与减法的运算法则.设 zi=a+bi, Z2=c+di(a, h, c, dR)是任意两个复数,则(I )z + Z2 = (a+c) + S+t/)i;(2)zi-Z2=(- c) + (/l 叶i.1 .对任意 Zi，Z2 Z3C,有(1)Z1+ Z2 = Z2 +

6、zi；(2)(Z1 + Z2)+ Z3 = Z1+(Z2 + Z3).知识点九复数加减法的几何意义如图，设复数Z1, Z2对应向量分别为龙OZ2,四边形OZ|ZZ2为平行四边形，向最近与复数Zl+Z2对应, 向量Z2Z1与复数Z1Z2对应.|Z一刻(Z, 20 C)的几何意义是复平面内点Z到点的距离.【例9】(2022多选鼓楼区月考)设z为复数，则下列结论一定成立的是()A. z2=|z|2B. |z|2=z-zC.若|z|=l,则|z + i|的最大值为2 D.若z + 5=0,则z是纯虚数【例1()】(2022多选香坊区月考)下列关于复数的四个命题正确的是()A.若 |z|=2,则 z=4

7、B.若z(2 +/)= 3 + 则z的共轲复数的虚部为1C.若|z + l-4=l,则的最大值为3D.若复数 Z , Z2满足 | 4 1= 2 , | Z2 |= 2 , z( + z2 = 1 + 73/ ,则 | 4-z? |= 2G【例II】（2022 多选营口开学）已知复数为满足z：+2|zJ=0,复数z2满足I z2+2|=夜，则|zZzl的值可能为（）A. 1B.夜C. 2D. 4及知识点十复数乘法的运算法则和运算律1 .复数的乘法法则设 zi=a+i, Z2=c+Ji（。，b, c, dR）是任意两个复数，则 zi2=（。+5）（。+di）=（oc/? b = 3C. a =

8、Z? = 3D.2. (2022甲卷)若z = l+i,则|( + 32|=(B. 4夜C. 4夜D. 2石D.3. (2022新高考H) (2+ 2/)(1-2/) = (A. -2 + 4/A. -2 + 4/B. -2-4/C. 6+2,D.6-275. （2022 乙卷）己知z = l-2i,且z +应+。= 0,其中。，为实数,5. （2022 乙卷）己知z = l-2i,且z +应+。= 0,其中。，为实数,则（）A. a = l, b = -2 B. a = -1, b = 2A. a = l, b = -2 B. a = -1, b = 2C. 4 = 1, b = 2D. a

9、 = h = -27.A. -2B. -1C. 1D. 2(2020新课标11)(1-炉=()A. -4B. 4C.D. 4/6.(2022新高考 I )若*l-z) = l,则 z + S = (8.(2020新课标HI)若5(l + i) = l i,B. 1 + ZB. 1 + ZC.D. ii=9. (2020新课标 H)设复数4,z:满足 |zj=|z2l=2, z,+z2=/3 + /,则 |马（2022多选栖霞区期中）则下列命题中正确的是（）A.若复数Z满足则zeR B.若Z为复数，则z2=jz/必成立 ZC.若复数 z = !则 2年=一1 D.若复数 ZI, Z,则 I Z-

10、zj=| Z Z2 | l + i10. （2022多选南关区期末）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（）A.若x, yC ,则x+.yi = l + i的充要条件是x=y = 1 B. (c/+ l)i(a e R)是纯虚数C.若 Z；+Z；=O,则 Z1=Z2=。D.若复数 ZZ2，则 4，Z2eR（2022多选潞州区期末）设复数z , z2满足|4|=匕|=&, z,+z2=l+/,则下列结论中正确的是（ ）A. z + Z2 的共扰复数为 l-iB. （z,+z2）,0=32C.若马 + z2是方程 f+g + = 0的根，则7 = 1D. z-z2=46（2022多选湖北月考）已知

11、i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A. 3+iv4+iB. i + V+iWoC.若z = （2 + 3if,则复平面内，对应的点位于第二象限D.已知复数z满足|z-l + =|z + 2|,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线（2022 多选抚顺期末）设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O, i为虚数单位，则下列说法正 确的是（）A.设 z = !巴，则 |z|=不 1-2/B.若点Z的坐标为（T/），则5对应的点在第三象限C.若复数z = a + bi（a,bwR）,则z为纯虚数的充要条件是。=0D.若1冽|z| V2,则点Z的集合所构成的图形的面积为产（2022多选齐齐哈尔期末）设

12、复数z产百+ i, z2=x+yi（x,yeR）, z, , z?对应的向量分别为OZ；,。/；。 为坐标原点），则（ ）A. | 2| |= 2B.若 OZ； / /0Z；,则岛+），= 0C.若OZjOZ；,则乎2=0 D.若|z2 + zJ,G，则|z22的最大值为36（2022多选枣庄期末）已知马=2- z?为复数，则（ ）A.存在唯一的入，使|2仔2|=5 B.存在唯一的Z2,使ZE? =5C.存在唯一的z2,使S+ z2 =4 D.存在唯一的z2，使ztz2 +Z +马=9（2022 多选湖北月考）已知复数4=1 +9为虚数单位）在复平面内对应的点为玲，z的共在复数在复平面内对应的

13、点为以，亚数Z在复平面内对应的点为尸，且复数2满足|2-1|=|2-4下列结论正确的是（A. EJ的坐标为A. EJ的坐标为B.点尸在一条直线上C.4在点尸的轨迹上D.的最小值为友（2022 多选鼓楼区三模）设复数z = 当变化时，下列结论正确的是（）a + 2iA. |z|=5|恒成立B. z可能是纯虚数C. z +可能是实数D. |z|的最大值为！Z2（2022多选鲤城区期中）已知复数马=2-2d为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z2满足z2-i=,则下列结论正确的是（）A. 4点在复平面上的坐标为（2,-2）B. = 2 + 2/C. |Z1Z2l的最大值为而+ 1 D. |z?|的最小值为1