2023年初二平行四边形的性质和判定知识点.docx

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1、初二平行四边形的性质和鉴定专题撇觎慨基本坤,1 .平行四边形的定义(1)定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义有两层意思：是四边形；两组对边分别平行,这两个条件缺一不 可.(2)表达方法：平行四边形用符号“O”表达.平行四边形记作“匚ABCD”，读作“平行 四边形ABC。”.(3)平行四边形的基本元素:边、角、对角线. 卷直平行四边形的定义的作.用：平行四边形的定义既是性质，又是鉴定方法.由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形.【例1】对于平行四边形ANCD,AC与50相交于点。，下列说法对的的是(

2、).A,平行四边形A6CD表达为“口 A C DB”B.平行四边形ABC。表达为“A5C。”CAD/ BC, AB/CDD.对角线为AC, B0解析:两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选 C.答案：c2.平行四边形的性质(1 )平行四边形的对边平行且相等.例如：如图所示，在口ABCD中， AB1CDAD1BC.4另规律由上述，性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等.如图2,直线4/2. AB, CO是夹在直线儿/2间的平行线段，则四边形A SCO是平行四边形，故A8且CD(2)平行四边形的对角相等，邻角互补.例如:如图所示，在UA8CO中,NA3C=NC

3、Dh, ABA D=ZB CD,ZAB C+180, ZABC+ Z BCD=1S 0 , ZBCD+Z C DA =1 BAD+ZCDA= 1 8 0.DE PB ? C解:如图，作。GBC交AB于点G,由于AABC为等边三角形，所以NA=N8=NC=60Q.4gdE PB f C所以NA=NZ 3。=/BC), BC=6 cm,点P 从A点以cm/s的速度向。点出发,同时点。从。点以2 cm/s的速度向3点出发，设 运动时间为秒，问/为什么值时,四边形AGQP是平行四边形？B Q C解：由题意知,A夕二%。=2右 则5。=6-2若四边形/8QP为平行四边形，由于AO3c只需/P=SQ即可，

4、即方=6-2%,解得，=2.答:当方为2秒时,四边形AB 0P是平行四边形.平行四边形的对角线互相平分.例如：如图所示，在CA8C 中，0A =OC,OB=OD.B -国口A DB C图,4y/B 口 cF c图(4 )通过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等,并且该直线平 分平行四边形的面积.例如：如图所示，在匚工43co中,E尸通过对角线的交点0,与A 和BC分别交于点E, F,则0E=0F,且S四边形/welS四边形例2广M 6 CD的周长为30 cm,它的对角线AC和3。交于。，且A。夕的周长 比石0。的周长大5 cm,求AG,的长.DC0AB分析：依题意画出图形，如图

5、,ZVIOB的周长比日。C的周长大5 cm,即/I0+A B+BO-(B。+。+3。=5( c m).由于。4 =。，。8为公共边，所以 A曰一5C = 5(cm).30由 4?+8C=15(cm)可求 A3, BC,再由平行四边形的对边相等得力。的长.解:A03的周长比3。的周长大5 cm,A A 0+A B+B O-BO+OC+ BQ=5 (cm).四边形A BCD是平行四边形，：.AO=OC, ：.AB- C=5(cm).口/BC。的周长为 30 cm, .AB+BC=15(cm).错误!得错误！/.AB=10 cm, AD = BC=5 c m.3 .平行四边形的鉴定(1 )方法一：(

6、定义鉴定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义是鉴定平行四边形的主线方法，也是其他鉴定方法的基础.关于 边、角、对角线方面尚有以下鉴定定理.(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图，连接80,由AO=CD,可证明43。之CO氏所以BD,/CBD=/ADB,从而得到4) 3c .由定义得到四边形A3为平行四边 形.DAB其推理形式为：9：AB=DCAD= BC,：.四边形ABC。是平行四边形.(3)方法三:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.如图，由NA=C+ZD= 3 60 ,可得NB+NC=18 0。, NA+N6=18 0。.从而得到 AN /) C

7、, AD/ BC.由定义得到四边形ABC。为平行四边形，其推理形式为：V ZA=ZC, /B=/D, 四边形ABC。是平行四边形.(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.其推理形式为：如图，V OA=OC, OB=OD,DCoAB 四边形ABC。是平行四边形.(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.其推理形式为：DCA 如图丁力。3。，ad=bc9工四边形/BCD是平行四边形. 卷重百(1)鉴定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边 相等的四边形不一定是平行四边形.例3已知,如图，在四边形48。中,AC与6。相交于点。48。/。=。0.四边 形

8、ABCD是平行四边形，请说明理由.4D0解：由于A3CQ,所以又由于 AO=C。，/AOB=/COD,所以也CO。.所以8。= 。.所以四边形A3C。是平行四边形.4 .三角形的中位线(1 )定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.(2 )性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.等篌区(1) 一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和 数量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的 线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段.【例4】如图所示，在ABC中，点 E,尸分别是AB, BCCA的中

9、点，若5c 的周长为10 cm,则刀E尸的周长是 c m.4D FB E C.解析：由三角形的“中位线性质得，DF=f (1,2) BC, 尸二错误!A3,。石=错误!AC,所以的周长x 10=5(cm).答案：55 .两条平行线间的距离定义:两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距 离.如图所示，点A在直线上，过A点作AC_L 6,垂足为C,则线段AC的长是点 A到直线的距离，也是两条平行线。，人之间的距离.A B卷规律(1 )如图,过直线a上点日作垂足为D,则线段3。的长也是两条平行 线a.b之间的距离.于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质:平行线间

10、的距离处处 相等.(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置拟定期，它们之间的 距离也随之拟定，它不随垂线段的位置的改变而改变,是一个定值.例5如图所示，假如/1/，那么的。的面积与05C的面积相等吗?由此你还能得出哪些结论?BC 2解：ABC的面积与DBC的面积相等.由于/i心，所以它们之间的距离是一个定值.所以8 C与。8C是同底等高的两个三角形.所以Sabc=Sdbc.结论/i上任意一点与 氏C连接，构成三角形的面积都等于43。的面积，这样的三角 形有无数个.小电呼总基本翼力._6 .平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用非常广泛，可以运用它说明线段相等、证明线段平

11、行、求角的 度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等.对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30。角的直角三角形、三角形的 面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键.【例6】如图，UA3C。的对角线相交于点。，过O作直线EF并与线段A&的 反向延长线交于E F, OE与O厂是否相等，阐述你的理由.D CFOE A B解：OE与。尸相等.理由：四边形CO是平行四边形，：.BE/DF,OB=OD,：.ZFDO=ZEBO, ZE=ZF.:AB0E 9 XDOF.：.OE=OF.7 .平行四.边形的鉴定的应用纯熟掌握鉴定定理是平行四边形的鉴定的关键.已学了平行

12、四边形的五种鉴定方法，记 忆时要注意技巧,其中三种方法都与边有关：(1) 一种关于对边的位置关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)；一种关于对边的数量关系（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；（3）一种关于对边的数量与位置关系（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.平行四边形的鉴定方法是此后解决平行四边形问题的基础知识，应当纯熟掌握.鉴定平行四边形的一般思绪：考虑对边关系:证明两组对边分别平行;或两组对边,分别相等；或一组对边平行且相 等；考虑对角关系：证明两组对角分别相等；考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分.【例7】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出

13、四边形A8 CD是平行四边形，并予以证明.（写出一种即可）关系:力3=8,NA=NC,N3+NC= 1 80.已知:在四边形ABC,中，,;求证:四边形是平行四边形.分析：选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；选用关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形.解：已知:,，均可，其余均不可以.举例如下：已知:在四边形43co中，ND BC,NA=NC,求证:四边形A8CO是平行四边形.证明：/Q3C, AZ/l + Z=180o.丁 N / = NNC+ N 日=

14、1 8 0.：.AB/CD.四边形/BCD是平行四边形.8 .平行四边形的性质和鉴定的综合应用.平行四边形的性质和鉴定的应用重要有以下几种情况：（1）直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系;（2 ）鉴定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；（3）综合运用:先鉴定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些 问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再鉴定一个四边,形是平行四 边形.【例8】如图所示，在UM/C。中,E,尸分别是力D8C上的点，且AE=C尸AF与石 E交于G, DF与CE交

15、于H,连接试问石厂与是否互相平分?为什么？A EDG/BF C解：Eg GH互相平分.理由:在口/BCD中，: ADBC, ae= CF,:,AE工cf.。且3立四边形AFCE, RE。尸都是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形）A AF/CE, BE/DF.：.四边形EGFH是平行四边形.（平行四边形的定义）:.EF与GH互相平分.9 .三角形的中位线性质的应用三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系,并且还揭示了线段间的数量关系, 借助三角形中位线的性质可以进行几何求值（计算角度、求线段的长度）、证明（证明线段 相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等

16、）、作图，且能解决生活实际 问题.技巧应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知 条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才干运用此定理.【例9】在716c中，AB=2, A C= 0 , 8C= 9 ,4。是夕。边上的高.WAABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点。重合，折痕为则/尸的周长为（）./ = E |；FB D C 13 D(A)CB.10.5 C. 1 1解析：:E。尸是折叠而形成的图形， E。尸名 E AF. ：.AA EF= /DEF.VAD是3C边上的高，由折叠可知ZOLEE：.EF/CB, ：. /AEF= /B,/BDE=/DEF.：.

17、Z B=ZBD E.：, BE=DE= A E.为的中点.同理点/是/C的中点./是ABC的中位线.的周长为必尸的周长，即 4+EFh4b=gx CAB+BC-AC)=-X (12+9+1 0) =15.5.答案:D图则竦濯叫、如生感倏C空区生10.平行四边形的性质探究题平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、 对角线互相平分几方面，因此，由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角.所以，要 学会运用对比的方法对的区分平行四边形的鉴定定理和性质定理，对的地运用相关的结论解 决相关的问题.感技巧平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和鉴定，构造出平行 四边形.【例10如图，已知等边/BC的边长为a , P是ABC内一点，尸。AB, PE5C,P/AC,点DJF分别在AC, AB, 8C上,试探索+ PE+P/与的关系.