2020版高考数学一轮复习第三章第四节第2课时利用导数研究不等式恒成立问题ppt课件 文.pptx

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1、第第2 2课时课时利用导数研究不等式利用导数研究不等式恒成立问题恒成立问题考点一 把参数看作常数利用分类讨论法解题考点二 分离参数法求范围考考点点突突破破考点三 等价转化法求参数范围把参数看作常数利用分类讨论法解题把参数看作常数利用分类讨论法解题考点突破典例典例1(2019湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=lnx-ax,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)+a0恒成立,则f(x)只有单调递增区间(0,+).当a0时,由f(x)0,得0 x;由f(x),所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)f(x)+a0在x(1,+)上恒成立,即lnx-a(x-1)0,则g(

2、x)=-a,且g(1)=0,当a1时,g(x)0在x(1,+)上恒成立,则g(x)在x(1,+)上单调递减,所以g(x)g(1)=0,即a1时满足题意.当0a0,得0 x;令g(x).所以g(x)在上单调递增,所以当x时,g(x)g(1)=0,即0a0,则g(x)在(1,+)上单调递增,所以当x(1,+)时,g(x)g(1)=0,即a0时不满足题意(舍去).综上所述,实数a的取值范围是1,+).规律总结规律总结对于不适合分离参数的不等式,常常将参数看作常数直接构造函数,常用分类讨论法,利用导数研究单调性、最值,从而得出参数范围.分离参数法求范围分离参数法求范围典例典例2已知函数f(x)=,x(

3、0,+).(1)求函数f(x)在m,m+1(m0)上的最小值;(2)x(0,+),不等式xf(x)-x2+x-1恒成立,求的取值范围.解析解析(1)f(x)=,令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0 x0)上是增函数,所以f(x)min=f(m)=.当0mx恒成立,即+x+恒成立,令g(x)=+x+,则g(x)=,由g(x)0得,x1;由g(x)0得,0 x1.所以g(x)min=g(1)=e+2,所以0,得x,令g(x)0,得0 x0得x.即m(x)=xlnx在上是增函数,可知h(x)在区间上是减函数,又h(1)=0,所以当1x2时,h(x)0;当x0.即函数h(x)=x-x2lnx在区间上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,所以a1,即实数a的取值范围是1,+).规律总结规律总结(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件,进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法,解题过程中尽量采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题.