第6章 分子动理论优秀课件.ppt

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1、第6章分子动理论1第1页，本讲稿共76页6-1平衡态温度状态方程平衡态温度状态方程一、热力学系统一、热力学系统 平衡态平衡态1 1、热力学系统、热力学系统热力学系统分类热力学系统分类根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种：根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种：(1)孤立系统与外界既无能量交换，又无物质交换的系统孤立系统与外界既无能量交换，又无物质交换的系统(2)封闭系统与外界只有能量交换，但无物质交换的系统封闭系统与外界只有能量交换，但无物质交换的系统(3)开放系统与外界既有能量交换，又有物质交换的系统开放系统与外界既有能量交换，又有物质交换的系统由大量微观粒子（分子、原

2、子等微观粒子）所组成的宏观物体或系由大量微观粒子（分子、原子等微观粒子）所组成的宏观物体或系统。统。、平衡态、平衡态指在不受外界影响（或不变的）的条件下，系统的宏观性质不随指在不受外界影响（或不变的）的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态时间变化的状态称热平衡态。称热平衡态。2第2页，本讲稿共76页系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、热平衡、相平衡中。热平衡、相平衡中。从微观的角度应理解为动态平衡态从微观的角度应理解为动态平衡态若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很大，若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很

3、大，即重力加速度随高度的变化可以忽略，则在达热力学平衡态时，即重力加速度随高度的变化可以忽略，则在达热力学平衡态时，上述宏观量不仅是上述宏观量不仅是稳定的稳定的（指不随时间变化）（指不随时间变化）还是还是均匀的均匀的（即不随位（即不随位置变化）置变化）。平衡态是一种是理想概念平衡态是一种是理想概念处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此可以用一处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此可以用一些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来描写热平衡态下各些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫种宏观属性的物理量叫系统的宏观参量。系统的宏观参量

4、。3第3页，本讲稿共76页我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几个物理量作我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几个物理量作为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态参量。为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态参量。主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量，主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量，化学参量，化学参量，电磁参量电磁参量;体积体积V，压强，压强P，热力学温度，热力学温度T，摩尔数，摩尔数v。二、温度二、温度 温标温标 、温度概念、温度概念温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量。温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量。温度概念的建立是以热平衡为基础的。温度概念的建立是以热平衡

5、为基础的。4第4页，本讲稿共76页ABAB绝热壁绝热壁导热壁导热壁ABCABC如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么，这两个系统彼如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么，这两个系统彼此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律。5第5页，本讲稿共76页处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性质，我处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性质，我们把描述系统这一共同宏观性质的物理量称为系统的温度们把描述系统这一共同宏观性质的物理量称为系统的温度。、温标温度计、温标温度计温度计要能定量表示和测量温度，还需要建立温标温度计要能定量表示

6、和测量温度，还需要建立温标即即温度的数值表示法温度的数值表示法。其一、要选定一种合适物质（称测温质）的测温特性；其一、要选定一种合适物质（称测温质）的测温特性；其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系（线性）；其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系（线性）；其三、选定温度的标准点（固定点），并把一定间隔的冷热程度其三、选定温度的标准点（固定点），并把一定间隔的冷热程度分为若干度。分为若干度。主要有三个步骤主要有三个步骤温度计温度计:即测温的工具。即测温的工具。6第6页，本讲稿共76页、热力学温标、热力学温标规定水的三相点（水，冰和水蒸汽平衡共存的状态）为规定水的三相点（水，冰和水蒸汽平衡

7、共存的状态）为273.16K。一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文（一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文（lordKelvin）在）在热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热力学温标。热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热力学温标。例如，（一个大气压下）例如，（一个大气压下）对水的冰点，华氏温标为对水的冰点，华氏温标为32F0，攝氏温标为，攝氏温标为0C0,对水的沸点，华氏温标为对水的沸点，华氏温标为212F0，攝氏温标为，攝氏温标为100C0。由热力学温标可导出摄氏温度由热力学温标可导出摄氏温度t.选用不同的测温物质或不同的测温特性，测量同一系统所得选用不同的测温物质或不同的测

8、温特性，测量同一系统所得的温度数值，一般情况下并不完全相同。的温度数值，一般情况下并不完全相同。7第7页，本讲稿共76页三、理想气体及其状态方程三、理想气体及其状态方程1、理想气体、理想气体2、理想气体的状态方程、理想气体的状态方程热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样的关热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样的关系叫系统的状态方程系叫系统的状态方程克拉珀龙方程克拉珀龙方程式中是气体普适常量，在中式中是气体普适常量，在中8.31(Jmol-1K-1),Mmol是气体的摩尔质量。是气体的摩尔质量。过程方程过程方程 8第8页，本讲稿共76页、状态图（图、图、图）、状态图

9、（图、图、图）气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态图来表示，气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态图来表示，而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同的状态在状态图中对应而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同的状态在状态图中对应点不同点不同。在状态图中，一条光滑的曲线代在状态图中，一条光滑的曲线代表一个由无穷多个平衡态所组成的表一个由无穷多个平衡态所组成的变化过程，如右图所示。变化过程，如右图所示。曲线上的箭头表示过程进行曲线上的箭头表示过程进行的方向。的方向。由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述，因此在状态由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述，因

10、此在状态图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之对应。图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之对应。9第9页，本讲稿共76页6-26-2理想气体压强公式理想气体压强公式理想气体压强公式理想气体压强公式一、理想气体分子的微观模型一、理想气体分子的微观模型3、分子间，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，遵守动、分子间，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，遵守动量和能量守恒定律。量和能量守恒定律。即：即：理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守 经典力学规律的弹性质点。经典力学规律的弹性质点。1、分子可以看作质点。、分子可以看作质点。（除特别考虑）2、

11、除碰撞外，分子之间，分子与器壁不计相互作用力。、除碰撞外，分子之间，分子与器壁不计相互作用力。10第10页，本讲稿共76页二、气体分子的统计假设二、气体分子的统计假设每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶然性，才使每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶然性，才使得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具有统计平均意义，称为统得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具有统计平均意义，称为统计规律性。计规律性。在平衡态，当重力的影响可以忽略时，容积内各处的压强、密度、在平衡态，当重力的影响可以忽略时，容积内各处的压强、密度、温度都相同，而分子始终在作无规则的热运动，故我们可以认为：

12、温度都相同，而分子始终在作无规则的热运动，故我们可以认为：(1)每个分子向各个方向运动的机会均等每个分子向各个方向运动的机会均等（）；(2)对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等()()；11第11页，本讲稿共76页以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质。以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质。(4)(4)每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰撞每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰撞而发生变化，因而分子具有各种可能的速度。对于全同分子，而发生变化，因而分子具有各种可能的速度。对于全同分子，不会因碰撞而丢失具有某

13、一速度的分子。不会因碰撞而丢失具有某一速度的分子。例如例如：(3)(3)分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等；分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等；12第12页，本讲稿共76页三、压强的统计解释三、压强的统计解释设器壁光滑，考虑速度为设器壁光滑，考虑速度为v vi i的的分子分子,现讨论其对于现讨论其对于面的面的碰撞。碰撞。设一容器，边长为设一容器，边长为 1、2、3，内有个分子。，内有个分子。对于对于i i分子分子：、先考察一个分子（例如、先考察一个分子（例如i分子）一次碰撞中给予器壁分子）一次碰撞中给予器壁A1的冲量的冲量由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，i分子给予器壁的

14、冲量为分子给予器壁的冲量为13第13页，本讲稿共76页、i分子在单位时间内施于分子在单位时间内施于A1面的平均冲力面的平均冲力i i分子单位时间内与分子单位时间内与A A1 1面碰撞的次数为面碰撞的次数为 则则i分子单位时间内施于分子单位时间内施于A1面的总冲量（冲力）为面的总冲量（冲力）为、所有分子在单位时间内对器壁的冲力、所有分子在单位时间内对器壁的冲力对对i求和求和故若令故若令表示分子在表示分子在X方向速率平方方向速率平方的平均值，的平均值，14第14页，本讲稿共76页那么那么 于是所有分子在单位时间内施于于是所有分子在单位时间内施于A1面的冲力为面的冲力为、求压强的统计平均值、求压强的

15、统计平均值令令为分子数密度（即单位体积内的分子数）为分子数密度（即单位体积内的分子数）又由统计平均的观点有又由统计平均的观点有所以所以15第15页，本讲稿共76页引入分子平均平动动能引入分子平均平动动能压强的微观解释压强的微观解释:(2)气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞冲力的时气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞冲力的时间平均值。间平均值。因此，对少量分子或个别分子上述公式不成立因此，对少量分子或个别分子上述公式不成立。气体压强与大气压强的区别：气体压强与大气压强的区别：前者如上所述，后者则是空气重量所致。前者如上所述，后者则是空气重量所致。(1)压强是对大量分

16、子的分子数密度和分子平均平动动能的压强是对大量分子的分子数密度和分子平均平动动能的统计平均结果。统计平均结果。-这就是宏观量这就是宏观量P P与微观量与微观量 之间的关系。之间的关系。16第16页，本讲稿共76页6-3温度的统计解释温度的统计解释一、温度的统计解释一、温度的统计解释（N No o为阿伏加德罗常数）为阿伏加德罗常数）理想气体方程理想气体方程玻尔兹曼恒量玻尔兹曼恒量17第17页，本讲稿共76页则有则有：或或 、温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。、温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。、宏观量温度、宏观量温度T是一是一统计概念统计概念，上式给出的是上式给出的是“动态动态”的含

17、义，非平衡态系统不能用温度的含义，非平衡态系统不能用温度来描述。来描述。是是大量分子大量分子无规则热运动的集体表现，是无规则热运动的集体表现，是分子平均平动分子平均平动动能的量度。动能的量度。此即宏观量此即宏观量T T与微观量与微观量 的关系，这说明的关系，这说明18第18页，本讲稿共76页4、温度所描述的运动是分子无规则运动（热运动，是相对质心温度所描述的运动是分子无规则运动（热运动，是相对质心参照系，平动动能是系统的内动能）参照系，平动动能是系统的内动能），、上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，则分子的平上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，则分子的平均平动动能就相同。均平动动能

18、就相同。6、阿伏加德罗定律的一种表述阿伏加德罗定律的一种表述，即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密度相同即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密度相同这这是一个很有用的公式是一个很有用的公式温度和系统的整体运动无关。温度和系统的整体运动无关。例如铜块中的自由电子在时平均平动动能为例如铜块中的自由电子在时平均平动动能为4.23eV。3、零点能的问题、零点能的问题19第19页，本讲稿共76页二、气体分子的方均根速率二、气体分子的方均根速率称之为气体分子的方均根速率。称之为气体分子的方均根速率。20第20页，本讲稿共76页例例6-1求求时氢分子和氧分子的平均平动动能和方均根速率时

19、氢分子和氧分子的平均平动动能和方均根速率解：已知解：已知氢分子和氧分子的平均平动动能相等，均为氢分子和氧分子的平均平动动能相等，均为氢分子的方均根速率氢分子的方均根速率21第21页，本讲稿共76页氧分子的方均根速率氧分子的方均根速率22第22页，本讲稿共76页例例62在一密闭容器中，储有在一密闭容器中，储有A A、B B、C C三种理想气体，处于平衡三种理想气体，处于平衡状态。状态。A A种气体的分子数密度为种气体的分子数密度为n n1 1，它产生的压强为，它产生的压强为P P1 1，B B种气体的种气体的分子数密度为分子数密度为2n2n1 1，C C种气体的分子数密度为种气体的分子数密度为3

20、n3n1 1，则混合气体的压强，则混合气体的压强P P为为 (A)3P (A)3P1 1 (B)4P (B)4P1 1 (C)5P (C)5P1 1 (D)6P (D)6P1 1答答 D D23第23页，本讲稿共76页例例63在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是(1).(2).沿空间各方向运动的分子数目相等沿空间各方向运动的分子数目相等24第24页，本讲稿共76页例例64推导理想气体压强公式可分四步：推导理想气体压强公式可分四步：(1)求任一分子求任一分子i一次碰撞器壁施于器壁的冲量一次碰撞器壁施于器壁的冲量2mvix；(2)求分

21、子求分子i在单位时间内施于器壁的冲量的总和（在单位时间内施于器壁的冲量的总和（m/l1）(vix)2(3)求所有求所有N个分子在单位时间内施于器壁的总冲量个分子在单位时间内施于器壁的总冲量N（m/l1）(vix)2；(4)求所有分子在单位时间内施于单位面积器壁的总冲量求所有分子在单位时间内施于单位面积器壁的总冲量压强。压强。在上述四步过程中，哪几步用到了理想气体的假设？哪几步用到了在上述四步过程中，哪几步用到了理想气体的假设？哪几步用到了平衡态的条件？哪几步用到了统计平均的概念？平衡态的条件？哪几步用到了统计平均的概念？(l1、l2、l3分别为长分别为长方形容器的三个边长方形容器的三个边长)答

22、答：(1),(2),(3)用到了理想气体的假设用到了理想气体的假设,(2),(4)用到了平衡态的条件，用到了平衡态的条件，(4)用到了统计平均的概念。用到了统计平均的概念。25第25页，本讲稿共76页6-4 6-4 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 内能内能一、自由度一、自由度、什么叫自由度：、什么叫自由度：决定一个物体在空间位置所需的最少的独立坐标数。决定一个物体在空间位置所需的最少的独立坐标数。例如，例如，一个自由质点一个自由质点的自由度是的自由度是33个平动自由度个平动自由度26第26页，本讲稿共76页XYZABC一个自由刚体的自由度是一个自由刚体的自由度是6 3 3个平动自由度

23、，以确定质心的位置；个平动自由度，以确定质心的位置；3个转动自由度，以确个转动自由度，以确定轴和绕轴转动的角度。定轴和绕轴转动的角度。注意：当物体运动受注意：当物体运动受到一定限制或约束时，到一定限制或约束时，自由度减少。自由度减少。结论：一个自由度对应着一个独立的坐标，结论：一个自由度对应着一个独立的坐标，表明一种独立的运动。表明一种独立的运动。27第27页，本讲稿共76页XYZXYZCc 理想气体的刚性分子理想气体的刚性分子A：单原子分子：单原子分子-3个自由度个自由度（视作质点）（视作质点）B：双原子分子：双原子分子决定质心决定质心-3个自由度个自由度确定转轴方位确定转轴方位-2个自由度

24、个自由度C：三原子以上的分子：三原子以上的分子6 6个自由度个自由度-视为刚体视为刚体 实际气体实际气体-不能看成刚性分子，因原子之间还有振动。不能看成刚性分子，因原子之间还有振动。、气体分子的自由度、气体分子的自由度与气体分子的结构有关与气体分子的结构有关28第28页，本讲稿共76页二、能量按自由度均分原理二、能量按自由度均分原理1 1、分子的平均平动能平均地分配在每一个平动自由度上，且每、分子的平均平动能平均地分配在每一个平动自由度上，且每一个平动自由度上的平均平动能的大小都是一个平动自由度上的平均平动能的大小都是(1/2)kT(1/2)kT。之所以会出现上述结果，是因为分子无规则热运动，

25、相互碰之所以会出现上述结果，是因为分子无规则热运动，相互碰撞后达热平衡的结果。撞后达热平衡的结果。29第29页，本讲稿共76页2、能均分原理、能均分原理上述结果可推广到转动和振动自由度（这是因为他们之间都能通过上述结果可推广到转动和振动自由度（这是因为他们之间都能通过碰撞而交换能量）。即得：碰撞而交换能量）。即得：在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势。一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势。在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能相在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动

26、能相 等，每一个自由度的能量均为等，每一个自由度的能量均为 。这就是能均分原理这就是能均分原理3、气体分子的平均总动能，气体分子的热运动能量、气体分子的平均总动能，气体分子的热运动能量（1 1）一个自由度为）一个自由度为i i的刚性分子所具有的平均总动能为的刚性分子所具有的平均总动能为30第30页，本讲稿共76页单原子分子单原子分子全为平均平动能全为平均平动能双原子分子双原子分子平均平动能为平均平动能为平均平动能为平均平动能为多原子分子多原子分子平均转动能为平均转动能为31第31页，本讲稿共76页三、理想气体分子的内能三、理想气体分子的内能、什么是内能：、什么是内能：内能是指系统内所有分子的热

27、运动能量和分子间相互作用势能内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和。之总和。、内能是态函数、内能是态函数、理想气体内能、理想气体内能（）（）由于理想气体不计分子间相互作用力，因此由于理想气体不计分子间相互作用力，因此理想气体的内能仅理想气体的内能仅为热运动能量之总和。为热运动能量之总和。是热力学状态参量是热力学状态参量P P、V V、T T的函数，即的函数，即=（P P、V V、T T），），是相对量。是相对量。因为状态参量是相对量。因为状态参量是相对量。32第32页，本讲稿共76页（）（）设热力学体系内有设热力学体系内有N个刚性分子，则个刚性分子，则N个分子的平均个分子

28、的平均总动能的总和总动能的总和即内能为即内能为由于我们只讨论刚性分子，所以由于我们只讨论刚性分子，所以理想气体刚性分子的内能只是：理想气体刚性分子的内能只是：所有分子的平均总动能之总和。所有分子的平均总动能之总和。33第33页，本讲稿共76页(I)这说明理想气体的内能仅为温度的单值函数，因此当理想气体的这说明理想气体的内能仅为温度的单值函数，因此当理想气体的状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的温度有关，而与过状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的温度有关，而与过程无关，即程无关，即(II)单原子气体单原子气体双原子气体双原子气体多原子气体子多原子气体子34第34页，本讲稿共76页6-

29、5麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律*几个概念的说明：几个概念的说明：1、概率、概率（1）离散型随机变量的概率（如掷骰子）离散型随机变量的概率（如掷骰子）等可能事件的概率等可能事件的概率事件事件A A出现的概率出现的概率（2）连续型随机变量的概率（如麦克斯韦速率分布）连续型随机变量的概率（如麦克斯韦速率分布）随机变量在随机变量在X+dX间隔内的概率间隔内的概率（X）称之为随机变量称之为随机变量X的概率密度。的概率密度。概率具有以下性质概率具有以下性质（1）概率的取值域为）概率的取值域为0P（A）1；（2）各种可能发生事件的概率总和等于）各种可能发生事件的概率总和等于1，即，即35第35页，本

30、讲稿共76页考虑事件的统计规律时，个别事件的偶然性考虑事件的统计规律时，个别事件的偶然性和其自身所遵从的规律退居次要地位，而且一和其自身所遵从的规律退居次要地位，而且一般说来，不可能从个别事件所遵从的规律导出般说来，不可能从个别事件所遵从的规律导出其所遵从的统计规律。其所遵从的统计规律。对于随机变量，则为对于随机变量，则为此式称为概率归一化条件。此式称为概率归一化条件。2、统计分布律、统计分布律一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律。一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律。3、概率和统计值都遵从涨落规律、概率和统计值都遵从涨落规律36第36页，本讲稿共76页一、气体分子的速率分布函数一、气体分

31、子的速率分布函数如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率(在经典物理中为在经典物理中为0)，按照从小到大的排列，分成一系列相，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例如从：等的速率区间，例如从：（i）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的的，无规则的(即随机的），毫无意义的。即随机的），毫无意义的。对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量对某一分子，其任一

32、时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规律。分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规律。37第37页，本讲稿共76页（ii）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数的分子数，占总分子数占总分子数N的百分比的百分比这时就会发现，它是存这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布

33、律。率分布律。、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间隔，即的速率间隔，即v1v1+v,v2v2+v,然后考察分布在速率间然后考察分布在速率间隔隔v+v内的分子数内的分子数 N占总分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N,为了进一步消为了进一步消除速率间隔除速率间隔 v的影响，将比值的影响，将比值 N/N除以除以 v,即得即得 N/N v取极限，取极限，并令极限值为以并令极限值为以f(v)表示，表示，其是速率其是速率v的确定函数。即的确定函数。即38第38页，本讲稿共76

34、页这就是麦氏速率分布函数。这就是麦氏速率分布函数。）速率分布函数的物理意义）速率分布函数的物理意义一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时，一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时，39第39页，本讲稿共76页）分布函数的归一化条件）分布函数的归一化条件表示分布在表示分布在v1-v2区间内的分子数。区间内的分子数。）麦氏速率分布函数式：）麦氏速率分布函数式：式中式中m是分子的质量，是玻尔兹曼恒量。是分子的质量，是玻尔兹曼恒量。40第40页，本讲稿共76页10分布在分布在v1-v2区间内的分子数占总分子数的百分比区间内的分子数占总分子数的百分比（或一个分子的速率处于（或一个分子的速率处于v1v2

35、区间内的概率）区间内的概率）分布在分布在0 速率区间内所有的分子，其与总分子数的比值是速率区间内所有的分子，其与总分子数的比值是1，即，即这就是分布函数的归一化条件的数学表示。这就是分布函数的归一化条件的数学表示。(一个分子的速率分布在一个分子的速率分布在0 的所有可能区间的概率当然是的所有可能区间的概率当然是1)41第41页，本讲稿共76页二、麦氏速率分布曲线二、麦氏速率分布曲线若以若以v为横轴，为横轴，f（v）的值为纵轴，以分布函数作曲线，这就是麦）的值为纵轴，以分布函数作曲线，这就是麦氏速率分布曲线。氏速率分布曲线。1、图中小方块面积的物理意义图中小方块面积的物理意义小方块的面积为小方块

36、的面积为表示分子速率分布在表示分子速率分布在v附近，附近，vv+v区间内的分子数占总分子区间内的分子数占总分子数数N的百分比，的百分比，vf(v)vp42第42页，本讲稿共76页2、曲线下总面积、曲线下总面积由小方块面积可知，曲线下总面积为由小方块面积可知，曲线下总面积为由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为1，是一个常数，虽然曲，是一个常数，虽然曲线形状与温度等有关，但总面积将保持不变。线形状与温度等有关，但总面积将保持不变。3、最概然速率、最概然速率vp与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率

37、叫做气体分子的最概然速率vp。物理意义是：物理意义是：对所有相同的速率区间而言，速率在含有对所有相同的速率区间而言，速率在含有v vp p区间区间内的分子数占总分子数的百分比最大。内的分子数占总分子数的百分比最大。或：气体分子的速率取或：气体分子的速率取vp附近值的概率为最大附近值的概率为最大。43第43页，本讲稿共76页三、分子速率的三种统计平均值三、分子速率的三种统计平均值1 1、平均速率、平均速率将麦氏速率分布函数式代入得将麦氏速率分布函数式代入得44第44页，本讲稿共76页2、方均根速率、方均根速率45第45页，本讲稿共76页3、最概然速率、最概然速率 将函数将函数f(v)f(v)对对

38、v v求导得求导得46第46页，本讲稿共76页以上各种速率各有用处，以上各种速率各有用处，分布函数的特征由分布函数的特征由v vp p表示；表示；讨论分子的平均平动能用讨论分子的平均平动能用讨论平均自由程用讨论平均自由程用（）温度与分子速率（）温度与分子速率f(v)vm相同(设它们的温度分别为设它们的温度分别为 73K,273K,1273K)73K,273K,1273K)47第47页，本讲稿共76页（）质量与分子速率（）质量与分子速率f(v)vT相同,m3m2vvvp p 的分子的平均速率表达式为的分子的平均速率表达式为 。解解:(1)表示速率分布在表示速率分布在0vp区间内的分子数占总分子数

39、的百分比区间内的分子数占总分子数的百分比50第50页，本讲稿共76页例例67质量相等的氢气和氦气温度相同，则氢分子和氦分子的平均平动质量相等的氢气和氦气温度相同，则氢分子和氦分子的平均平动能之比为能之比为，氢气和氦气的平动动能之比为，氢气和氦气的平动动能之比为，两种气体的，两种气体的内能之比为内能之比为。解解：（1）平均平动能为平均平动能为（2）平动动能为）平动动能为温度相同，温度相同，其比为其比为1：151第51页，本讲稿共76页（3 3）内能之比为）内能之比为52第52页，本讲稿共76页例例68容器内储有容器内储有1摩尔双原子理想气体，气体的摩尔质量为摩尔双原子理想气体，气体的摩尔质量为M

40、mol，内能为，内能为E，则气体的温度为，则气体的温度为，气体分子的最概然速率气体分子的最概然速率为为。气体分子的平均速率为气体分子的平均速率为。解：因为解：因为53第53页，本讲稿共76页例例69体积为体积为V的房间与大气相通，开始时室内与室外温度均为的房间与大气相通，开始时室内与室外温度均为T0，压强均为压强均为P0，现使室内温度降为，现使室内温度降为T，则房中气体内能的增量是多少，则房中气体内能的增量是多少？摩尔数的增量是多少？（空气视为理想气体）。？摩尔数的增量是多少？（空气视为理想气体）。解：设初态房中气体质量为解：设初态房中气体质量为M0，末态质量为，末态质量为M，又室内与大气相通

41、，又室内与大气相通，故过程中压强不变，则故过程中压强不变，则（1）即内能的增量为零。）即内能的增量为零。（2）摩尔数的增量为）摩尔数的增量为54第54页，本讲稿共76页66玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律一、麦克斯韦速度分布律一、麦克斯韦速度分布律前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分子前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分子按速度的分布，就是要找出速度分量在按速度的分布，就是要找出速度分量在vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz区间的分子数占总分子数的百分比。区间的分子数占总分子数的百分比。麦克斯韦推导出了速度分布律麦克斯韦推导出了速度分布律在速度空间单位体

42、积元内的分子数占总分子数的百分比，在速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的百分比，即称之为气体分子的速度分布函数，为即称之为气体分子的速度分布函数，为55第55页，本讲稿共76页vyvzvxovyvzvxod下面的讨论将说明，麦克斯韦速率分布律只不过是较普遍的下面的讨论将说明，麦克斯韦速率分布律只不过是较普遍的麦克斯韦速度分布律中的特殊情况。麦克斯韦速度分布律中的特殊情况。为此，我们引入速度空间。为此，我们引入速度空间。即以即以v vx x、v vy y、v vz z为轴的直角坐标系所确定的空间。为轴的直角坐标系所确定的空间。在速度空间里，每个分子的速度矢量都可用一个以坐标原点为起点的箭在速

43、度空间里，每个分子的速度矢量都可用一个以坐标原点为起点的箭头所表示。头所表示。速度分量限制在速度分量限制在vx vx+d vx、vy vy+d vy、vz vz+d vz区间内的分区间内的分子，它们的速度矢量的端点即在体积元子，它们的速度矢量的端点即在体积元d=d vx d vy d vz内。内。56第56页，本讲稿共76页对于速率分布，限制在对于速率分布，限制在v+dv v+dv 的分子，速度矢量的方向可任取，因的分子，速度矢量的方向可任取，因此其矢量端点均落在此其矢量端点均落在半径为半径为v,v,厚度为厚度为dvdv的球壳层内。的球壳层内。这个球壳层的体积即为这个球壳层的体积即为4 v2d

44、v(相当于相当于4 r2dr)。即在速率空间中，。即在速率空间中，速率区间体积元速率区间体积元为为4 v2dv,即即以以d=4 v2dv 代入代入气体分子的速度分布律气体分子的速度分布律57第57页，本讲稿共76页并注意到并注意到，则有则有此即麦克斯韦速率分布律。此即麦克斯韦速率分布律。二、玻尔兹曼分布律二、玻尔兹曼分布律麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布律，这麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布律，这时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子的密度是均匀分布时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子的密度是均匀分布的的(既稳恒又均匀）。既稳恒又均匀）。58第58页，本讲稿共76页由

45、麦氏速度分布函数由麦氏速度分布函数如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁场等）如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁场等），则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。这时分子，则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。这时分子的分布除了考虑的分布除了考虑速度区间（速度区间（dvxdvydvz）外，还要了解在空外，还要了解在空间各处的分布将怎样变化，即分子在间各处的分布将怎样变化，即分子在xx+dx，yy+dy，zz+dz区间内的分子数占总分子数的比率，即考虑区间内的分子数占总分子数的比率，即考虑位置区间位置区间（dxdydz）。）。59第59页，本讲稿共76页即：在没有外力场时，分子按速度

46、的分布只与分子的动能有关。即：在没有外力场时，分子按速度的分布只与分子的动能有关。如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要包含有势如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要包含有势能，即能，即由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。从某种意义上讲：的分布也将与位置有关。从某种意义上讲：60第60页，本讲稿共76页玻尔兹曼把麦氏速度分布推广玻尔兹曼把麦氏速度分布推广由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与

47、位置有关。在空间的分布也将与位置有关。称称玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子 比例常数比例常数上式为玻尔兹曼分布上式为玻尔兹曼分布61第61页，本讲稿共76页1、体积元体积元dV=dxdydz内的总分子数内的总分子数因为在速率空间中有因为在速率空间中有所以，有所以，有如令如令n0表示势能表示势能Ep=0处单位体积内具有各种速度的分子总数，则处单位体积内具有各种速度的分子总数，则在空间体积元在空间体积元dxdydz内的分子数，为内的分子数，为即即62第62页，本讲稿共76页表示在空间某位置（具有表示在空间某位置（具有Ep）的体积元）的体积元dVdxdydz内的总内的总分子数。分子数。、分子数密度按势能分布

48、的规律、分子数密度按势能分布的规律上式两边除以体积元上式两边除以体积元dV=dxdydz即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能Ep的增加而呈指数的增加而呈指数衰减。衰减。63第63页，本讲稿共76页、重力场中、重力场中微观粒子按高度的分布微观粒子按高度的分布重力场中，离零势能面为重力场中，离零势能面为z的地方，其重力势能的地方，其重力势能mgz上式可解释高空缺氧（因为）上式可解释高空缺氧（因为）即，在重力场中，单位体积元内具有各种速度的分子数，随着高度的即，在重力场中，单位体积元内具有各种速度的分子数，随着高度的增加而呈指数衰减。增加而呈指数衰

49、减。气体压强随高度变化的规律：气体压强随高度变化的规律：64第64页，本讲稿共76页表示表示 z=0处的压强，处的压强，Mmol为气体摩尔质量。为气体摩尔质量。这说明大气压随高度按指数规律衰减。这说明大气压随高度按指数规律衰减。用测定大气压的方法测高度用测定大气压的方法测高度对气压公式两边取对数，得对气压公式两边取对数，得因为因为65第65页，本讲稿共76页由于通常大气压并不是平衡态且气温也随高度变化，因此上述由于通常大气压并不是平衡态且气温也随高度变化，因此上述气压公式、高度公式都只是近似的，应用时应加以修正。气压公式、高度公式都只是近似的，应用时应加以修正。压强公式还适用于浮悬在液体中的胶

50、体微粒按高度的变化。压强公式还适用于浮悬在液体中的胶体微粒按高度的变化。计算表明，在高度不太大时，例如计算表明，在高度不太大时，例如z10mz10m时，压强随高度变化时，压强随高度变化不太显著。不太显著。以装有氮气的以装有氮气的1010米塔为例，求在室温下顶部，底部压强比。米塔为例，求在室温下顶部，底部压强比。66第66页，本讲稿共76页6-7 6-7 6-7 6-7 分子的平均碰撞次数及平均自由程分子的平均碰撞次数及平均自由程分子的平均碰撞次数及平均自由程分子的平均碰撞次数及平均自由程问题的提出问题的提出前面已经说过：分子速率在几百米前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什么食堂炸