第2章插值法优秀课件.ppt

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1、第2章插值法1第1页，本讲稿共103页第二章第二章 插值法插值法1 引言引言2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式4 分段低次插值分段低次插值5 三次样条插值三次样条插值6 数值微分数值微分2第2页，本讲稿共103页1引引言言1.1插值问题的提法插值问题的提法在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常遇到这种情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态、甚至直接求出其3第3页，本讲稿共103页它一些点上的函数值是非

2、常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数P(x)作为的近似。插值法插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。4第4页，本讲稿共103页定义定义设函数y=f(x)在区间a,b上连续，且在n+1个不同的点上分别取值，在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数p(x)，使而在其它点上，作为f(x)的近似。称区间为插值区间插值区间，点为插插值节点值节点，称（1.1）为

3、f(x)的插值条件插值条件，称函数类为插值函数类插值函数类，称p(x)为函数在(1.1)5第5页，本讲稿共103页节点处的插值函数插值函数。求插值函数p(x)的方法称为插值法插值法。插值函数类的取法不同，所求得的插值函数p(x)逼近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。多项式插值。在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n的代数多项式6第6页，本讲稿共103页(1.2)使其中为实数。满足插值条件(1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x)在节点处的n次插值值多项

4、式次插值值多项式。n次插值多项式次插值多项式的几何意义的几何意义：过曲线y=f(x)上的n+1个点作一条n次代数曲线，作为曲线y=f(x)的近似，如图图2-1。7第7页，本讲稿共103页8第8页，本讲稿共103页1.2插值多项式存在唯一性插值多项式存在唯一性由插值条件（1.3）知，插值多项式的系数满足线性方程组（1.4）由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且9第9页，本讲稿共103页因是区间上的不同点，上式右端乘积中的每一个因子，于是，方程组（1.4）的解存在且唯一。故有下面的结论：定定理理1若节点互不相同，则满足插值条件（1.3）的

5、次插值多项式（1.2）存在且唯一。10第10页，本讲稿共103页2拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种简便的求法。2.1 插值基函数插值基函数先考虑一下简单的插值问题：对节点中任一点 ,作一n次多项式 ,使它在该点上取值为1,而在其余点 上取值为零,即（2.1）（2.1）表明n个点 都是n次多项式的零点，故可设11第11页，本讲稿共103页其中 为待定系数，由条件 可得故(2.2)对应于每一节点，都能求出一个满足插值条件

6、（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插插多项式 。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式次基本插值多项式或n次插值基函数。次插值基函数。12第12页，本讲稿共103页 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值多项式（2.3）事实上，由于每个插值基函数 都是n次多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时，根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点 处的值为 ，因此，它就是待求的n次插值多项式。形如(2.3)的插值多项式称为拉格

7、朗日插值多项式，记为（2.4)13第13页，本讲稿共103页作为的特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式两点插值公式即这是一个线性函数，用线性函数 近似代替函数，在几何上就是通过曲线 上两点 作一直线 近似代替曲线(见图图2-2)，故两点插值又名线性插值线性插值。若令n=2，由（2.4）又可得常用的三点插值公式 （2.5）（2.6）（2.7）)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL-+-+-=14第14页，本讲稿共103页这是一个二次函数，用二次函数近似代替函数，在几何上就是通过曲线上的三点，作一抛

8、物线近似地代替曲线（图图2-3），故三点插值三点插值(二次插值二次插值)。例例1 已知分别用线性插值和抛物插值求 的值。x0y图图2-215第15页，本讲稿共103页解解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得故用线性插值求得的近似值为图图2-3yx016第16页，本讲稿共103页仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为将所得结果与的精确值10.7328相比较，可以看出抛物插值的精确度较好。为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.4）改写成公式（2.8）的对称形式编程框图如图图2-4，

9、可用二重循环来完成值的计算，先通过内循环，即先固定k，令j从0到 ，累乘求得（2.8）17第17页，本讲稿共103页图图2-4输入xi,yi,n,xy=0k=0,1,nP=1j=0,1,nk=j?P=P*(x-xj)(xk-xj)y=y+P*yk输出x,y否是18第18页，本讲稿共103页然后再通过外循环，即令k从0到n，累加得出插值结果。2.3 插值余项插值余项在插值区间a,b上用插值多项式近似代替，除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在有误差的。若记则 就是用近似代替时所产生的截断误差，称为插值多项式的余项余项。关于误差有如下定理2中的估计式。定定理理2 设在区间上有直到n+

10、1阶导数，为区间上n+1个互异的节点，为满足条件:19第19页，本讲稿共103页的n次插值多项式，则对于任何，有其中且依赖于。证证明明 由插值条件知，即插值节点都是的零点，故可设 (2.10)其中为待定函数。下面求 ，对区间上异于的任意一点作辅助函数 不难看出具有如下特点:(2.11)（2.9）20第20页，本讲稿共103页(2)在上有直到n+1阶导数，且 （2.12）等式（2.11）表明在上至少有n+2个互异的零点，根据罗尔(Rolle)定理，在的两个零点之间至少有一个零点，因此，在内至少有n+1个互异的零点，对再应用罗尔定理，推得在内至少有n个互异的零点，继续上述讨论，可推得在内至少有一个

11、零点，若记为，则于是由（2.12）式得将它代入(2.10)即得（2.9）.对于，（2.9）显然成立。21第21页，本讲稿共103页例例2 在例1中分别用线性插值和抛物插值计算了的 近似值，试估计它们的截断误差。解解 用线性插值求的近似值，其截断误差由插值余项公式（2.9）知现在x0=100，x1=121，x=115，故22第22页，本讲稿共103页当用抛物插值求 的近似值时，其截断误差为将代入，即得 2.4 插插值误差的事后估计法值误差的事后估计法 在许多情况下，要直接应用余项公式（2.9）来估计误差是很困难的，下面将以线性插值为例，介绍另一种估计误差的方法。设若将用两点作线性插值求得的近似值

12、记为，用两点作线性插值所求得的近似值记为，则由余项公式（2.9）知23第23页，本讲稿共103页（2.13）假设在区间中变化不大，将上面两式相除，即得近似式 即近似式（2.13）表明，可以通过两个结果的偏差来估计插值误差，这种直接利用计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法事后估计法。例例3 在例1中，用做节点，算得的近似值为，同样，用做节点，可算得的另一近似值，（2.13）可以估计出插值结果的误差为:24第24页，本讲稿共103页3牛顿插值多项式牛顿插值多项式由线性代数可知，任何一个不高于n次的多项式，都可表示成函数的线性组合，即可将满足插值条件的n次多项式写成形式其中为待定系数。这种形式的

13、插值多项式称为牛顿牛顿Newton插值多项式插值多项式，我们把它记成nx,即（3.1)25第25页，本讲稿共103页因此，牛顿插值多项式是插值多项式的另一种表示形式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个计算机工作必须重新开始”见例1的缺点，而且可以节省乘除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其它方面有着密切的关系.3.1向前差分与牛顿插值公式向前差分与牛顿插值公式设函数x在等距节点处的函数值为已知，其中h是正常数，称为步长步长，称两个相邻点和处函数值之差为函数x在点处以h为步长的一阶向前差分一阶向前差分简称一阶差分，记作，即于是，函数

14、x在各节点处的一阶差分依次为又称一阶差分的差分为二阶差分二阶差分。26第26页，本讲稿共103页一般地，定义函数x在点处的m阶差分阶差分为为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分，如表表2-1所示。表表2-127第27页，本讲稿共103页在等距节点情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式 3.1的系数，并将所得公式加以简化。事实上，由插值条件 立即可得再由插值条件可得由插值条件可得一般地，由插值条件可得28第28页，本讲稿共103页于是，满足插值条件的插值多项式为令,并注意到，则可简化为这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛牛顿顿向向前前插插值值公公式式，简称前前插插公公式式。它适用于计算表

15、头附近的函数值。由插值余项公式2.9，可得前插公式的余项为：3229第29页，本讲稿共103页（3.3)例例4从给定的正弦函数表表表2-2左边两列出发计算,并估计截断误差。表表220.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.0019930第30页，本讲稿共103页解解因为0.12介于0.1与0.2之间，故取，此时。为求,构造差分表表22。表中长方形框

16、中各数依次为在处的函数值和各阶差分。若用线性插值求sin0.12的近似值，则由前插公式3.2立即可得用二次插值得用三次插值得：31第31页，本讲稿共103页因很接近，且由差分表表22可以看出，三阶差分接近于常数（即接近于零），故取作为的近似值，此时由余项公式（3.3）可知其截断误差3.2向后差分与牛顿向后插值公式向后差分与牛顿向后插值公式在等距节点下，除了向前差分外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分别如下：在点处以h为步长的一阶向后差分一阶向后差分和m阶向后差分阶向后差分分别为32第32页，本讲稿共103页在点处以为步长的一阶中心差分和m阶中心差分分别为其中各阶向后差分与中心差分的计

17、算，可通过构造向后差分表与中心差分表来完成参见表表2。利用向后差分，可简化牛顿插值多项式（.1），导出与牛顿前插公式3.2类似的公式，即，若将节点的排列次序看作，那么.1)可写成33第33页，本讲稿共103页根据插值条件,可得到一个用向后差分表示的插值多项式其中t0，插枝多项式(3.4)称为牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式，简称后插公式。它适用于计算表尾附近的函数值。由插值余项公式（.9），可写出后插公式的余项(3.4)34第34页，本讲稿共103页(3.5)例例已知函数表同例，计算，并估算截断误差。解解因为.58位于表尾附近，故用后插公式（3.4）计算sin(0.58)的近似值。一般地为了计

18、算函数在处的各阶向后差分，应构造向后差分表。但由向前差分与向后差分的定义可以看出，对同一函数表来说，构造出来的向后差分表与向前差分表在数据上完全相同。因此，表表-用“”线标出的各数依次给出了在处的函数值和向后差分值。因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算，且，于是由后插公式（3.4）得35第35页，本讲稿共103页因为在整个计算中，只用到四个点上的函数值，故由余项公式（.5）知其截断误差36第36页，本讲稿共103页3.3差商与牛顿基本插值多项式差商与牛顿基本插值多项式当插只节点非等距分布是，就不能引入差分来简化牛顿插值多项式，此时可用差商这个新概念来解决。设函数在一串互异的点上的值依

19、次为。我们称函数值之差与自变量之差的比值为函数关于点的一阶差商一阶差商，记作例如37第37页，本讲稿共103页称一阶差商的差商为函数关于点的二阶差商二阶差商（简称二阶差商二阶差商），记作，例如一般地，可通过函数的m-1阶差商定义的m阶差商如下：38第38页，本讲稿共103页差商计算也可采用表格形式（称为差商表），如表表23所示，表表23一阶差商二阶差商三阶差商39第39页，本讲稿共103页差商具有下列重要性质（证明略）：（1）函数的m阶差商可由函数值的线性组合表示，且（2）差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不影响差商的值。例如（）当在包含节点的某个区间上存在时，在之间必有一点使40第40页

20、，本讲稿共103页（）在等距节点情况下，可同时引入阶差分与差商，且有下面关系：引入差商的概念后，可利用差商表示牛顿插值多项式（.1）的系数。事实上，从插值条件出发，可以象确定前插公式中的系数那样，逐步地确定（.1）中的系数故满足插值条件的n次插值多项式为41第41页，本讲稿共103页（3.6）（3.6）称为牛顿基本插值多项式牛顿基本插值多项式，常用来计算非等距节点上的函数值。例例试用牛顿基本插值多项式按例要求重新计算的近似值。解解先构造差商表。由上表可以看出牛顿基本插值多项式(3.6)中各系数依次为一阶商差二阶商差10012111100.0434780.047619-0.00009414412

21、42第42页，本讲稿共103页 故用线性插值所得的近似值为 用抛物插值所求得的近似值为所得结果与例1相一致。比较例1和例6的计算过程可以看出，与拉格朗日插值多项式相比较，牛顿插值多项式的优点是明显的。由插值多项式的存在唯一性定理知，满足同一组插值条件的拉格朗日插值多项式（2.42.4）与牛顿基本插值多项式（3.63.6）是同一多项式。因此，余项公式（2.92.9）也适用于牛顿插值。但是在实际计算中，有时也用差商表示的余项公式43第43页，本讲稿共103页 （3.73.7）来估计截断误差（证明略）。注意注意：上式中的n+1阶商差与的值有关，故不能准确地计算出的精确值，只能对它作一种估计。例，当四

22、阶差商变化不大时，可用近似代替。44第44页，本讲稿共103页4分段低次插值分段低次插值例2、例4表明，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度。但是决不可由此提出结论，认为插值多项式的次数越高越好。例如，对函数 先以 为节点作五次插值多项式 ，再以 为节点作十次插值多项式 ，并将曲线 描绘在同一坐标系中，如图图2-52-5所示。45第45页，本讲稿共103页-101xy1y=1/(1+25x2)y=P5(x)图图2-52-5y=P10(x)46第46页，本讲稿共103页由上图可看出，虽然在局部范围中，例如在区间-0.2，0.2中，比较好地逼近,但从整体上看，并非处处都比较好地

23、逼近，尤其是在区间-1，1的端点附近。进一步的分析表明，当n增大时，该函数在等距接点下的高次插值多项式，在-1，1两端会发生激烈的振荡。这种现象称为龙格（龙格（Runge)现象现象。这表明，在大范围内使用高次插值，逼近的效果可能不理想的。在大范围内使用高次插值，逼近的效果可能不理想的。另一方面，插值误差除来自截断误差外，还来自初始数据的误差和计算过程中的舍入误差。插值次数越高，计算工作越大，积累误差也可能越大。因此，在实际计算中，常用分段低次插值进行计算，即把整个插值区间分成若干小区间，在每个小区间上进行低次插值。例如例如，当给定n+1个点上的函数值后，若要计算点 处函数值 的近似值，可先选取

24、两个节点 使 然后在小区间 上作线性插值，即得 47第47页，本讲稿共103页（4.1）这种分段低次插值叫分段线性插值分段线性插值。在几何上就是用折线代替曲线，如图图2-6所示。故分段线性插值又称折线插值折线插值.xy=f(x)yox0 x1xnx2图2-648第48页，本讲稿共103页类似地，为求的近似值，也可选取距点最近的三个节点进行二次插值，即取这种分段低次插值叫分段二次插值分段二次插值。在几何上就是用分段抛物线代替曲线，故分段二次插值又称分段抛物插值分段抛物插值。为了保证 是距点 最近的三个节点，（4.2）中的 可通过下面方法确定:（4.2）49第49页，本讲稿共103页In-1输入x

25、i,yi(I=0,1,n)及n,xj=1,2,n-2P0.5*(xj+xj+1)xP?Ij按公式（4.2）计算P2(x)输出x,P2(x)图图2-750第50页，本讲稿共103页5三次样条插值三次样条插值 分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现等优点，但它只能保证各小段曲线在连接点上的连续性，却不能保证整条曲线的光滑性(如图图2-6中的折线)，这就不能满足某些工程技术上的要求。从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的51第51页，本讲稿共103页所谓样条（Spline)的插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的

26、光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越广泛的应用。本节介绍应用最广泛且具有二阶连续导数的三次样条插值函数。5.1 三次样条插值函数的定义三次样条插值函数的定义 对于给定的函数表52第52页，本讲稿共103页其中 ，若 函数 满足:（1）在每个子区间 上是不高于三次的多项式；（2）在a,b上连续；（3）满足插值条件 53第53页，本讲稿共103页则称 为函数 关于节点 的三三次样条插值次样条插值。5.2 边界条件问题的提出与类型边界条件问题的提出与类型 注：注：单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条插值函数的。事实上，由条件（1）知，三次样条插值函

27、数 是一个分段三次多项式，若用 表示它在第 个子区间 上的表达式，则 形如：54第54页，本讲稿共103页这里有四个待定系数 。子区间共有n n个，确定 需要确定4n n个待定系数。另一方面，要求分段三次多项式 及其导数 在整个插值区间a,b上连续，只要在各子区间的端点 连续即可。故由条件（2），（3）可得待定系数应满足的4n n-2个方程为：55第55页，本讲稿共103页(5.1)由此可以看出，要确定4n个待定系数还缺少两个条件，这两个条件通常在插值区间a,b的边界点a,b处给出，称为边界条件边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：（1）给定一阶导数值（2）给定二阶导数值56第56页，本讲稿

28、共103页特别地，称为自然边界自然边界条件条件，满足自然边界条件自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数自然样条插值函数。（3）当是周期为的函数时，则要求及其导数都是以为周期的函数，相应的边界条件为57第57页，本讲稿共103页5.3 三次样条插值函数的求法三次样条插值函数的求法 虽然可以利用方程组（5.1）和边界条件求出所有待定系数 aij 从而得到三次样条插值函数 在各个子区间 的表达式 。但是，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用。下面介绍一种简便的方法。设在节点 处 的二阶导数为58第58页，本讲稿共103页 因为在子区间 上 是不高于三次的多项式，其二阶导数必是线性函数（

29、或常数）。于是，有记 则有59第59页，本讲稿共103页连续积分两次得：(5.2)其中 为积分常数。利用插值条件 易得60第60页，本讲稿共103页将它们代入（5.2），整理得(5.3)61第61页，本讲稿共103页综合以上讨论可知，只要确定这n+1个值，就可定出三次样条插值函数。为了求出，利用一阶函数在子区间连接点上连续的条件即（5.4）由（5.3）可得62第62页，本讲稿共103页(5.5)故(5.6)将（5.5）中的改为，即得在子区间上的表达式，并由此得：63第63页，本讲稿共103页将(5.6),(5.7)代入(5.4)整理后得(5.7)两边同乘以，即得方程组64第64页，本讲稿共10

30、3页若记(5.8)则所得方程组可简写成65第65页，本讲稿共103页即(5.9)这是一个含有 n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组。要确定的值，还需用到边界条件。在第(1)种边界条件下，由于和66第66页，本讲稿共103页已知，可以得到包含另外两个线性方程。由(5.5)知，在子区间上的导数为故由条件立即可得67第67页，本讲稿共103页即(5.10)同理，由条件可得（5.11）将(5.9)、(5.10)、(5.11)合在一起，即得确定的线性方程组：68第68页，本讲稿共103页(5.12)其中(5.13)69第69页，本讲稿共103页已知，在方程组(5.13)中实际上只包含有n-1个未知数

31、，并且可以改写成在第(2)种边界条件下，由(5.14)70第70页，本讲稿共103页在第第(3)种边界种边界条件下，由直接可得(5.15)由条件可得71第71页，本讲稿共103页注意到和，上式整理后得若记72第72页，本讲稿共103页则所得方程可简写成(5.16)将(5.9)、(5.15)、(5.16)合在一起，即得确定的线形方程组：(5.17)73第73页，本讲稿共103页利用线性代数知识，可以证明方程组(5.12)、(5.14)及(5.17)的系数矩阵都是非奇异的，从而都有唯一确定的解。针对不同的边界条件，解相应的方程组(5.12)、(5.14)或(5.17)，求出的值，将它们代入（5.3

32、），就可以得到在各子区间上的表达式。综上分析，有74第74页，本讲稿共103页定理定理3对于给定的函数表满足第（1）或第（2）或第（3）种边界条件的三次样条插值函数是存在且唯一的存在且唯一的。三次样条插值函数的具体求解过程，在下面例子中给出了详细说明。75第75页，本讲稿共103页例例7已知函数的函数值如下-1.50120.125-119在区间上求三次样条插值函数，使它满足边界条件：解解先根据给定数据和边界条件算出，写出确定的线性方程组。76第76页，本讲稿共103页在本例中，给出的是第（1）种边界条件，确定的线性方程组形如（5.12）。由所给函数表知于是由的算式(5.8)知77第77页，本讲

33、稿共103页由第（1）边界条件下与的计算公式（5.13）知故确定的方程组为（5.18）78第78页，本讲稿共103页然后解所得方程组，得到在各节点上的值。在本例中，解（5.18）得最后将所得代入（5.3），即得在各子区间上的表达式。由（5.3）知，在上的表达式为79第79页，本讲稿共103页在本例中，将代入，整理后得同理可得80第80页，本讲稿共103页故所求三次样条插值函数为第（1）边界条件下计算三次样条插值函数S（x）在x 处函数值的程序框图如图2-881第81页，本讲稿共103页图图2-882第82页，本讲稿共103页上述求三次样条插值函数的方法，其基本思路和特点是:先利用一阶导数在内节

34、点上的连续性以及边界条件，列出确定二阶导数的线性方程组（在力学上称为三弯矩方程组三弯矩方程组），并由此解出，然后用来表达。83第83页，本讲稿共103页通过别的途径也可求三次样条插值函数。例如，可以先利用二阶导数在内节点上的连续性以及边界条件，列出确定一阶导数的线性方程组（在力学上称为三转角方程组三转角方程组），并由此解出，然后用来表达。在有些情况下，这种表达方法与前者相比较，使用起来更方便1。84第84页，本讲稿共103页6数值微分数值微分作为多项式插值的应用，本节介绍两种求函数导数的近似值的方法。6.1利用插值多项式求导数利用插值多项式求导数若函数在节点处的函数值已知，就可作的n次插值多项

35、式，并用近似代替，即(6.1)85第85页，本讲稿共103页由于是多项式，容易求导数，故对应于的每一个插值多项式，就易建立一个数值微分公式这样建立起来的数值微分公式，统称为插值型微分公式插值型微分公式。必须注意，即使与的近似程度非常好，导数与在某些点上的差别仍旧可能很大，因而，86第86页，本讲稿共103页在应用数值微分公式时，要重视对误差的分析。由插值余项公式（2.9）知（6.2）由于式中是的未知函数，故时，无法利用上式误差作出估计。但是，如果我们限定求某个节点xi 处的导数值，那么（6.2）右端第二项之值应为零，此时有87第87页，本讲稿共103页其中在之间。该式右端由两部分，即导数的近似

36、值和相应的截断误差组成。（6.3）若将它写成带余项的数值微分公式，即88第88页，本讲稿共103页由（6.3),作为特例，当n=1时，插值节点为，记得带余式的两点公式（6.4）前一公式的实质是用在处的向前差商（分子是向前差分的差商）作为89第89页，本讲稿共103页的近似值，后一公式则是用在处的向后差商作为的近似值。当n=2且节点为时,由(6.3)可得带余项的三点公式(6.5)90第90页，本讲稿共103页中间一个公式的实质是用在处的中心差商作为的近似值，它与前后两公式相比较，其优越性是显然的。用插值多项式作为的近似函数，还可用来建立高阶的的数值微分公式。例如带余式的二阶三点公式(6.6)91

37、第91页，本讲稿共103页6.2利用三次样条插值函数求导利用三次样条插值函数求导由5知，对于给定函数表和适当的边界条件，可以写出三次样条插值公式，并用近似代替,即92第92页，本讲稿共103页由于是一个分段三次多项式，在各子区间上容易求出导数，故可建立数值微分公式(6.7)(6.8)93第93页，本讲稿共103页例例3利用函数在节点上的函数值和边界条件S(1)=0.0740,S(1)=0.0740构造三次样条插值公式，并用它来计算和在下列点xk=1+0.02k(k=0,1,2,100)处的近似值。计算结果如表表2-4。94第94页，本讲稿共103页S(x)S(x)f(x)f(x)-1.000.

38、038460.0740.038460.07639-0.920.045130.093690.045130.09367-0.840.053650.12090.053650.1209-0.760.064760.15940.064770.1594-0.680.079610.21250.079620.2155-0.600.10000.30000.10000.3000-0.520.12890.43190.12890.4318-0.440.17110.64570.17120.6451-0.360.23591.0030.23581.001-0.280.33751.5790.33781.598-0.200.50

39、002.5630.50002.500-0.120.73723.1570.13533.244-0.040.95941.8850.96151.849x近似值准确值表表2-495第95页，本讲稿共103页由表表24可以看出，利用三次样条插值函数 S(x)及其导数来逼近被插值函数f(x)及其导数，其效果是相当好的。96第96页，本讲稿共103页小小结结插值法是一个古老而又实用的数值方法。它不仅是数值微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析的基础，而且在许多实际问题中，也有直接的应用。本章只简要介绍了有关插值法的一些基本概念、多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法，例如拉格朗日插值公式97

40、第97页，本讲稿共103页、牛顿基本插值公式和仅适用于等距离节点下的牛顿向前（后）插值公式，以及应用最广且有二阶连续导数的三次样条插值。作为一种直接应用，也可介绍了利用插值法求导数的基本原理和常用公式。实际上，插值法的内容，包括插值函数类的选择，公式的构造与应用，误差的估计，以及收敛性、稳定性的讨论等，都是十分丰富的。需要进一步了解可参考1-2。98第98页，本讲稿共103页习习题题二二1求经过下列已知点的最低次代数多项式x01.55.1y-14.2535.212.已知函数表如下x10111213lnx2.30262.39792.48492.5649试分别用线形插值与二次插值计算ln11.75

41、的近似值，并估计截断误差。99第99页，本讲稿共103页3.设x0、x1、xn为任意给定的n+1个互不相同的节点，证明：1）若f（x）为不高于n次的多项式，则f（x）关于这组节点的n次插值多项式就是它自己；2）若lk(x)(k=0,1,n)是关于这组节点的n次基本插值多项式，则有恒等式100第100页，本讲稿共103页4已知函数表如下x0.00.20.40.60.8ex1.00001.22141.49181.82212.2255(1)分别构造向前差分表与向后差分表;(2)分别用三点与四点前插公式计算e0.13的近似值，并估计误差；(3)分别用三点与四点前插公式计算e0.72的近似值，并估计误差

42、；(4)构造差商表，并分别用三点与四点牛顿基本插值公式计算e0.12的近似值101第101页，本讲稿共103页5.设f（x）为n次多项式，试证明当kn时差商fx，x0，x1，xk(其中x0、x1、xk互异)为nk次多项式，而当kn时其值恒为零6.今要在区间-4,4上构造f（x）ex在等距节点下的函数表问怎样选取函数表的步长，才能保证用二次插值求ex的近似值时，截断误差不超过10-6.102第102页，本讲稿共103页7.对于给定的插值条件x 0123y 0000试分别求满足下列边界条件的三次样条插值函数:(1)S(0)=1,S(3)=0;(2)S(0)=1,S(3)=0103第103页，本讲稿共103页