八年级数学上册第十二章全等三角形ppt课件 .pptx

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1、第 十二 章 全等三角形 12.1 全等三角形学 习 目 标312了解全等形的概念，会判断两个图形是不是全等形。理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关的证明和计算问题。新课导入思考：思考：观察下面各组图形，它们有什么共同特点？（1）（2）（3）（4）都有形状、大小相同的图片（5）（6）（7）你能再举出一些类似的例子吗?知识讲解全等形的概念及性质全等形的概念及性质观察思考：每组中的两个图形有什么特点？概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形.观察思考：下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流。（1）（2）大小不

2、同形状不同性质：全等形的形状、大小相同.练一练练一练：下面哪些图形是全等形？（1）（2）（3）（4）（5）（10）（11）（12）（13）（7）（8）（9）（15）(14)答：（2）和（4）、（5）和（14）（3）和（12）、（6）和（15）、（8）和（11）（6）全等三角形的概念和表示方法全等三角形的概念和表示方法 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.ABCDEFAACBDEABDCABCDBCNMFE思考：思考：把一个三角形作平移、旋转、翻折变换，那么变换前后的两个三角形全等吗？全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置 变化了,但形状和大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后

3、的两个图形全等。ABCDEFDEFDEEFDFDEF表示方法：全等用符号“”表示，读作“全等于”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.ABCDEF例1请指出下列全等三角形的对应边和对应角.1、ABE ACF对应角是：A和A、ABE和ACF、AEB和AFC；对应边是：AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、BCE CBF对应角是：BCE和CBF、BEC和CFB、CBE和 BCF。对应边是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、BOF COE对应角是:BOF和COE、BFO和CEO、FBO和ECO。对应边是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。对应元素的确定方法：（1）

4、图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边.最大角对最大角，最小角对最小角.（2）位置关系法：公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边.对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边.对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角.（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边和对应角.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的性质全等三角形的性质ABCDEF，AB=DE，AC=DF，BC=EF。（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）A=F，B=D，C=E。（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等）几何语言：如图，ABCDEF，A70，B50，BF4，EF7

5、，求DEF 的度数和CF 的长分析：分析：根据全等三角形对应边、对应角相等求DEF的度数和CF的长解：解：ABCDEF，A70，B50，BF4，EF7，DEFB50，BCEF7，CFBCBF743.例2随堂训练ABCDO图图1 11.已知：如图1，OAD与OBC全等，请用式子表 示出这种关系：_ 找出对应边,它们有什么关系？对应边：_ _ _ 找出对应角,它们有什么关系？对应角:_ _ _ 如果A=35，D=75，那么COB=_ OAD OBCOA OBOD OCAD BC A A B B D D C C DOADOA COBCOB7070和和 和和和和和和和和和和=2.如图2，如果ADECB

6、F，那么AECF吗？_(“是”或“不是”)是是ACDBEF图图2 2M MD DA AN NB BC C7cm7cm5 cm5 cm）39393.如图,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,DAM=39,则AN=_cm,NM=_cm,NAB=_.7 75 51212其中：互相重合的顶点叫做 。互相重合的边叫做 。互相重合的角叫做 。课堂小结2.叫做全等三角形。1.能够重合的两个图形叫做 ，全等形的形状、大 小相同。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等。对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点 能够重合的两个三角形能够重合的两个三角形3.“全等”用符

7、号“”来表示，读作“”。对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上。全等于全等于三角形全等的判定第一课时第 十二 章 全等三角形ABCDEF1.什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫全等三角形。2.已知ABCDEF，找出其中相等的边与角。AB=DECA=FDBC=EFA=DB=EC=F温故知新 为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？生活情境探究验证1.满足这六个条件可以保证ABCDEF吗？2.如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证ABCDE

8、F吗？想一想：ABCDEFAB=DECA=FDBC=EFA=DB=EC=F只给一条边只给一条边时；时；33问题1只给一个条件45只给一个角时；45归纳：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等。作图探究探究验证问题2如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？两边；两角。一边一角；如果三角形的两边分别为如果三角形的两边分别为4cm4cm，6cm6cm时：时：6cm6cm4cm4cm归纳：两条边对应相等的两个三角形不一定全等。探究验证三角形的一条边为4cm，一个内角为30时：4cm4cm3030归纳：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等。探究验证45304530如果三角形的两个内

9、角分别是如果三角形的两个内角分别是3030，4545 时：时：归纳：两个角对应相等的两个三角形不一定全等。只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。探究验证先任意画出一个ABC，再画出一个ABC，使AB=AB，BC=BC，AC=AC。把画好的ABC剪下，放到ABC上，他们全等吗？ABCABC 想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画BC=BC；（2）分别以B，C为圆心；线段AB，AC长为半径画圆，两弧相交于点A；（3）连接线段AB，AC。探究验证文字语言：三边对应相等的两个三角形全等。（简写为“边边边”或“SSS”）“边边边”判定方法ABC

10、DEF在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）。AB=DE，BC=EF，CA=FD，几何几何语言语言：探究验证例1如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架。求证：ABDACD。CBDA解题思路：先找隐含条件公共边AD再找现有条件AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点典例解析证明：D是BC中点，BD=DC。在ABD与ACD中，ABDACD（SSS）。）。CBDAAB=AC(已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）公共边）准备条件：证全等时要用的条件要先证好；指明范围：写出在哪两个三角形中；摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；写出结论：写出全等结论。证

11、明的书写步骤：准备条件准备条件指明范围指明范围摆齐根据摆齐根据写出结论写出结论典例解析已知：AOB。求作：AOB=AOB。例2用尺规作一个角等于已知角。ODBCAOCABD典例解析作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D；（4）过点D画射线OB，则AOB=AOB。已知：AOB。求作：AOB=AOB。用尺规作一个角等于已知角作图总结ODBCA OCABD典例解析练一练练一练解：ABCDCB。理由如下：在ABC和DCB，AB=DC，AC

12、=DB，=，BC CBDCBABCDABC （）。）。SSS1.如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？请完成下列解题步骤。=当堂练习2.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使ABFECD，还需要条件。BF=CD或BD=FCAE=BDFC当堂练习3.已知：如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE。求证：(1)ABCFDE；(2)C=E。证明：(1)AD=FB，AB=FD（等式性质）。在ABC和FDE中，AC=FE（已知），BC=DE（已知），AB=FD（已证），ACEDBF=？。（2）ABCFDE（已证）。）。C=E（全等三角形的对应角相等）。）。ABCFD

13、E（SSS）。）。当堂练习如图，已知ABAC，ADAE，BDCE，求证：312。证明：ABAC，ADAE，BDCE，ABDACE，2ABD，1BAD。3ABDBAD，312。探索拓展今天我们学了什么？今天我们悟到什么？今天的质疑和发现？梳理反思今天我们学了什么？今天我们悟到什么？三角形全等的判定（SSS）边边边内容有三边对应相等的两个三角形全等。（简写成“SSS”)应用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件。注意四步骤1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写。2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中。梳理反思三角形全等的判定第二课时第 十二 章 全等三角形温故

14、知新1.若AOCBOD，则有对应边:AC=，AO=，CO=，对应角有:A=，C=，AOC=。ABOCDBDBODOBDBOD2.填空:已知：AC=AD，BC=BD。求证：AB是DAC的平分线。AC=AD()，BC=BD()，=()，ABCABD()。1=2（）。AB是DAC的平分线（角平分线定义）。ABCD12已知已知SSS证明:在ABC和ABD中，AB AB 公共边全等三角形的对应角相等温故知新如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CDCA，连接BC并延长到点E，使CECB。连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为

15、什么？CAEDB生活情境作图探究尺规作图画出一个ABC，使ABAB，ACAC，AA（即使两边和它们的夹角对应相等）。把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？ABC探究验证ABCADEBC作法：（1）画DAE=A；（2）在射线AD上截取AB=AB，在射线AE上截取AC=AC；（3）连接BC。探究验证在ABC和ABC中，ABCABC（SAS）。文字文字语言语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（简写成“边角边”或“SAS”）几何语言：几何语言：AB=AB，A=A，AC=AC，ABCABC必须是两边“夹角”“边角边”判定方法探究验证例1如果AB=CB，ABD=CBD，那么ABD和CB

16、D全等吗？分析:ABDCBD。边边:角角:边边:AB=CB(已知)，ABD=CBD(已知)，？ABCD(SAS)BD=BD(公共边)。典例解析ABCD证明：在ABD和CBD中，AB=CB(已知)，ABD=CBD(已知)，BD=BD(公共边)，ABDCBD(SAS)。想一想：现在例1的已知条件不改变，而问题改变成:问AD=CD吗？BD平分ADC吗？由ABDCBD可得AD=CD（全等三角形的对应边相等），BD平分ADC（全等三角形的对应角相等，ADB=CDB）。典例解析例2如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CDCA，连接B

17、C并延长到点E，使CECB。连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？CAEDB分析：如果如果能证明能证明ABCABCDECDEC，就，就可以得可以得出出AB=DEAB=DE。由由题意题意知，知，ABCABC和和DECDEC具备具备“边边角边角边”的的条件。条件。典例解析证明：在证明：在ABCABC和和DECDEC中中，ABCABCDECDEC（SASSAS）。）。AB=DEAB=DE（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）。）。ACAC=DCDC（已知已知），），1 1=2 2（对顶角相等对顶角相等），），CBCB=ECEC（已知已知），CAEDB12证明线段相等或者角相等

18、时，常常通过证明它们是全等三角形的证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决。对应边或对应角来解决。归纳归纳典例解析1.下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由。甲8cm9cm丙8cm9cm8cm9cm乙303030甲与丙全等，SAS。练一练练一练当堂练习2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立。（已知），=A=A（公共角），=ADCBEAECADB()。在AEC和ADB中，ABACADAESAS注意：“SAS”SAS”中的角必须是两边的中的角必须是两边的夹角，夹角，“A A”必须在必须在中间。中间。当堂练习3.已知:如图，AB=DB，CB=EB，1

19、2，求证:A=D。证明：证明：1 12 2(已知已知)1+1+DBCDBC2 2+DBCDBC(等式的性质等式的性质)，即即ABCABCDBEDBE。在在ABCABC和和和和DBEDBE中中，ABABDBDB(已知已知)，ABCABCDBEDBE(已证已证)，CBCBEBEB(已知已知)，ABCABCDBEDBE(SAS(SAS)。A A=D D(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)。1A2CBDE当堂练习4.如图，点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF。求证：AFDCEB。FABDCE证明：ADAD/BCBC，A A=C C，AEAE=CFCF，在在AFDAFD和和和

20、和CEBCEB中中，ADAD=CBCBA A=C CAFAF=CECEAFDAFDCEBCEB（SASSAS）。）。）。）。AE+EF=CF+EFAE+EF=CF+EF，即即AFAF=CECE。(已知已知），），），），(已证已证），(已证已证），），），），当堂练习两两个大小不同的等腰直角三角板如图个大小不同的等腰直角三角板如图放置，图放置，图是由它是由它抽象出的抽象出的几何图形，点几何图形，点B B，C C，E E在同一条直线在同一条直线上，连接上，连接CDCD。求证求证：CDCDBEBE。证证ABEABEACD(ACD(SASSAS)，得，得ACDACDABEABE4545，BCDBCD

21、ACBACBACDACD454545459090，即即CDCDBEBE。探索拓展BACD想一想：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出ABC。固定住长木棍，转动短木棍，得到ABD。这个实验说明了什么？这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。归纳ABCABC和和ABDABD满足满足ABAB=ABAB，ACAC=ADAD，B B=B B，但，但ABCABC与与ABDABD不全不全等等。“SSA”不能作为三角形全等的判定定理数学活动今天我们学了什么？今天我们悟到什么？今天的质疑和发现？梳理反思今天我们学了什

22、么？今天我们悟到什么？三角形全等的判定（SAS）边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1。已知两边，必须找“夹角”2。已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边梳理反思三角形全等的判定第三课时第 十二 章 全等三角形生活情境 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗？3 32 21 1作图探究 先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使AB=AB，A=A，B=B(即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的ABC剪

23、下，放到ABC上，它们全等吗？ACB探究验证ACBABCED作法：（1）画AB=AB；（2）在AB的同旁画DAB=A，EBA=B，AD，BE相交于点C。想一想：从中你能发现什么规律？探究验证文字文字语言语言：两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成“角边角”或“ASA”）几何几何语言语言：A A=A A（已知已知），），），），ABAB=A A B B（已知已知），），），），B B=B B（已知已知），），），），在在ABCABC和和和和ABCABC中中，ABCABCABCABC（ASAASA）。）。）。）。ABCABC“角边角”判定方法探究验证例1已知：ABCDCB，ACBDBC，

24、求证：ABCDCB。ABCABCDCBDCB(已知已知），），BCBCCBCB（公共边（公共边），），ACBACBDBCDBC（已知（已知），），证明：在在ABCABC和和DCBDCB中中，ABCABCDCBDCB（ASAASA）。）。）。）。BCAD典例解析例2如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C，求证：AD=AE。ABCDE分析：证明ACDABE，就可以得出AD=AE。证明：在在ACDACD和和ABEABE中中，A A=A A（公共公共角角），），），），ACAC=ABAB（已知已知），），），），C C=B B（已知已知），），），），ACDACDABEABE（ASAAS

25、A)，ADAD=AEAE。典例解析在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ABCDEF两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(简写成简写成“角角边角角边”或或“AASAAS”）推论探究延伸1.如图，已知ACB=DBC，ABC=CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由。不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边。ABCD练一练当堂练习ABCDEF2.如图ACB=DFE，BC=EF，那么应补充一个条件，才能使ABCDEF（写出一个即可）。B=E或A=D或AC=DF（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以可以吗？吗？

26、ABDE当堂练习3.已知：如图，ABBC，ADDC，1=2，求证：AB=AD。ACDB1 2证明：ABBC，ADDC，B=D=90。在ABC和ADC中，1=2（已知），），B=D（已证），），AC=AC（公共边），），ABC ADC（AAS)，AB=AD。当堂练习 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗？321答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等。学以致用 已知：如图，ABCABC，AD、AD分别是ABC和ABC的高。试说明ADAD，并用一句话说出你的发现。ABC

27、DABCD探索拓展解：因为解：因为ABCABCA A B B C C，所以所以ABAB=A A B B，ABDABD=ABDABD。因为因为ADADBCBC，ADAD BCBC，所以，所以ADBADB=ADBADB。在在ABDABD和和ABDABD中，中，ADBADB=ADBADB（已证（已证），），ABDABD=ABDABD（已证（已证），），AB=ABAB=AB（已证（已证），），所以所以ABDABDABDABD。所以所以AD=ADAD=AD。ABCDABCD 全等三角形对应边上的高也相等。探索拓展今天我们学了什么？今天我们悟到什么？今天的质疑和发现？梳理反思今天我们学了什么？今天我们悟到

28、什么？三角形全等的判定（ASA、AAS）边角边角角边内 容两角及夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“ASA”)应 用为证明线段和角相等提供了新的证法。注 意注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别。两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(简写成“AAS”）梳理反思三角形全等的判定第四课时第 十二 章 全等三角形2.判别两个三角形全等的方法：SSSASAAASSAS1.全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。AAA3.不能确定成立的情形：SSAADBC60606060）温故知新 任意画出一个RtABC，使C=90。再画一个RtABC，使C=90，BC=BC，AB=AB，把画好的

29、RtABC剪下来，放到RtABC上，它们全等吗？ABC探究验证CNMABCAB作法：（1）画MCN=90；（2）在射线CM上截取BC=BC；（3）以点B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A；（4）连接AB。想一想：从中你能发现什么规律？探究验证“斜边、直角边”（HL）判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写成（简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HLHL”）几何几何语言语言：ABCABC在在RtRtABCABC和和RtRtABCABC中，中，RtRtABCABCRtRtABCABC(HLHL)。C C=C C=90=90，“SSA”可以判定两个直角三角形全

30、等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角。AB=ABAB=AB，BC=BCBC=BC，探究验证例1如图，ACBC，BDAD，AC BD，求证：BC AD。证明：证明：ACACBCBC，BDBDADAD，C C与与与与D D都是都是直角。直角。AB AB=BABA，AC AC=BDBD。在在RtRtABCABC和和RtRtBADBAD中，中，RtRtABCABCRtRtBADBAD(HL)(HL)。BCBC ADAD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)。ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中。这是应用“HL”判定方法的书写格式。利用全等证明两条线段相等，这是常

31、见的思路。典例解析1.如图，B=D=90，要证明ABC与ADC全等，还需要补充的条件是（写出一个即可）。答案：AB=AD或BC=DC或BAC=DAC或ACB=ACD。一定一定要注意直角三角形不是只能用要注意直角三角形不是只能用HLHL证明全证明全等，但等，但HLHL只能用于证明直角三角只能用于证明直角三角形的全形的全等。等。注意CABD当堂练习练一练2.如图在ABC中，已知BDAC，CEAB，BD=CE。求证：EBCDCB。ABCED证明：证明：BDBDACAC，CECEABAB，BECBEC=BDCBDC=90=90。在在RtRtEBCEBC和和RtRtDCBDCB中，中，CE=BDCE=B

32、D，BC=CBBC=CB。RtRtEBCEBCRtRtDCBDCB(HL)(HL)。当堂练习AFCEDB3.如图，AB=CD，BFAC，DEAC，AE=CF。求证：BF=DE。证明：证明：BFBFACAC，DEDEACAC，BFABFA=DECDEC=90=90。AE=CFAE=CF，AE+EF=CF+EFAE+EF=CF+EF。即即AF=CEAF=CE。在在RtRtABFABF和和RtRtCDECDE中中，AB=CD AB=CD，AF=CE AF=CE。RtRtABFABFRtRtCDECDE(HL(HL)。BF=DEBF=DE。当堂练习如图，已知AB12米，CAAB于点A，DBAB于点B，

33、且AC4米，点P从点B向点A运动，每分钟走1米，点Q从点B向D运动，每分钟走2米，P，Q两点同时出发，运动几分钟后，CPA与PQB全等？探索拓展如图，已知AB12米，CAAB于点A，DBAB于点B，且AC4米，点P从点B向点A运动，每分钟走1米，点Q从点B向D运动，每分钟走2米，P，Q两点同时出发，运动几分钟后，CPA与PQB全等？解解：当当CPACPAPQBPQB时时，BPBPACAC4(4(米米)，则则BQBQAPAPABABBPBP12124 48(8(米米)，P P的运动时间是的运动时间是41414(4(分钟分钟)，Q Q的运动时间是的运动时间是82824(4(分钟分钟)，P P，Q

34、Q运动时间符合运动时间符合实际情况实际情况，所以当所以当t t4 4分钟分钟时时，两两个三角形全个三角形全等等；探索拓展如图，已知AB12米，CAAB于点A，DBAB于点B，且AC4米，点P从点B向点A运动，每分钟走1米，点Q从点B向D运动，每分钟走2米，P，Q两点同时出发，运动几分钟后，CPA与PQB全等？当当CPACPAPQBPQB时时，BQBQACAC4(4(米米)，APAPBPBPABAB6(6(米米)，则则P P的运动时间是的运动时间是61616(6(分钟分钟)，Q Q运动的时间是运动的时间是42422(2(分钟分钟)，故不能故不能成立成立。综上所述综上所述，运动运动4 4分钟分钟时

35、时，CPACPA与与PQBPQB全全等等。探索拓展今天我们学了什么？今天我们悟到什么？今天的质疑和发现？梳理反思今天我们学了什么？今天我们悟到什么？三角形全等的判定（HL）“斜边、直角边”(HL)内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。前提条件在直角三角形中。使用方法只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等)。梳理反思12.3 角的平分线的性质第一课时第一课时第 十二 章 全等三角形知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些?SSS,SAS,AAS,ASA,HL（2）三角形中有哪些重要线段?三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的

36、角的平分线（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做 .点到直线的距离活动1探究一：角的平分线的作法请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.活动2探究一：角的平分线的作法如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是DAB的平分线.你能说明它的道理吗?ADBCEMNA活动3探究一：角的平分线的作法通过上述探究，你能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法自己动手做做看然后与同伴交流操作心得BDC已知：MAN求作：MAN的角平分线.作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B

37、，交AN于D.（2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在MAN的内部交于点C.（3）画射线AC.射线AC即为所求.活动3探究一：角的平分线的作法思考：1在上面作法的第二步中，去掉“大于的长”这个条件行吗？2第二步中所作的两弧交点一定在MAN的内部吗？总结：1去掉“大于的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线2若分别以B、D为圆心，大于的长为半径画两弧，两弧的交点可能在MAN的内部，也可能在MAN的外部，而我们要找的是MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是MAN的平分线了3角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可

38、4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.活动3探究一：角的平分线的作法练一练：任意画一角AOB，作它的平分线活动1探究二：角的平分线的性质如图，将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？OC表示AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）活动2探究二：角的平分线的性质作已知AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.哪个学生的作法正确？同学乙的画法是正确的同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他

39、的画法不符合要求活动2探究二：角的平分线的性质问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？角平分线上的点到角的两边的距离相等问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：由已知事项推出的事项：OC平分AOB，PDOA，PEOB，D、E为垂足PD=PE活动3探究二：角的平分线的性质以上结论成立吗？请证明.证明：PDOA，PEOB(已知)PDO=PEO=90(垂直的定义)PDO=PEO（已证）AOC=BOC（已知）OP=OP（公共边）PD=PE（全等三角形的对应边相等）在 PDO和 PEO中 PDO PEO（AAS）活动3探究二：角的平分线的性质角的平分线的性质

40、：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 符号语言：AOC=BOC,PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.（已知）PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）活动1探究三：用角的平分线的性质解决简单问题例1(1)下面四个图中,点P都在AOB的平分线上,则图形()中PDPE.A B C D【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.D【解答过程】选项A中如果增加一个条件ODOE，就能得出PDPE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.活动1探究三：用角的平分线的性质解决简单问题例1(2)下图中,PDOA,PEOB，垂足

41、分别为点D、E，则图中PDPE吗?【思路点拨】已知没有告诉OC为AOB的平分线，由此PD与PE不相等.不相等例1(3)如图,ABC中，C90，BD平分ABC，CD2cm，则点D到AB的距离为cm练习：如图,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE=cm.活动1探究三：用角的平分线的性质解决简单问题【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD平分ABC，可得DC=DE=2.E2【思路点拨】由BD平分ABC，可得DC=DE,AD+DE=AD+DC=AC.7活动2探究三：用角的平分线的性质解决简单问题例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、

42、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？【思路点拨】1这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处2在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了1m=100cm，所以比例尺为1:20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思活动2探究三：用角的平分线的性质解决简单问题【作图过程】第一步：尺规作图法作出AOB的平分线OP 第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它

43、到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？知识回顾问题探究课堂小结活动2探究三：用角的平分线的性质解决简单问题练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？S公路铁路P【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.活动3探究三：用角的平分线的性质解决简单问题【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等.证明：例3

44、如图,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB于E，F在BC上，AD=DF.求证：CF=EAC90，BD平分ABC，DEAB于E，DC=DE又AD=DFDCFDEA（HL）CF=EA活动3探究三：用角的平分线的性质解决简单问题练习：如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明BOD COE可得OB=OC.证明：CDAB，BEAC，AO平分BAC，OD=OE，BDO=CEO=90BOD=COE，BOD COEOB=OC知识梳理（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平

45、分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.完成“角的平分线的性质（1）随堂检测”12.3 角的平分线的性质第二课时第 十二 章 全等三角形（1）角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？（3）填空如图：OC平分AOB，_.AC=BC（角平分线性质定理）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.证明垂线段相等OAAC,OBBC探究一：角平分线的判定活动1回

46、顾旧知，回忆类活动把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜想：它正确吗？到角两边距离相等的点在角平分线上.它是正确的.依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.证明：PAOM，BPONOAP=OBP=90在RtAOP和RtBOP中，RtAOPRtBOP（HL）1=2OC平分MON探究一：角平分线的判定活动2证明上面的猜想已知：OMPA于A，ONPB于B，AP=BP求证：OC平分MON归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）探究一：角平分线的判定活动3现有一条题目，两位同学分别用两种方法证

47、明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？已知：CAOA于A，BCOB于B，AC=BC求证：OC平分AOB证法1：CAOA，BCOBA=B在AOC和BOC中，AOCBOC（HL）AOC=BOCOC平分AOB探究二：角平分线性质和判定的区别与联系活动1证法2：CAOA于A，BCOB于B，AC=BCOC平分AOB（角平分线判定定理）归纳：两种方法都正确，“证法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理.现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？已知：CAOA于A，BCOB于B，AC=BC求证：OC平分AOB探究二：角平分线性质和判定的

48、区别与联系结合图形完善表中内容探究二：角平分线性质和判定的区别与联系活动2题设结论作用角平分线性质角平分线判定12（OP平分MON），PAOM，PBONPAPB证明垂线段相等PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）证明角相等（平分角）角平分线的性质和判定之间有什么关系？探究二：角平分线性质和判定的区别与联系活动3角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.今天我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两

49、边距离相等的点在角的平分线上探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算活动1基础性例题它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等例1.已知：如图所示，CC90，ACAC求证：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定）探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算活动1基础性例题证明：（1）CC90（已知），ACBC，ACBC（垂直的定义）又ACAC（已知），点A在CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）ABCABC例1.已知：如图所示，C

50、C90，ACAC求证：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定）探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算活动1证明：（2）CC，ABCABC，180（CABC）180（CABC）即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）练习：如图，已知AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，且DE=DF.求证：BD=DC证明：DEAB，DFAC，且DE=DFBAD=CAD又AB=AC，AD=ADADBADCBD=CD【思路点拨】由DE=DF，可得BAD=CAD（角平分线的判定），则ADBADC，所以BD=CD.探究三：利用角平分线的判定进行证明与计