函数的单调性与最值的教学设计.docx

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1、文本为Word版本，下载可任意编辑函数的单调性与最值的教学设计 函数的单调性与最值的教学设计 一、 考纲要求及考情分析 二、 教材知识点梳理 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 易错易混 从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的

2、有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数例如，函数yx2，当x0，)时是增函数，当x(，0时是减函数 (2)函数单调性的常用结论 若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数； 若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反； 函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反； 函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同 2函数的最值 前提 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的xI，都有f(x)M (2)存在x0

3、I，使得f(x0)M (3)对于任意的xI，都有f(x)M (4)存在x0I，使得f(x0)M 结论 M为最大值 M为最小值 3预习精演练 1一次函数ykxb在R上是增函数，则k的范围为( ) Ak0 Bk0 Ck0 Dk0? 答案：A 2函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是( ) A(，2) B(，1) C(1，) D(4，)? 选D. 3下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是( ) Ay Bycos x Cyln(x1) Dy2x? 选D. 4若函数f(x)在区间2，a上的最大值与最小值的和为，则a_.答案：4 三、题型解析 考点一 利用单调性求最值简单型发展数学运算 1函数

4、f(x)的最大值为_ 解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2. 答案：2 2已知函数f(x)(a0，x0)，若f(x)在上的值域为，2，则a_. 解析：由反比例函数的性质知函数f(x)(a0，x0)在上单调递增， 所以即解得a. 答案： 规律总结-求函数最值的常用方法 1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； 2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； 3换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最 考

5、点二 确定函数的单调性(区间)探究型直观想象、逻辑推理 例1 (1)函数f(x)x22|x|1的递减区间为_ 解析：f(x) 画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为1,0和1，) 答案：1,0和1，) (2)判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性 解：设1x1x22，则 f(x2)f(x1)axax (x2x1)， 由1x1x22，得x2x10,2x1x24， 1x1x24，1. 又因为1a3， 所以2a(x1x2)12， 得a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0， 即f(x2)f(x1)， 故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单|调递增 变式 ? 将本例(1)

6、中函数变为f(x)|x22x1|，如何求解？ 解析：作出函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，单调递减区间为(，1)和(1,1) 答案：(，1)和(1,1) 注： 1判断函数的单调性应先求定义域 2定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值作差变形判号定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等 3用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视 4图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 考点三 函数单调性的应用高频型发展逻辑推理、提升数学运算 命题点1 利用函数单调性比较大小 例2 已知函数f(x)log2x

7、，若x1(1,2)，x2(2，)，则( ) Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0 Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0 解析：函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0， 当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0， 当x2(2，)时，f(x2)f(2)0， 即f(x1)0，f(x2)0. 答案：B 命题点2 利用函数单调性求参数范围 例3 (2023青海西宁高三期末)已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_ 解析：要使函数f(x)在R上单调递增， 则有即解得2a3， 即实数a的取值范围是(2,3 答案：(2,

8、3 规律总结： 1利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质转化到同一个单调区间内，只需比较自变量的大小，根据单调性比较函数值大小 2求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x) 提醒：应注意g(x)，h(x)应在函数yf(x)的定义域内 3根据函数的单调性求参数的取值范围的常用方法 (1)数形结合法：将函数的单调性转化为函数图象的升(降)，再转化为其参数满足的不等式(组)进而求解 (2

9、)导数法：将函数的单调性转化为导函数在某单调区间上恒正(负)问题求解 四、课后作业 1已知偶函数f(x)是定义在0，)上的增函数，则满足f(2x1)f的x的取值范围是( ) A. B C. D 解析：选A.因为f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，f(2x1)f，故|2x1|，解得x. 2(2023山东日照模拟)若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是( ) A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1 C(0,1) D( 0,1 解析：选D.由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2?a，)，a1. y在(1，)上为减函数， 由g(x)在1,2上是减函数可得a0， 故0a1.故选D.第 13 页 共 13 页