13.5相对于质心的动量矩(重庆大学土木理论力学课件).ppt

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1、 在前面的阐述中，特别指明了矩心是固定点在前面的阐述中，特别指明了矩心是固定点（或矩轴是固定轴或矩轴是固定轴）。）。但是，可以证明，如选取质点系的质心作为但是，可以证明，如选取质点系的质心作为矩心（矩心（或原点在质心的平动坐标系的轴为矩轴），），动量矩定理具有相同的表达形式。动量矩定理具有相同的表达形式。13.5 质点系相对于质心的动量矩定理 一、一、质质点系相点系相对对与与质质心的心的动动量矩量矩1、分解、分解质质心的运心的运动动 建立建立质质心平心平动动坐坐标标系系 牵连牵连运运动动 动动系随系随质质心平心平动动。作用于质点的外力合力为作用于质点的外力合力为Fie。13.5 13.5 质质

2、点系相点系相对对与与质质心的心的动动量矩定理量矩定理相相对对运运动动 质质点点系系相相对对于于质质心心的的运运动动（质质点点系系不不能能说说相相对对于于质质心心转转动，刚体才是相对于质心转动动，刚体才是相对于质心转动）。）。2 2、任一、任一质质点点mii的矢径的矢径 如如图图所所示示，O为为定定点点，C为为质质点点系系的的质质心心，任任一一质质点点mii的的矢径矢径 任一任一质质点点Mi的速度的速度若质点若质点Mi的质量为的质量为mi，则该质点的动量为：，则该质点的动量为：而对于固定点而对于固定点O的动量矩为：的动量矩为：则整个质点系对于固定点则整个质点系对于固定点O的动量矩为：的动量矩为：

3、其中：其中：为整个质点系的质量。为整个质点系的质量。因因为质为质心是心是动动坐坐标标系原点，系原点，所以所以rC=0，vrC=0，从而从而由质心运动定理可知由质心运动定理可知miri=mrC，mivri=mvrC式中式中 是是质质点系点系在相对于质心在相对于质心平动坐标系的平动坐标系的运动中运动中对质心对质心的的动动量矩。量矩。于是得于是得质质点系相点系相对对于于O点的点的动动量矩。量矩。式式（13.21）表表明明，质质点点系系对对任任一一点点O的的动动量量矩矩等等于于集集中中于于质质心心的的系系统统动动量量mvC对对于于O点点的的动动量量矩矩与与此此系统系统对于质心的动量矩对于质心的动量矩的

4、的矢量和矢量和。下面讨论质点系在相对质心平动坐标系下面讨论质点系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩和的运动中对质心的动量矩和在绝对运动中对在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系。质心的动量矩之间的关系。4、讨论讨论：质质点系相点系相对对于于质质心的心的动动量矩量矩 事事实实上上，从从上上面面的的推推导导过过程程可可以以看看出出，当当动动坐坐标标系系随随同同质质心心C平平动动时时，不不论论用用相相对对速速度度还还是是用用绝绝对对速速度度计计算算，结结果果都都一一样样（因因为为由由于于牵牵连连速速度度而而有有的的动动量量矩矩rimivC=0）。下下面就将面就将LC称称为质为质点系点系对对于于

5、质质心的心的动动量矩。量矩。即即：质质点点系系对对于于质质心心的的相相对对动动量量矩矩LC 等等于于质质点点系系对对于于质质心的心的绝绝对动对动量矩量矩LC此此结结论论对对质质心心本本身身的的运运动动未未作作任任何何限限制制，但但动动系系一一定定是是原点在原点在质质心的平心的平动动坐坐标标系。系。二、二、质质点系相点系相对对于于质质心的心的动动量矩定理量矩定理 1、质质点系相点系相对对于于质质心的心的动动量矩量矩2、定理（推、定理（推导导）由由 LO=rCmvC LC得得 LC=LO rCmvC LO=rCmvC LCMO(Fi)rCFiriFirCFi（rirC）FiriFi3、意、意义义：

6、质质点系相点系相对对于于质质心的心的动动量矩量矩对对于于时间时间的的变变化率，等于作化率，等于作 用于用于质质点系上所有外力点系上所有外力对对（同一点）（同一点）质质心的主矩。心的主矩。这个这个结论称结论称 为质点系相对于质心的动量矩定理。为质点系相对于质心的动量矩定理。该定理在形式上与质点系该定理在形式上与质点系 相对于固定点的动量矩定理相对于固定点的动量矩定理完全一样。完全一样。dLCdt=MC （13.22）dLOdt=MO质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种

7、而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系简单的关系5、讨论讨论 比比较较 dLOdt=MO dLCdt=MC（13.22）O O点点固定点固定点 C C点点质心（运动点）质心（运动点）注注意意：只只有有当当动动点点是是质质心心时时，才才能能得得到到式式（13.22）的的推推导导结结果果。否否则则，有有些些项项就就不不会会为为零零。故不能故不能对对任一任一动动点取点取动动量矩矩心。量矩矩心。4、投影形式、投影形式 将将式式（13.22）投投影影到到随随质质心心平平动动的的直直角角坐坐标标系系xC、yC、zC轴轴上，得上，得 其中其中 LxC、LyC、LzC是是质质点系点系对对于于轴轴

8、xC、yC、zC的的动动量矩量矩 dLCdt=MC （13.22）（13.23）这这几个方程表明：几个方程表明：质质点系点系对对于随同于随同质质心平心平动动的任一的任一轴轴的的动动量量矩矩对对于于时间时间的的变变化率，等于作用于化率，等于作用于质质点系上所有外力点系上所有外力对对同一同一轴轴的矩的代数和。的矩的代数和。可可以以证证明明，对对于于平平面面运运动动的的刚刚体体，如如速速度度瞬瞬心心到到质质心心的的距距离离保保持持不不变变，则则对对于于瞬瞬心心可可直直接接应应用用动动量量矩矩定定理理，无无须须作作任任何何修正。修正。例如例如：均均质圆轮质圆轮沿沿轨轨道道滚动滚动而不滑而不滑动动的情形

9、；的情形；均均质质杆两端分杆两端分别别沿沿铅铅垂垂墙墙面和水平地面面和水平地面 滑滑动动的情形。即的情形。即质质心到瞬心的距离不心到瞬心的距离不变变.三、三、质质点系相点系相对对于于质质心的心的动动量矩量矩 守恒的情形守恒的情形（1 1）若）若MCi=0=0，则则由由 LC=ct知知，质质点点系系相相对对于于质质心心C的的动动量矩守恒量矩守恒（2 2）若）若MzC=0，则则由由LzC=ct知，知，质质点点系系相相对对于于质质心心zC轴轴的的动动量量矩矩守恒守恒。（2 2）若）若MzC=0，则则由由LzC=ct知，知，质质点系相点系相对对于于质质心心zC轴轴的的 动动量量 矩守恒矩守恒。例如：例

10、如：跳水运动员在离开跳板后，跳水运动员在离开跳板后，设空气阻力不计，则他在空中时设空气阻力不计，则他在空中时除了重力并无其他外力的作用，除了重力并无其他外力的作用，由于重力对质心的力矩为零，故由于重力对质心的力矩为零，故相对于质心的动量矩是守恒的。相对于质心的动量矩是守恒的。当他离开跳板时，他的四肢伸直，其转动惯量较大。当他离开跳板时，他的四肢伸直，其转动惯量较大。当他在空中时，把身体卷缩起来，使转动惯量变小，当他在空中时，把身体卷缩起来，使转动惯量变小，于是得到较大的角速度，可以在空中多翻几个跟斗。于是得到较大的角速度，可以在空中多翻几个跟斗。这种增大角速度的办法，常应用在花样滑冰、芭蕾舞，

11、这种增大角速度的办法，常应用在花样滑冰、芭蕾舞，体操表演和杂技表演中。体操表演和杂技表演中。13.6 13.6 刚体的平面运动动微分方程刚体的平面运动动微分方程 对于一般运动的质点系，各质点的运动可分解为随同对于一般运动的质点系，各质点的运动可分解为随同其质心一起的其质心一起的牵连运动牵连运动和和相对于固连在质心的平动坐标系相对于固连在质心的平动坐标系的相对运动的相对运动两部分。两部分。则可以分别用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理则可以分别用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理来建立这两部分运动与外力之间的关系。来建立这两部分运动与外力之间的关系。这样就能全面地说明外力系对质点系的运动效应

12、，并能这样就能全面地说明外力系对质点系的运动效应，并能确定整个系统的运动。确定整个系统的运动。由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得 将上式中的第一式投影到将上式中的第一式投影到x，y轴轴上，上，第二式投影到第二式投影到过质过质心心C且与且与图图平面垂直的平面垂直的z轴轴上，得上，得 设刚体绕设刚体绕z轴转动的角速度为轴转动的角速度为w w，与计算定轴转动刚体对与计算定轴转动刚体对转动轴的动量矩相似，可以得到刚体对转动轴的动量矩相似，可以得到刚体对z轴的动量矩等于轴的动量矩等于这就是刚体的平面运动动微分方程这就是刚体的平面运动动微分方程 Lz=Jz

13、w w其中其中Jz是是刚刚体体对对zC轴轴的的转动惯转动惯量。于是，式（量。于是，式（13.24）最后）最后成成为为 例 均质圆轮质量为m，半径r，沿倾角为的斜面滚下，如图所示。设轮与斜面间的摩擦因数为f，试求轮心C的角速度及斜面对于轮子的约束反力。解：建立图示坐标系解：建立图示坐标系Oxy，可知：可知：所以：所以：由（由（2 2）式可得：）式可得：而在其余两式中，包含三个未知量而在其余两式中，包含三个未知量,所以必须所以必须有一附加条件才能求解。下面分两种情况来讨论：有一附加条件才能求解。下面分两种情况来讨论：1.1.假设轮子与斜面间无相对滑动，则此时有假设轮子与斜面间无相对滑动，则此时有联

14、立（联立（1 1）、（）、（2 2）、（）、（5 5），并有），并有由（3）式解得：2 2假设轮子与斜面间有相对滑动，则此时为动摩擦，假设轮子与斜面间有相对滑动，则此时为动摩擦，联立（1）、（3）、（6）式，解得：(6)并且要使轮子只有滚动而无滑动，必须并且要使轮子只有滚动而无滑动，必须FfN，所以有：所以有：这就是轮子滚动的条件。这就是轮子滚动的条件。例（参见习题例（参见习题例（参见习题例（参见习题13.1913.19）均质圆轮半径为均质圆轮半径为r r，质量为质量为m，受到轻微扰动后，在半径为受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮的圆弧上往复滚动，如图

15、所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动中无滑动。在滚动中无滑动。求质心求质心C的运动规律的运动规律。解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有重力重力mg，圆弧表面的法向力，圆弧表面的法向力FN和摩擦力和摩擦力Ff。解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有重力解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有重力G=mg，圆弧表面的法向力圆弧表面的法向力FN和摩擦力和摩擦力Ff。设某瞬时设某瞬时OC连线连线与铅垂直线的夹角为与铅垂直线的夹角为f f，并以逆时针转向为正并以逆时针转向为正，则轮质心，则轮质心C的运动轨迹为一圆弧，相应取切线正方向沿的运动轨迹为一圆弧，相应取

16、切线正方向沿f f 角增大方向。角增大方向。并设圆轮以顺时针转动为正。并设圆轮以顺时针转动为正。图示瞬时刚体平面运动微分图示瞬时刚体平面运动微分方程在自然轴上的投影式为方程在自然轴上的投影式为 ma act tFfmgsinf f(a)ma act tFmgsinf f (a)由运动学知，当圆轮只滚不滑时，角加速度的大小为由运动学知，当圆轮只滚不滑时，角加速度的大小为 a aaCt t/r (d)同时可得，质心的弧坐标同时可得，质心的弧坐标同时可得，质心的弧坐标同时可得，质心的弧坐标质心速度质心速度质心加速度质心加速度ma act tFmgsinf f (a)a aaCt t/r (d)当当f

17、 f很小时，很小时，sinf ff f，联立式（联立式（a）、（）、（c）、（）、（d）求得求得令令此方程的解为此方程的解为 ss0sin(w wntb b)式中式中s0和和b b为两个常数，由运动起始条件确定。为两个常数，由运动起始条件确定。则上式成为则上式成为 令令此方程的解为此方程的解为ss0sin(w wntb b)式中式中s0和和a a为两个常数，由运动起始条件确定。为两个常数，由运动起始条件确定。则上式成为则上式成为 如如t0时，时，s0，初速度为，初速度为v v0，于是：，于是：0s0sinb b v v0s0w wn cosb b解得：解得：tanb b0，b b0最后得最后得

18、这就是质心沿轨迹的运动方程。这就是质心沿轨迹的运动方程。ss0sin(w wntb b)b b0由式（由式（b）可求得圆轮在滚动时对地面的压力可求得圆轮在滚动时对地面的压力FN.式中第一项为附加动反力，式中第一项为附加动反力，其中其中 例 均质圆轮半径为r，质量为m，受到微小扰动后，在半径为R的固定圆弧槽内往复滚动，如图所示，设圆轮在滚动时无相对滑动，初瞬时，求轮子作微小往复运动的运动方程。解 取圆轮讨论，作用在轮上的外力有：重力mg，法向反力FN及摩擦力F，轮作平面运动。设某瞬时OC连线与铅垂直线的夹角为，并以逆时针为正，则轮质心C的运动轨迹为一圆弧，相应取切线正方向沿角增大方向。将刚体平面

19、运动微分方程在自然坐标系上投影得：得：由运动学知，当圆轮只滚不滑时，有规定以逆时针为正，而在图示瞬时，ac为正，的转向应为顺时针，因而有故并且，当轮子作微小往复运动时，很小，有：则上式成为同时可得，质心的弧坐标令则上式成为解此方程得：其中A、为待定常数，由初始条件确定。代入初始条件，即t0时，可得于是得到这就是轮子作微小往复运动的运动方程。例例 均均质质杆杆AB长长ll，重重G G。在在B点点作作用用一一已已知知力力P P，使使杆杆AB的的A、B点点分分别别沿沿铅铅垂垂线线、水水平平线线滑滑动动，忽忽略略接接触触处处的的摩摩擦擦。求杆求杆AB的角加速度与角的角加速度与角f f的关系。的关系。解

20、：杆解：杆AB作平面运作平面运动动，应应用用刚刚体平面运体平面运动动微分方程求解。微分方程求解。杆杆AB的的受受力力图图如如图图所所示示。作作用用于于杆杆AB上上的的力力有有重重力力G；主主动动力力P P及及约约束反力束反力FA、FB。如果求出如果求出FA与与FB，则则由上式就可求出由上式就可求出 的关系。的关系。由式（由式（1）、（）、（2），得），得 GaCx/g=FA P （5）FA PGaCx/g GaCy/g=FBG （6）FBG GaCy/g已知已知刚刚体平面运体平面运动动微分方程微分方程由第三式，得由第三式，得 由式（由式（5）与（）与（6）可知，必）可知，必须须先求出先求出质质

21、心心C的加速度投影的加速度投影aCx与与aCy。如如图图所示，以所示，以质质心心C为为基点，基点，则则A、B点的加速度分点的加速度分别为别为 aA=aC+aACt+aACn aB=aC+aBCt+aBCn 分分别别将上两式投影到将上两式投影到x、y轴轴上，得上，得由由(5)、(6)、(7)、(8)可解得反力可解得反力FA PGaCx/g (5)FBG GaCy/g (6)将式将式(11)、(12)代入式代入式(4),得得将上式整理后将上式整理后,得得如果已知起始条件如果已知起始条件,在初瞬在初瞬时时由上式解得杆由上式解得杆AB的角加速度的角加速度就可以求得在任一瞬就可以求得在任一瞬时时杆杆AB的角加速度及反力的角加速度及反力FA与与FB。解法二，因为质心到瞬心的距离保持不变，所以可对解法二，因为质心到瞬心的距离保持不变，所以可对瞬心取动量矩，即瞬心取动量矩，即杆杆AB的角加速度的角加速度可求得杆的角加速度（可求得杆的角加速度（如上所示的结果如上所示的结果）及反力及反力FA与与FB。设设直角坐直角坐标标系系Oxyz如如图图所示，所示，质质心心C的坐的坐标为标为 xC=l/2cosf fyC=l/2sinf fGaCx/g=FA P （5）FA PGaCx/g GaCy/g=FBG （6）FBG GaCy/g