备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题.doc

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1、1专题专题 5454 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题圆锥曲线的定点、定值、定直线问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存

2、在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.（一）所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.1、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量） ，然后进行化简，看能否得到一个常数.2、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽

3、量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）（2）利用条件找到k与过定点的曲线,0F x y 的联系，得到有关k与, x y的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点00,xy，使得无论k的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k与, x y的等式进行变形，直至易于找到00,xy.常见的变形方向如下： 若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“ k ”的形式，从而00,xy只需要先让括号内的部分为零即可 若等式为含k的分式， 00,xy

4、的取值一方面可以考虑使其分子为 0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择2容易观察到的形式）2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线） ，从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1lykxk，就应该能

5、够意识到11yk x，进而直线绕定点1, 1 旋转.（三）定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等【经典例题经典例题】例 1. 【2019 年理北京卷】已知抛物线 C：=2px 经过点 （1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，求证：为定值【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方

6、程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0） 由得依题意，解得 k0 或 0k13又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2） 从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由（I）知，所以所以为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，

7、到最后必定参数统消，定点、定值显现.例 2.【2019 届安徽省淮南市二模】已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为 6.(1)求该抛物线 的方程；(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由.【答案】 （1）；（2）过定点【解析】分析：（1）根据抛物线性质求出 p，得出抛物线方程；（2）设 MD 斜率为 k，联立方程组，求出4D，E 的坐标，得出直线 DE 的方程，从而得出结论详解：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，设，则，同理可得 ,所以直线的方程为 化简的 .直线过定点.点睛：（1）本题主要考查了抛物线的性质，考

8、查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.(2) 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数5法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式， （一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.例 3.如图，已知椭圆2222:10xyCabab的左右焦点为12,F F，其上顶点为A，已知12F AF

9、A是边长为 2 的正三角形（1）求椭圆C的方程（2）过点4,0Q 任作一动直线l交椭圆C于,M N两点，记MQQN ，若在线段MN上取一点R使得MRRN ，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由【答案】 （1）22 143xy（2）定直线1x 上.【解析】解：（1）由椭圆方程可得12,0 ,0 ,0,FcF cAb12F AFA为边长是 2 的三角形122221FFcc3OAb2224abc 22 143xy（2）设:4MNyk x设1122,M x yN xy， 11224,4,MQxyQNxy 由MQQN 可得：1 12 24444xxxx

10、 62222343264120kxk xk22121222326412,3434kkxxx xkk代入到可得：22222022264123224243434341243283434kk kkkxk kk R在定直线1x 上例 4.【衡水金卷】四省 2019 届高三第三次大联考】如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线：左侧的动点 作于点 ，的角平分线交 轴于点，且，记动点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）过点 作直线交曲线 于两点，点 在 上，且 轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由.7【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）设，由题意结合距离公式计算可得轨迹方程为

11、；（2）由已知可得直线的斜率不为 0，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，记，则，则直线的方程为，集合韦达定理化简可得直线的方程为，则直线过定点.可设直线的方程为，联立方程组消去得，恒成立，记，则，则，直线的斜率为，直线的方程为，即，8又，直线的方程为，直线过定点.例 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2 2的椭圆2222:10xyCabab的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于,P Q两点，直线,PA QA分别与y轴交于,M N两点，当直线PQ的斜率为2 2时，2 3PQ （1）求椭圆C的标准方程 （2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与PQ的斜率无关）？请证明

12、你的结论【答案】 （1）22 :142xyC；（2）以MN为直径的圆恒过2,0.【解析】解：（1）由2 2PQk可得：2:2PQ yx002,2P xx由对称性可知：132OPPQ22 0002322xxx2,1P 由2 2cea可得:2 :1:1a b c 9椭圆方程为222212xy bb代入2,1P，可得：222,4ba22 :142xyC202224422121kkykkk222244,21 21kkPkk从而222244,2121kkQkk22222244012121 822422121AQkk kkkkkk kk 1:22AQ yxk ，因为,M N是直线,PA QA与y轴的交点1

13、0,2,0,MkNk以MN为直径的圆的圆心为2210,2k k ，半径221 2krk圆方程为：2222 22121 22kkxykk，整理可得：222222 222221212121222kkkkxyyxyykkkk所以令0y ，解得2x 以MN为直径的圆恒过2,010例 6.已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为1 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60xy相切，过点4,0P且不垂直x轴的直线l与椭圆C相交于,A B两点（1）求椭圆C的方程（2）若B点关于x轴的对称点是E，求证：直线AE与x轴相交于定点【答案】 （1）22 143xy；（2）定点1,0.联立方程可得：

14、 22 143 4xyyk x ，消去y可得：22234412xkx2222433264120kxk xk22121222326412,4343kkxxx xkk考虑直线:AE12121212AEyyyykxxxx 直线AE的方程为：12 11 12yyyyxxxx11令0y 可得： 112121yxxyyxx122112x yx yx yy122112x yx yxyy，而11224 ,4yk xyk x，代入可得： 1221121212124424448x k xx k xx xxxxk xk xxx，代入22121222326412,4343kkxxx xkk可得：22222222641

15、23224244343431243284343kk kkkxk kkAE与x轴交于定点1,0例 7.【2019 届宁夏回族自治区银川一中考前适应性训练】已知动圆过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线 （1）求 C 的方程；（2）设，B，P 为 C 上一点，P 不在坐标轴上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N，求证：为定值【答案】 （1）.（2）证明见解析.【解析】分析：（1）利用待定系数法求 C 的方程.(2)先计算得到，再计算4.详解：（1）圆的圆心为，半径为 4， 在圆内，故圆与圆相内切设圆的半径为 ，则，从而因为，故的轨迹是以 ，为焦点，4 为长轴的椭圆

16、，其方程为.12综上，为定值 4 点睛：（1）本题主要考查轨迹方程的求法和椭圆中的定值问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)解答本题的关键是计算，得到后，主要是化简.例 8.【2019 届陕西省咸阳市 5 月信息专递】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆 的离心率为 （）求椭圆 的方程；（）设 是椭圆 的右顶点，过 点作两条直线分别与椭圆 交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.【答案】 （ ）（）直线恒过点【解析】分析: （）由题意布列关于 a，b 的方程组，解之即可；（）设直线，与椭圆方程联

17、立可得，利用根与系数的关系表示直线13的斜率之积为，可得设，而，则由得,，即，整理得，解得或（舍去）直线，知直线恒过点例 9.【2019 届安徽省江南十校二模】已知椭圆 ：，点 、 、 都在椭圆 上， 为坐标原点，为中点，且.（1）若点 的坐标为，求直线的方程；（2）求证：面积为定值.【答案】 （1）（2）见解析 【解析】分析：（1）先利用求出，再利用点差法进行求解；（2）先讨论直线不存在斜率时的情况，再设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数14的关直线的方程为；（2）证明：设，当直线的斜率不存在时，由题意可得，或，此时；当直线的斜率存在时，由（1），：，

18、即直线： ，即， ，15.为定值.例 10.【2019 届安徽省芜湖市 5 月模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆 上一点，若，,的面积为 .（1）求椭圆 的方程；（2）若 , 分别为椭圆上的两点，且,求证：为定值，并求出该定值.【答案】 （1）；（2）定值【解析】分析：（1）由题意布列关于 a,b 的方程组，从而得到椭圆 的方程；（2）(i)当 , 是椭圆顶点时，(ii)当 , 不是椭圆顶点时，设，分别与椭圆方程联立，求出，从而得到为定值.详解：（1）由已知， 又，, ，椭圆 的方程为： 16（2）(i)当 , 是椭圆顶点时，(ii)当 , 不是椭圆顶点时，设，从特殊入手，求出定值，再证

19、明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值【精选精练精选精练】1 【2019 届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区 5 月训练】已知椭圆（）的焦距为 2，离心率为，右顶点为 .（I）求该椭圆的方程；（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.【答案】 （I）.（II）见解析.17又，椭圆方程为（II）由题意得，当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由消去 y 整理得，直线与椭圆交于两点，解得设，则，又，.即直线，的斜率之和为定值.2已知椭圆2222:10xyCabab的右焦点1F与抛物线24yx的焦点重合，

20、原点到过点,0 ,0,A aBb的直线距离是2 21 7（1）求椭圆C的方程（2）设动直线: l ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，过1F作1PF的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程【答案】 （1）22 143xy；（2）在4x 这条定直线上.18（2）因为直线l与椭圆相切 联立直线与椭圆方程：222224384120143ykxm kxkmxmxy 2222644 412430k mmk 2222226464192481440k mk mkm即222243043kmmk切点坐标22444 43Pkmkmkxkmm 243ppkykxmmmm 即43,kPm m

21、13 3 441PFmkkkm m 14 3QFkmk 1FQ的方程为413kmyx联立1,FQ l方程：413kmyxykxm 4134433kmxkxmkxmxkmkxm194km xkm 解得4x Q在4x 这条定直线上3 【2019 届湖北省宜昌市 4 月调研】已知倾斜角为的直线经过抛物线 ：的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且.（）求抛物线 的方程；（）过点的两条直线 、 分别交抛物线 于点 、 和 、 ，线段和的中点分别为、 .如果直线 与 的斜率之积等于 1，求证：直线经过一定点.【答案】()；()证明见解析.可得，据此可得，同理可得：，直线的方程为，即，直线经过定点.详解：

22、（）由题意可设直线的方程为，令，.联立得，20则，同理将 换成 得：， .则直线的方程为，即，显然当，.所以直线经过定点.4 【2019 届江苏省南京市三模】如图，在平面直角坐标系中，椭圆经过点，离心率为. 已知过点的直线 与椭圆 交于两点（1）求椭圆 的方程；（2）试问 轴上是否存在定点 ，使得为定值若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆 C 的方程. (2) 设 N(n，0)，先讨论 l 斜率不存在的情况得到 n=4,再证明当 N 为(4，0)时，对斜率为 k 的直线 l：yk(x )，恒有12详解

23、：（1）离心率 e，所以 ca，b a， 21则( n)2y2( n)2n2 n ， 当 l 经过左右顶点时，(2n)(2n)n24令 n2 n n24，得 n4 下面证明当 N 为(4，0)时，对斜率为 k 的直线 l：yk(x )，恒有12设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去 y，得(4k21)x2k2xk240， 221612 所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得为定值 点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性

24、的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论 l 斜率不存在的情况得到 n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为 k 的直线 l：yk(x )，恒有125 【2019 届华大新高考联盟 4 月检测】已知抛物线的焦点为 ，的三个顶点都在抛物线上，且.（1）证明:两点的纵坐标之积为定值；（2）设，求 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）设 ，由题，23故，以下同方法一.详解：（1）设 ，.（2）方法一 ，246.【2019 届江西省上饶市三模】已知椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为、，直线 过点且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段的垂直平分线交 于点（1）求点的

25、轨迹的方程；（2）当直线与椭圆相切，交于点 ， ，当时，求的直线方程【答案】 （1）；（2）【解析】分析：1）利用椭圆离心率可知利用抛物线定义求出点的轨迹的方程；（2）显然当 AB 斜率不存在时，不符合条件当 AB 斜率存在时，设 AB：y=kx+m，联立直线与椭圆方程，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）通过韦达定理结合 OAOB，转化求解即可25详解：（1）由，得，故，与相切，得，又由消 得，设，则，且有得， ，得，联立，得，故方程为7 【2019 届广东省湛江市二模】已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上，且的面积为 . （1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点 作两条相互

26、垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点 的两点、 ，证明：动直线26恒过 轴上一定点.【答案】 （1）；（2）见解析，则 ，据此可得或，则直线恒过点.详解：（1)点在椭圆上，且的面积为 ，即.两个焦点坐标分别为、.，即：.所求方程为.（2)假设结论成立，定点坐标设为，显然.27代入并化简得： ，设、，.又，解之得或，即直线恒过点.综上所述，直线恒过定点.8 【2019 届重庆市三诊】已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的 的方程；（2）设点 为圆上任意一点，过 作圆 的切线与椭圆 交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】 （1）（2）见解析28（2

27、）由对称性，猜测该定点为，设该切线方程为，则有，联立方程有：，所以，即原点以在为直径的圆上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.9.【2019 届四川省冲刺演练（一） 】已知直线 经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，直线 与抛物线交于， 两点，且， 两点在 轴的两侧.（1）证明：为定值；（2）求直线 的斜率的取值范围；（3）若（ 为坐标原点） ，

28、求直线 的方程.【答案】 （1）见解析；（2）；（3）.（3）设，则，利用根与系数关系表示，即可得到29直线 的方程.详解：（1）证明：由题意可得，直线 的斜率存在，故可设 的方程为，联立，得，则为定值.（2）解：由（1）知， ，则 ，即.，解得或，又，故直线 的方程为.10.【2019 届天津市部分区调查（二） 】已知椭圆 ：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为 2.（1）求椭圆 的方程； （2）已知直线与椭圆 交于两点，且与 轴， 轴交于两点.（i）若，求 的值；（ii）若点 的坐标为，求证：为定值.【答案】(1) (2) （i）（ii）见解析【解析】分析：（1）根据椭圆

29、的离心率和三角形的面积即可求出 a2=4，b2=2，则椭圆方程可得，（2） （i）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出30详解：（1）因为满足，由离心率为，所以，即，代入得.，设，则又，由得解得，由得（ii）由（i）知，所以 ，为定值 所以为定值.3111.【2019 届江西省南昌市三模】已知动圆 过点，并与直线相切.（1）求动圆圆心 的轨迹方程 ；（2）已知点，过点 的直线 交曲线 于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出此定值.【答案】 （1）；（2）当斜率不为 时，设方程：，即设由，得，且恒成立（定值）12 【2019 届福建省百校临考冲刺】已知直线 经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，直线 与抛物线交于两点，且两点在 轴的两侧（1）证明：为定值；（2）求直线 的斜率的取值范围；（3）已知函数在处取得最小值，求线段的中点 到点的距离的最小值（用表示）【答案】 （1）见解析（2）（3）32详解：（1）证明：由题意可得，直线 的斜率存在，故可设 的方程为，联立，得，则为定值；（2）由（1）知，则，即联立得：，两点在 轴的两侧，而，在处取得最小值，