科学计算引论-复习概要.ppt

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1、科科 学学 计计 算算 引引 论论总复习总复习2 2考核方式：考核方式：平时成绩：平时成绩：20%大作业：大作业：20%笔试卷面成绩：笔试卷面成绩：60%时间安排：时间安排：答疑：答疑：2014年年6月月29日日(第第20周周日周周日)14:30-17:30 科技楼南楼科技楼南楼813室室考核方式考核方式3 3各章内容简介各章内容简介第一章第一章 数值分析基础数值分析基础第二章第二章 函数逼近函数逼近第三章第三章 数值微积分数值微积分第四章第四章 线性方程组数值解法线性方程组数值解法第五章第五章 非线性方程数值解法非线性方程数值解法第六章第六章 最优化方法最优化方法第七章第七章 常微分方程初值

2、问题数值解法常微分方程初值问题数值解法第八章第八章 常微分方程边值问题数值解法常微分方程边值问题数值解法第九章第九章 偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法4 4第一章第一章 数值分析基础数值分析基础 1.1 矩阵理论矩阵理论 1.2 差分方程差分方程 1.3 计算精度计算精度 1.4 向量微积分向量微积分5 5 1.1 矩阵理论矩阵理论Kronecker积积向量范数，矩阵范数向量范数，矩阵范数常见范数计算，谱半径常见范数计算，谱半径序列收敛性质序列收敛性质6 6 1.2 差分方程差分方程差分，差分方程差分，差分方程线性差分方程的解线性差分方程的解通解，特解通解，特解7 7 1.3 计算精度计算

3、精度误差，误差来源误差，误差来源相对误差相对误差(限限)，绝对误差，绝对误差(限限)有效数字有效数字数值稳定数值稳定Richardson外推：提高精度，估计误差外推：提高精度，估计误差8 8 1.4 向量微积分向量微积分多元向量值函数的微分和积分多元向量值函数的微分和积分强导数，弱导数强导数，弱导数Jacobi矩阵矩阵向量型向量型Taylor展开展开压缩映照原理压缩映照原理9 9第二章第二章 函数逼近函数逼近 2.1 Lagrange 插值插值 2.2 Newton 插值公式插值公式 2.3 Hermite 插值公式插值公式 2.4 样条插值样条插值 2.5 曲线拟合方法曲线拟合方法1010

4、2.1 Lagrange 插值插值插值法，多项式插值，插值法，多项式插值，Lagrange 插值插值Lagrange插值公式，基函数构造法插值公式，基函数构造法Lagrange插值公式误差，插值余项插值公式误差，插值余项Runge现象，分段线性插值现象，分段线性插值1111 2.2 Newton 插值公式插值公式Newton插值与插值与Lagrange 插值插值Newton插值公式，差商插值公式，差商Newton插值余项插值余项等距等距Newton插值，差分插值，差分111112121212Hermite 插值插值问题问题两点三次两点三次Hermite 插值插值问题问题Hermite 插值插值

5、余项余项分段三次分段三次Hermite 插值插值 2.3 Hermite 插值公式插值公式13132 2.5 .5 曲线拟合方法曲线拟合方法曲线拟合问题曲线拟合问题最小二乘问题最小二乘问题最小二乘法，正则化方法最小二乘法，正则化方法法方程，正则化方程法方程，正则化方程1414 3.1 数值微分数值微分 3.2 机械求积公式机械求积公式 3.3 Newton-Cotes 公式及其复合求积法公式及其复合求积法 3.4 变步长求积法变步长求积法 3.5 Gauss 求积公式求积公式第三章第三章 数值微积分数值微积分1515 3.1 数值微分数值微分数值微分，基本公式数值微分，基本公式Taylor展开

6、法展开法插值计算法插值计算法外推算法外推算法1616 3.2 机械求积公式机械求积公式机械求积公式，求积节点，求积系数机械求积公式，求积节点，求积系数代数精度的概念，代数精度法代数精度的概念，代数精度法插值求积法，插值型求积公式，性质，余插值求积法，插值型求积公式，性质，余项及其分析方法项及其分析方法17171717 3.3 Newton-Cotes 公式及其复合求积法公式及其复合求积法具等距节点的插值型求积公式具等距节点的插值型求积公式 Newton-Cotes公式公式梯形公式，梯形公式，Simpson公式及其余项公式及其余项复合求积公式复合求积公式1818 3.4 变步长求积法变步长求积法

7、变步长求积法变步长求积法变步长梯形公式变步长梯形公式Romberg算法算法1919 3.5 Gauss 求积公式求积公式Gauss 求积公式，求积公式，Gauss点，代数精度点，代数精度Gauss点的确定，点的确定，Legendre 多项式多项式Gauss系数的计算系数的计算Gauss求积公式的特点求积公式的特点2020第四章第四章 线性方程组数值解法线性方程组数值解法 4.1 Gauss 消元法消元法 4.2 特殊线性方程组的解法及敏度分析特殊线性方程组的解法及敏度分析 4.3 经典迭代方法经典迭代方法 4.4 Krylov 子空间方法子空间方法2121 4.1 Gauss 消元法消元法线性

8、方程组问题，直接法，迭代法线性方程组问题，直接法，迭代法Gauss消元法，顺序消元，消元法，顺序消元，全主元消元，列主元消元全主元消元，列主元消元三角分解法，三角分解法，LU分解分解2222 4.2 特殊线性方程组的解法及敏度分析特殊线性方程组的解法及敏度分析三对角稀疏阵：追赶法三对角稀疏阵：追赶法对称正定阵：对称正定阵：Cholesky分解法，分解法，改进的改进的Cholesky分解法分解法敏度分析：误差估计，条件数敏度分析：误差估计，条件数23232323 4.3 经典迭代方法经典迭代方法Jacobi迭代法迭代法Gauss-Seidel迭代法迭代法逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法收敛性分析

9、方式收敛性分析方式:对角占优判别法、范数判别法、谱半径判别法对角占优判别法、范数判别法、谱半径判别法2424第五章第五章 非线性方程数值解法非线性方程数值解法 5.1 几何方法几何方法 5.2 Picard 迭代法迭代法 5.3 Newton 迭代法迭代法2525 5.1 几何方法几何方法非线性方程组求根问题非线性方程组求根问题隔离区间隔离区间二分法二分法弦截法弦截法Steffensen方法方法2626 5.2 Picard 迭代法迭代法Picard迭代，构造方式迭代，构造方式收敛性分析准则：全局收敛，局部收敛收敛性分析准则：全局收敛，局部收敛Aitken加速迭代法加速迭代法2727Newto

10、n迭代法迭代法简化简化Newton法，法，Newton下山法下山法收敛阶，收敛阶，Picard迭代法的收敛阶判别法迭代法的收敛阶判别法常见方法的收敛性，收敛速度常见方法的收敛性，收敛速度 5.3 Newton 迭代法迭代法2828第七章第七章 常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题数值解法 7.1 基本离散方法基本离散方法 7.2 Runge-Kutta 方法方法 7.3 数值算法理论数值算法理论 7.4 数值方法的有效实现数值方法的有效实现2929 7.1 基本离散方法基本离散方法差商逼近法差商逼近法数值积分法数值积分法Taylor展开法展开法线性线性-方法，单支方法，单支-方法，线性多步法方法，线性多步法局部截断误差，相容，相容阶局部截断误差，相容，相容阶3030 7.2 Runge-Kutta 方法方法Runge-Kutta方法方法局部截断误差，相容阶局部截断误差，相容阶显式显式Runge-Kutta方法，方法，Taylor展开构造法展开构造法隐式隐式Runge-Kutta方法，阶简化条件方法，阶简化条件3131 7.3 数值算法理论数值算法理论一般多步法一般多步法相容性，相容阶相容性，相容阶零稳定，绝对稳定零稳定，绝对稳定收敛性，收敛阶收敛性，收敛阶一般多步法、线性多步法、一般多步法、线性多步法、RK方法的方法的 相容性、稳定性、收敛性条件相容性、稳定性、收敛性条件