第4章曲线和曲面 (2)优秀课件.ppt

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1、第第4章曲线和曲面章曲线和曲面(2)1第1页，本讲稿共94页第一节第一节第一节第一节 曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面表示的基础知识曲线和曲面表示的基础知识 n n曲线和曲面参数表示曲线和曲面参数表示 显式表示显式表示隐式表示隐式表示3第3页，本讲稿共94页上述表示法的缺点：上述表示法的缺点：1.1.与坐标轴相关，不便于进行坐标变换；与坐标轴相关，不便于进行坐标变换；2.2.会出现斜率为无穷大的情况；会出现斜率为无穷大的情况；3.3.难以灵活地构造复杂的曲线、曲面；难以灵活地构造复杂的曲线、曲面；4.4.非参数的显示方程非参数的显示方程y=f(x)只能描述平面曲线，只

2、能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面空间曲线必须定义为两张柱面y=f(x)与与z=g(x)的交的交线，无法用统一的形式表示空间曲线和曲面；线，无法用统一的形式表示空间曲线和曲面；5.5.表示多值函数表示多值函数困难。困难。4第4页，本讲稿共94页 在在空空间间曲曲线线的的参参数数表表示示中中，曲曲线线上上每每一一点点的的坐坐标标均均要要表表示示成成某某个个参参数数t t的的一一个个函函数数式式，则则曲曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：线上每一点笛卡尔坐标参数式是：把把三三个个方方程程合合写写到到一一起起，曲曲线线上上一一点点坐坐标标的的矢量表示是：矢量表示是：5第5页，本讲稿共94页关于参

3、数关于参数t t的切矢量或导函数是：的切矢量或导函数是：曲面写为参数方程形式为曲面写为参数方程形式为:曲线的某一部分，可以简单地用曲线的某一部分，可以简单地用atb界定它的界定它的范围，范围，通常经过对参数变量的规格化，使通常经过对参数变量的规格化，使t在在0,1闭区间内变化，写成闭区间内变化，写成t0,1，对此区间内的参数曲，对此区间内的参数曲线进行研究。线进行研究。6第6页，本讲稿共94页例题：参数表示的直线段例题：参数表示的直线段 端点坐标分别是端点坐标分别是P1x1,y1，P2x2,y2，直线段的参数表达式是：直线段的参数表达式是：P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP

4、2 0t1；参数表示相应的参数表示相应的x,y坐标分量是：坐标分量是：x(t)=x1+(x2-x1)t y(t)=y1+(y2-y1)t 0t1 7第7页，本讲稿共94页空间直线段：空间直线段：P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2 P(t)代表曲线上的一点代表曲线上的一点P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP2 8第8页，本讲稿共94页参数方程具有如下优点参数方程具有如下优点:(1)(1)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；变换；对参数表示的曲线、曲面

5、可对其参数对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。转）。(2)(2)便于处理斜率为无限大的问题。便于处理斜率为无限大的问题。(3)(3)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。9第9页，本讲稿共94页(4)(4)参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于用户把低完全分离的，而且对变量个数不限，便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。

6、维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。(5)(5)规格化的参数变量规格化的参数变量t t0,1,0,1,使其相应的几何分使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。(6)(6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。易行。10第10页，本讲稿共94页n n 基本概念基本概念 曲线和曲面可以分为两类。曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为一类要求通过事先给定的离散的点

7、，称为是是插值的曲线或曲面插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形状，称为是形状，称为是逼近的曲线或曲面逼近的曲线或曲面。事先给定的离散点常称为事先给定的离散点常称为型值点型值点，由型值，由型值点求插值的或逼近的曲线或曲面的问题，称为点求插值的或逼近的曲线或曲面的问题，称为是是曲线或曲面的拟合问题曲线或曲面的拟合问题。11第11页，本讲稿共94页n n插插值值(interpolation)要要求求构构造造一一条条曲曲线线顺顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插

8、值。序通过型值点，称为对这些型值点进行插值。n n逼近逼近(approximation)构造一条曲线，使它构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近。对这些型值点进行逼近。12第12页，本讲稿共94页给定函数给定函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b中互异的中互异的n n个点的值个点的值f(xf(xi i),),i=1,2,n,i=1,2,n,基于这些数据寻找某一个函数基于这些数据寻找某一个函数，要求，要求 ，为为f(x)f(x)的插值函数，的插值函数，x xi i为插值节点。为插值节点。(1)(1)线性插值线性插值

9、设已知函数设已知函数f(x)在两个不同点在两个不同点x1,x2的值，的值，y1=f(x1)，y2=f(x2)，用线性函数，用线性函数 近似代替近似代替y=f(x),选择选择a,b使使 ，则称，则称 为为f(x)的线性插值函数。的线性插值函数。(2)(2)抛物线插值抛物线插值(二次插值）二次插值）设已知设已知f(x)在三个互异点在三个互异点x1,x2,x3的函数值为的函数值为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),要求构造函数要求构造函数 在节点在节点xi处有处有 ，称，称 为为f(x)的二次插值。的二次插值。13第13页，本讲稿共94页逼近常用方法逼近常用方法 最小二乘法最小二乘

10、法假设已知一组型值点假设已知一组型值点(xi,yi),i=1,2,n,要求构造一个要求构造一个m(mn-1)次多项式函数次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点。逼近这些型值点。偏差的平方和最小：偏差的平方和最小：加权平方和最小：加权平方和最小：令令F(x)F(x)为一个为一个m m次多项式次多项式 最小二乘法就是定出最小二乘法就是定出ai i使偏差平方和最小。使偏差平方和最小。14第14页，本讲稿共94页n n 参数连续性参数连续性 一函数在某一点一函数在某一点x0处具有相等的直到处具有相等的直到k阶阶的左右导数，称它在的左右导数，称它在x0处是处是k次连续可微的次连续可微的，或称它在或称它在

11、x0处是处是k阶连续的阶连续的，记作，记作Ck。几何上。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。向、曲率是连续的。由于参数曲线的可微性与所取参数有关，由于参数曲线的可微性与所取参数有关，故常把参数曲线的可微性称为故常把参数曲线的可微性称为参数连续性参数连续性。15第15页，本讲稿共94页n n 几何连续性几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有点处具有Ck连续性，则称它们在该点处具有连续性，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作阶几何连续性，记作Gk。零阶几何连续。零阶几何连续G0与零

12、与零阶参数连续阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续是一致的。一阶几何连续G1指一指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。16第16页，本讲稿共94页曲线段间曲线段间C1、C2和和G1、G2连续性定义连续性定义 1.Q1(1)=Q2(0),则则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C0和和G0连续性；连续性；2.Q1(1)和和Q2(0)在在P处重合，且其在处重合，且其在P点处的切矢量方向点处的切

13、矢量方向 相同，大小相等，则相同，大小相等，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C1连续性；连续性；3.Q1(1)和和Q2(0)在在P处重合，且其在处重合，且其在P点处的切矢量方向点处的切矢量方向 相同，大小不等，则相同，大小不等，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有G1连续性；连续性；4.Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有C0和和C1连续，且连续，且Q”1(1)和和 Q”2(0)大小方向均相同，则大小方向均相同，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处有处有C2连连 续性；续性；5.Q1(1)和和Q2(0)在在P处已有处已有G0和和G1连续，且连续，且Q”1(1)和和 Q”2(0)

14、方向相同但大小不等，则方向相同但大小不等，则Q1(t)和和Q2(t)在在P处处 有有G2连续性；连续性；6.推推广广之之，Q1(1)和和Q2(0)在在P处处已已有有C0、C1、Cn1连连续续，若若Q(n)1(1)和和Q(n)2(0)在在P处处大大小小和和方方向向均均相相同同，则则说说Q1(t)和和Q2(t)在在P处具有处具有Cn连续性。连续性。17第17页，本讲稿共94页18第18页，本讲稿共94页19第19页，本讲稿共94页n n 光顺光顺 光顺（光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应要光滑顺畅。对于平面曲线相对

15、光顺的条件应该是：该是：（1 1）具有二阶几何连续）具有二阶几何连续（G2）；（2 2）不存在多余拐点和奇异点；）不存在多余拐点和奇异点；（3 3）曲率变化较小。）曲率变化较小。20第20页，本讲稿共94页第二节第二节 Hermite多项式多项式 已知函数已知函数f(t)在在k+1个点个点ti处的函数值和处的函数值和导数值导数值f(j)(ti)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求确定一个要求确定一个N=m0+m1+mk-1次的多次的多项式项式P(t)，满足下面的插值条件：，满足下面的插值条件：多项式多项式P(t)就是对于函数就是对于函数f(t)的的Hermite插插值多项式。数学上已经

16、证明，这样的多项式是值多项式。数学上已经证明，这样的多项式是存在且唯一的。存在且唯一的。21第21页，本讲稿共94页共计N=m0+m1+m2+mk个已知条件。22第22页，本讲稿共94页 当当m0=m1=mk=1时，这个问题就是熟知时，这个问题就是熟知的的Lagrange插值插值问题，即已知问题，即已知 f(t)在在k+1个点上的个点上的函数值函数值 f(ti)，求一个，求一个k次多项式使之满足次多项式使之满足 。23第23页，本讲稿共94页 设表示一条曲线的某个函数设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点在四点t0，t1，t2，t3的函数值的函数值f(t0),f(t1),f(t2),f(t3)

17、，根据，根据Lagrange插值法，则三次多项式插值法，则三次多项式P(t)可表示为：可表示为：n 选择选择四个不同的点四个不同的点作为构造曲线的条件作为构造曲线的条件 24第24页，本讲稿共94页混合函数混合函数如下如下：25第25页，本讲稿共94页n n 考查考查k=1，m0=m1=2的情形。的情形。已已知知表表示示一一条条曲曲线线的的某某个个函函数数f(t)在在两两点点t0，t1的的函函数数值值f(t0),f(t1)和和一一阶阶导导数数值值f(t0),f(t1)，求三次多项式，求三次多项式P(t):使满足：使满足：26第26页，本讲稿共94页可得到下列一组方程：可得到下列一组方程：27第

18、27页，本讲稿共94页28第28页，本讲稿共94页29第29页，本讲稿共94页把把a0，a1，a2和和a3代入代入4.1则有：则有：30第30页，本讲稿共94页经整理，所求多项式经整理，所求多项式P0(t)可以写出如下：可以写出如下：混合函数混合函数如下：如下：4.231第31页，本讲稿共94页4.332第32页，本讲稿共94页33第33页，本讲稿共94页 为为了了使使P0(t)的的定定义义区区间间t0tt1变变为为区区间间0u1，可以做如下变换，可以做如下变换解出解出 ，代入混合函数（，代入混合函数（4.34.3）式中，得：式中，得：4.434第34页，本讲稿共94页4.535第35页，本讲

19、稿共94页4.536第36页，本讲稿共94页 将关于将关于u的混合函数代入，所求的三次多的混合函数代入，所求的三次多项式成为：项式成为：37第37页，本讲稿共94页再令再令38第38页，本讲稿共94页得到：得到：39第39页，本讲稿共94页40第40页，本讲稿共94页41第41页，本讲稿共94页 对对一一般般的的Hermite插插值值问问题题，也也可可以以得得到到类类似似结结果果。但但插插值值多多项项式式次次数数较较高高时时，应应用起来不方便。用起来不方便。通通常常的的处处理理办办法法是是将将前前面面给给出出的的参参数数三三次次多多项项式式逐逐段段光光滑滑地地连连接接，如如此此来来确确定定一一

20、般般情况下的插值多项式。情况下的插值多项式。42第42页，本讲稿共94页 将前面将前面t0和和t1视为视为ti和和ti+1，设给定，设给定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则在区间，则在区间ti，ti+1的的Hermite三次插值多项式三次插值多项式Pi(t)是：是：43第43页，本讲稿共94页44第44页，本讲稿共94页 为了完整地写出这个插值多项式，可以在为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间区间ti，ti+1中引入如下一些基本函数：中引入如下一些基本函数：45第45页，本讲稿共94页46第46页，本讲稿共94页完整的插值多项式可写为完整的插值多项式可写为：上式在区

21、间上式在区间t0，tn中有定义，且为分段定义。在中有定义，且为分段定义。在每个区间每个区间 ti，ti+1上，都恰有四项。满足插值条件上，都恰有四项。满足插值条件 47第47页，本讲稿共94页 利用利用Hermite插值方法可以为构造插值的曲插值方法可以为构造插值的曲线提供一个解法。线提供一个解法。设我们已知设我们已知n+1个型值点的位置向量个型值点的位置向量Pi和切和切线向量线向量Pi，i=0，1，n，则通过这些插值，则通过这些插值点并且在插值点处切线向量为给定值的三次参点并且在插值点处切线向量为给定值的三次参数样条曲线为：数样条曲线为：48第48页，本讲稿共94页每段曲线每段曲线每段曲线每

22、段曲线P Pi i(t)只在只在只在只在 t ti，ti+1中有定义：中有定义：49第49页，本讲稿共94页做自变量的线性变换做自变量的线性变换 用逆变换用逆变换 代入，将所得关于代入，将所得关于u 的多的多项式记为项式记为 ，得，得 50第50页，本讲稿共94页51第51页，本讲稿共94页例题例题:设在平面上有两点设在平面上有两点P0，P Pl，它们的位置向量，它们的位置向量分别为分别为(1，1)，(4，2)，在，在P0 0的导数值即在该的导数值即在该点的切线向量点的切线向量P 0 0=(1，1),在在Pl l处处P1=(1，-1)。52第52页，本讲稿共94页53第53页，本讲稿共94页算

23、法演示算法演示54第54页，本讲稿共94页第三节第三节 Coons Coons曲面曲面 55第55页，本讲稿共94页56第56页，本讲稿共94页uw表示了曲面片的方程表示了曲面片的方程0w，1w，u0，u1表示四条边界曲线，表示四条边界曲线，u0u表示在边界线表示在边界线u0上的点沿上的点沿u向的一阶偏导数向的一阶偏导数向量，称边界线的向量，称边界线的切向量切向量，u0w表示边界线表示边界线u0上的点沿上的点沿w向的一阶偏导数向向的一阶偏导数向量，称边界线的量，称边界线的跨界切向量跨界切向量，uwuu，uwuw，uwww分别表示曲面片分别表示曲面片uw关于关于u和和w的二阶偏导数向量，于是的二

24、阶偏导数向量，于是u0uu表示边界线表示边界线u0上的上的二阶切向量二阶切向量，u0ww表示边界线表示边界线u0上的二阶上的二阶跨界切向量跨界切向量。uwuw为曲面片为曲面片P在点在点(u,w)处的处的扭曲向量扭曲向量。57第57页，本讲稿共94页特别，用特别，用00，01，10，11分别表示曲面片四个角点分别表示曲面片四个角点时，时，00uw，01uw，10uw，11uw就分别表示在四个角就分别表示在四个角点的扭曲向量。点的扭曲向量。58第58页，本讲稿共94页59第59页，本讲稿共94页问题问题1 1：构造具有指定边界曲线的曲面片：构造具有指定边界曲线的曲面片 Coons给给出出的的一一个

25、个解解法法是是：寻寻找找两两个个混混合合函函数数f0(t)和和f1(t)，它它们们是是连连续续的的，并并且且满满足足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且且f0(t)+f1(t)=1，0t1。利利用用这这样样的的混混合合函函数数，通通过过四四条条边边界界构构造造曲曲面面片片，并并通通过过叠叠加加修修正正曲曲面面片片，产产生生满满足用户需要的曲面。足用户需要的曲面。60第60页，本讲稿共94页61第61页，本讲稿共94页直纹面（直纹面（直纹面（直纹面（Ruled SurfaceRuled Surface）：）：）：）：可以通过直线的运动构可以通过直线的运动构造出来的曲

26、面。动直线称为直母线（简称母线）。造出来的曲面。动直线称为直母线（简称母线）。例如：柱面、圆锥面。例如：柱面、圆锥面。62第62页，本讲稿共94页63第63页，本讲稿共94页 若给定四条边界曲线若给定四条边界曲线若给定四条边界曲线若给定四条边界曲线u0u0，u1u1，0w0w，1w1w，且，且，且，且0u10u1，0w10w1 在在在在u u向进行线性插值，得到向进行线性插值，得到向进行线性插值，得到向进行线性插值，得到直纹面直纹面为：为：64第64页，本讲稿共94页 在在w向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：65第65页，本讲稿共94页011100100wu0u11w

27、uw011100100w1wuwP1(u,w)01110010u0u1uwP2(u,w)66第66页，本讲稿共94页 Ps(u,w)上的任意一点，其位移矢量包含两部上的任意一点，其位移矢量包含两部分，一部分是由于分，一部分是由于线性插值线性插值而产生的位移，另一而产生的位移，另一部分是由于部分是由于边界曲线边界曲线而产生的位移。而产生的位移。把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面Ps(u,w)：67第67页，本讲稿共94页 为消除为消除Ps(u,w)中由于线性插值而产生的位移，需中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面要构造一个新的曲面P3(u,w)68第

28、68页，本讲稿共94页 构造曲面构造曲面P3(u,w)后，从后，从Ps(u,w)中去除中去除P3(u,w)，即去除线性插值的成分，则得到，即去除线性插值的成分，则得到Coons构造曲面构造曲面 P(u,w)=Ps(u,w)-P3(u,w)=P1(u,w)+P2(u,w)-P3(u,w)可写成如下形式：可写成如下形式：69第69页，本讲稿共94页70第70页，本讲稿共94页其中矩阵其中矩阵其中矩阵其中矩阵M是：是：矩矩阵阵中中四四个个元元素素是是四四个个角角点点的的位位置置向向量量，可可用用已已知知四四条边界曲线计算求出。条边界曲线计算求出。u0，u1可以是关于可以是关于u的三次多项式，的三次多

29、项式，0w，1w可以是可以是关于关于w的三次多项式，混合函数也是不超过三次的的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于关于u或或w的三次多项式，这时公式关于的三次多项式，这时公式关于u看，或关于看，或关于w看，都是三次多项式，是关于看，都是三次多项式，是关于u或或w的双三次多项式。的双三次多项式。71第71页，本讲稿共94页72第72页，本讲稿共94页73第73页，本讲稿共94页 不难验证它们符合所提问题的要求，例如我不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证们来验证0w是它的一条边界线，只要把是它的一条边界线，只要把是它的一条边界线，只要把是它的一条边界线，只要把u=0代入公代入公式右端

30、，得式右端，得 74第74页，本讲稿共94页问题问题2 2：曲面片：曲面片以指定的曲线为其边界曲线，且有以指定的曲线为其边界曲线，且有指定的跨界切向量指定的跨界切向量。利用本章第二节定义的四个混合函数利用本章第二节定义的四个混合函数q00(t),q0101(t),q10(t),q11(t)。这四个函数均是三次多项。这四个函数均是三次多项式，连续可微，并且还满足下面的条件：式，连续可微，并且还满足下面的条件：75第75页，本讲稿共94页76第76页，本讲稿共94页 设已经给定四条边界曲线设已经给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w及沿这四条边界曲线的跨界切向量及沿这四条边界曲线的跨界切向量u0w

31、，u1w，0wu，1wu。这时可以计算求得四个角点的位置向量这时可以计算求得四个角点的位置向量00，01，10，11，切向量，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，以及扭曲向量，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，可以写出符合要求曲面片的数学表，可以写出符合要求曲面片的数学表达式如下：达式如下：77第77页，本讲稿共94页78第78页，本讲稿共94页 容易地验证所写出的公式满足要求，例如以容易地验证所写出的公式满足要求，例如以u=0代入该式右端，得：代入该式右端，得：79第79页，本讲稿共94页80第80页，本讲稿共94页 曲面片沿边界线取给定的

32、各跨界切向量，可曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对该式关于某一变量求导，例如对先对该式关于某一变量求导，例如对u求导，然后求导，然后再代入再代入u=0，有，有 81第81页，本讲稿共94页82第82页，本讲稿共94页问题问题3：指定：指定四个角点四个角点四个角点四个角点以及在这些点上的以及在这些点上的切向量和切向量和扭曲向量扭曲向量后，求解曲面的表达式。后，求解曲面的表达式。已知角点位置向量已知角点位置向量00，10以及在这两点关于以及在这两点关于u的的切向量切向量00u u和和01u，可以用，可以用，可以用，可以用HermiteHermite插值公式来指定一插值公式来指定一插值公式来

33、指定一插值公式来指定一条条条条u边界线：边界线：边界线：边界线：83第83页，本讲稿共94页84第84页，本讲稿共94页85第85页，本讲稿共94页86第86页，本讲稿共94页87第87页，本讲稿共94页88第88页，本讲稿共94页将上两式代入前式，就可以得到：将上两式代入前式，就可以得到：89第89页，本讲稿共94页90第90页，本讲稿共94页例：例：给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭曲向量来构造曲向量来构造Coons曲面表达式。设在平面上有曲面表达式。设在平面上有四点四点P0，Pl，P2，P3，它们的位置向量分别为，它们的位置向量分别为(0，0，0)，(0，0.75，0)，(0.75，0，0)，(0.75，0.75，0)。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵定义在关于角点的信息矩阵M中：中：91第91页，本讲稿共94页92第92页，本讲稿共94页93第93页，本讲稿共94页94第94页，本讲稿共94页