备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题21 三角函数的图象和性质.doc

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1、1专题专题 2121 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数xAysinRx的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质： （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的

2、距离也是其函数的半个周期；http:/ x 轴的交点间的距离为其函数的41个周期.1、正弦函数sinyx的性质（1）定义域：xR （2）值域：1,1y （3）周期：2T （4）对称轴（最值点）：2xkkZ （5）对称中心（零点）：,0kkZ，其中0,0是对称中心，故sinyx也是奇函数（6）单调增区间：2,2,22kkkZ单调减区间：32,2,22kkkZ2、余弦函数cosyx的性质（1）定义域：xR 2（2）值域：1,1y （3）周期：2T （4）对称轴（最值点）：xkkZ其中0x 是对称轴，故cosyx也是偶函数（5）对称中心（零点）：,02kkZ（6）单调增区间：2,2,kkkZ ,单调

3、减区间：2,2,kkkZ 3、正切函数tanyx的性质（1）定义域：|,2xx xkkZ（2）值域：yR （3）周期：T （4）对称中心：,02kkZ（5）零点：,0kkZ（6）单调增区间：,22kkkZ注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的x的值4、sinyx的性质：与正弦函数sinyx相比，其图像可以看做是由sinyx图像变换得到（x轴上方图像不变，下方图像沿x轴向上翻折） ，其性质可根据图像得到：（1）定义域：xR （2）值域：0,1y （3）周期：T 3（4）对称轴：2kxkZ （5）零点：xkkZ（6）单调增区间：,2kkkZ,单调减区间：,2kkk

4、Z5、sin0yAxA的性质：此类函数可视为正弦函数sinyx通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：（1）定义域：xR（2）值域：,yA A （3）周期：2T （4）对称轴（最值点） ，对称中心（零点） ，单调区间需通过换元计算换元计算所求。通常设tx，其中0，则函数变为sinyAt，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出t所满足的条件，然后将t还原为x再解出x的值（或范围）即可注：1、余弦函数也可看做sinyAx的形式，即cossin2yxx，所以其性质可通过计算得到。2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为

5、sinyAx，再求其性质【经典例题经典例题】例 1.【2017 课标 II，文 3】函数( )sin(2)3f xx 的最小正周期为（ ）A.4 B.2 C. D. 2 【答案】C4例 2.【2017 课标 3，理 6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线 x=8 3对称Cf(x+)的一个零点为 x=6Df(x)在(2,)单调递减【答案】D【解析】例 3. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是( )()= ( + )( 0)5函数的最小正周期是；()2函数在区间上是增函数；() 12, 6函数的图象关于直线对称；(

6、) = 12函数的图象可由函数的图象向左平移 个单位长度得到()()= 2 3A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】根据函数 f(x)=sin(x+)(0)的部分图象知，= ( )= ,T=，=2； 2 3 6 22 根据五点法画图知,2( )+=0,解得 = ； 6 3f(x)=sin(2x+ )； 3对于,函数 f(x)的最小正周期是 T=，错误；对于,x, 时,2x+ ,， 12 6 3 22 3f(x)在, 上是减函数，错误； 12 6对于,x=时,2x+ = ， 12 3 2函数 f(x)的图象关于直线 x=对称，正确； 12对于,由 f(x)=sin(2x+ )=

7、sin2(x+ )知， 3 6函数 f(x)的图象可由函数 g(x)=sin2x 的图象向左平移 个单位长度得到，错误； 6综上，正确的命题是.故选：C.例 4.【2017 天津，文理】设函数( )2sin()f xx，xR，其中0，| .若5()28f，6()08f，且( )f x的最小正周期大于2，则（A）2 3，12（B）2 3，12 （C）1 3，24 （D）1 3，24【答案】A 例 5.【2017 课标 II，理 14】函数 23sin3cos4f xxx（0,2x）的最大值是 .【答案】1【解析】【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二

8、次方程与二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.例 6. 已知函数 f(x)=cos-2sin xcos x.3(2 - 3)(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x时,f(x)- .- 4, 41 27【答案】（1）；（2）见解析.(2)证明因为- x , 4 4所以- 2x+.-10 分 6 35 6所以 sinsin=- .(2 + 3)(- 6)1 2所以当 x时,f(x)- ._14 分- 4, 41 2例 7. 设函数 23sin

9、coscosf xxxx（1）求 f x的最小正周期（2）当0,2x时，求函数 f x的最大值和最小值【答案】 （1） f x的最小正周期22T ；（2） f x的最大值是1 2，最小值是1.【解析】试题分析：（1）由二倍角公式将式子化简，再由周期的公式得到结果；（2）0,2x， 52,666x , 1sin 2,162x ，进而得到最值.解析： 23sin coscosf xxxx31cos2sin222xx8311sin2cos2222xx1sin 2,162x ，11sin 21,622x ，即 11,2f x ，当0,2x时， f x的最大值是1 2，最小值是1例 8.【2019 届浙

10、江省部分市学校高三上 9+1 联考】设函数 22sin 2sincos6f xxxx.（1）求 f x的单调递增区间；（2）若角A满足 1fA ， 3a ， ABC的面积为3 2，求bc的值.【答案】(1) ,63kk， kZ；(2) 3bc.【解析】试题分析：（1）函数解析式利用三角恒等变换化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可求出 f x的单调递增区间；（2）由 1fA 及 f x的9解析式求出A的值，再利用三角形面积公式及3a ，求出bc，然后根据余弦定理即可求出bc的值.试题解析：（1） 31sin2cos2cos222f xxxx 31si

11、n2cos2sin 2226xxx，令222262kxk， kZ，得63kxk， kZ.又222cos33bcbc，化简得233bcbc，则29bc3bc.例 9.【2019 届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知向量sin ,cos,2cos ,2cosaxxbxx，函数 1f xa b.（1）求 f x的对称中心；（2）求函数 f x在区间0,2 上的最大值和最小值，并求出x相应的值.【答案】 （1）,028kxkZ；（2）最大值为2，最小值为1.【解析】试题分析：（1）由 12sin 24f xa bx ，令2 4xkkZ，即可得对称中心；10（2）由0,2x，得32,444x ，进而

12、根据正弦函数的图象即可得最值.（2）由（1）得 sin2cos22sin 24f xxxx，因为0,2x，所以32,444x ，所以242x时，即3 8x， f x的最大值为2，当244x 时，即0x 时， f x的最小值为1.点睛：本题考查的知识点比较多，主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式及三角函数的最值，属于中档题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成2sinsinyaxbxc的形式利用配方法求最值；形如sin sinaxbycxd的可化为 sinxy的形式利用三角函数有界性求最值；sincosyaxbx型，可化为22sinyabx求最值 .本题是利用方法的思路解答的.例 10

13、 【2017 江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),0,.xxxab（1）若a ab b,求x的值；（2）记( )f x a b,求( )f x的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】 （1）5 6x （2）0x 时，取得最大值，为 3； 5 6x 时，取得最小值，为2 3.()()11【名师点睛】(1)向量平行：1221/ /abx yx y，/ / ,0,ab bab R , 1 11BAACOAOBOC (2)向量垂直：121200aba bx xy y ，(3)向量加减乘： 22 1212(,),| ,| |cos,abxxyyaaa baba b 【精选精练精选

14、精练】1函数sinyAx (0,)2的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（ ）12A. 4sin84yx B. 4sin84yxC. 4sin84yx D. 4sin84yx【答案】A点睛：本题主要考查利用sinyAx的图象特征，由函数sinyAx的部分图象求解析式，理解解析式中,A 的意义是正确解题的关键，属于中档题 A为振幅，有其控制最大、最小值， 控制周期，即2T ，通常通过图象我们可得2T和4T， 称为初象，通常解出A， 之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.2 【2019 届河北省衡水金卷一模】已知函数的图象向左平移个单位，()= 2( 0)(0 0, 0)(1)

15、.| = 2, =+ 2(2)由函数的周期 求, =2 .(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 ，一般用最高点或最低点求.3 【2019 届广东省佛山市高三检测（二） 】已知函数的图象在区间上不单调,则()= sin( 4)( 0)(1,2)的取值范围为( )A. B. C. D. (3 8, + )(3 8,34)(78, + )(3 8,78)(74, + )(3 4, + )【答案】B【解析】因为时， (1,2) 4 ( 4,2 4)14因此 的取值范围为(38,34) (78,74) (118,114) (4 + 38,4 + 34) ，选 B.= (38,34) (78, + )【

16、点睛】函数的性质 = ( + ) + ( 0, 0)(1).= + ，= (2)周期 =2 .(3)由 求对称轴 + = 2+ ( )(4)由求增区间; 2+ 2 + 2+ 2( )由求减区间 2+ 2 + 3 2+ 2( )4 【2019 届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考模拟（三） 】已知函数，若的最小值为 ，且，则() = 2( + )( 0,0 2)(1) = 2,(2) = 0|1 2|1 2(12) = 1的单调递增区间为（ ）()A. B. 1 6+ 2,5 6+ 2, 5 6+ 2,1 6+ 2, .C. D. 5 6+ 2,16+ 2, 1 6+ 2,7 6+

17、 2, 【答案】B【解析】分析：易知的最小值为 ，从而得 ，再将代入求解的，令|1 2| 4(12) = 1 = 3，即可得解. 2+ 2 + 3 2+ 2, 详解：由，且的最小值为 ，(1) = 2,(2) = 0|1 2|1 2可知：， 4=1 2 = 2 = 15又，则，(12) = 1 = 3+ 2, 点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.() = ( + )2 |求对称轴只需令，求解即可， + = 2+ 2, 求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解. + = , 5 【2019 届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模】函数的值域为_()= 1 3(2 + 6)【答案

18、】 2,4【解析】 1 (2 + 6) 1 3 3(2 + 6) 3 2 1 3(2 + 6) 4函数的值域为.()= 1 3(2 + 6) 2,46 【2019 届四川省雅安市高三下学期三诊】函数的图象在区间上的对称轴方程() =3(2 + 3)(0,2)为_【答案】 = 12167 【2019 届浙江省杭州市高三第二次检测】已知函数()= ( +7 4)+ ( 3 4)(）求的最小正周期和最大值;()()求函数的单调减区间 = ( )【答案】 （）最小正周期是，最大值是 2 （） 2(54 + 2，9 4 + 2)( )【解析】试题分析：利用两角和与差的余弦公式，二倍角的三角函数公式和辅助

19、角公式化简，即可得到(1)的最小正周期和最大值先求出，再求单调区间()(2)( ) = 2( 3 4)解析：（）因为，(74)(3 4）所以.()2(74） =- 2( +3 4)所以函的最小正周期是，最大值是 2()2（）因为，( ) = 2( 3 4)所以单调递减区间为(54 + 2，9 4 + 2)( )8 【浙江省台州中学 2019 届第三次统练】已知向量3sin,14xm , 2cos,cos44xxn ，记 f xm n (1) 若 1f x ，求cos3x的值；(2) 在锐角ABC 中，角, ,A B C 的对边分别是, , ,a b c 且满足2coscosacBbC ，求2f

20、A 的取值范围17【答案】 （1）1 2；(2) 31 3(, 22.点评：1.本题考查解三角形，利用正弦定理进行边角互化，继而求出B的值；高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是 “变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.9.【2019 届四川省雅安市高三下学期三诊】已知函数 .()= 22 + (76 2) 1( )（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；()18（2）在中，三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，若，且，()=1 2 + = 2 = 6求 的值.

21、【答案】 （1）最小正周期：，单调递增区间为：；（2）. = 3, + 6( ) = 2 3【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换可得，从而可得函数的最小正周期，() = (2 + 6)()再根据可解得单调增区间；（2）由，可得 的值，再根据2 2 2 + 6 2 + 2( )()=1 2及，即可解得，结合余弦定理，即可求得 的值. + = 2 = 6试题解析：（1） () = (76 2) 22 + 1 =1 22 +322 + 2 =1 22 +322.= (2 + 6)最小正周期：， =2 2= = 3又， 2 = + = =1 2 = 6， = 12 =1 2=( + )2 2 2

22、1 =42 2 24 1 =2 8 1. = 2 310 【2019 届北京市京源学校高三十月月考】 已知函数 23cossinsinf xxxx, xR.19（）求函数 f x的最大正周期与单调增区间值;（）求函数 f x在区间0,4 上的最大值与最小值.【答案】 （）最小正周期是: T , 36kkkZ；（）最小值为 0，最大值为 1.【解析】试题分析：（）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 f x 2sin 216x，故而可得周期，解不等式2 22 ,262kxkkZ可得单调增区间；（）根据x的范围，计算出26x的范围，结合正弦函数的性质可得其最值.试题解析：（） 22 3sin

23、 cos2sinf xxxx 3sin2cos21xx 312sin2cos2 ) 122xx（ 所以12sin 2126x,即02sin 2116x ,所以 01f x, 当且仅当0x 时, f x取最小值, min00f xf,当且仅当2 +62x时,即 6x 时 f x取最大值, max16f xf.2011.【2017 浙江，18】已知函数f（x）=sin2xcos2x2 3 sin x cos x（xR R）（）求)32(f的值（）求)(xf的最小正周期及单调递增区间【答案】 （）2；（）最小正周期为，单调递增区间为Zkkk32,6【解析】（）由xxx22sincos2cos与xxx

24、cossin22sin得)62sin(22sin32cos)(xxxxf【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数xAysin的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最21值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即xAysin，然后利用三角函数uAysin的性质求解12 【2019 届广西陆川县中学高三 12 月月考】已知函数 21cos3sincos2f xxxx.（）求函数 f x在0,的单调递减区间；（）在锐角ABC中，内角A， B， C，的对边分别为a， b， c，已知 1fA ， 2a ， sinsinbCaA，求ABC的面积.【答案】 （1）0,3 和5,6 ；（2）3.试题解析：（）由已知得 21cos3sin cos2f xxxx 1 cos231sin2sin 22226xxx .222262kxxkx， 63kxxkx又0,x函数 f x在0,的单调递减区间为0,3 和5,6 . （）由（1）知 sin 26f xx 锐角ABC， 02A 52666A又 sin 216fAA 262A，即3A.22又sinsinbCaA 24bca1sin32ABCSbcA.