高中数学求轨迹方程的六种常用技法(高三数学).doc

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1、高中数学求轨迹方程的六种常用技法(高三数学)求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心,半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法,对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。1直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式,直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1已知线段,直线

2、相交于，且它们的斜率之积是,求点 的轨迹方程.解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则，设点的坐标为，则直线的斜率，直线的斜率 由已知有 化简,整理得点的轨迹方程为练习:1平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是 .2设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点,是上满足的点,求点的轨迹方程。3。 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A直线B椭圆C抛物线D双曲线2定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线，圆

3、、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理.例2若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_.解：设的重心为,则由和两边上的中线长之和是可得，而点为定点，所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆.所以由可得故的重心轨迹方程是练习:4方程表示的曲线是（）A椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线3点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。例3椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_。解：设过点的直线交椭圆于、，则有

4、 可得而为线段的中点，故有所以,即所以所求直线方程为化简可得练习：5已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程.6已知双曲线,过点能否作一条直线与双曲线交于两点，使 为线段的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的.当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点在已知方程的曲线上移动；另一个动点随的变化而变化;在变化过程中和满足一定的规律.例4 已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。解：设 重心,点 ,因为则有， 故代入 得所求轨迹方程例5抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线、两点，再以、为邻边作平行四边形

5、,试求动点的轨迹方程.解法一：（转移法）设，平行四边形的中心为，将，代入抛物线方程,得，设，则 ，为的中点。,消去得，由得，故动点的轨迹方程为。解法二:(点差法）设，,平行四边形的中心为，设，则有 由得 而为的中点且直线过点,所以代入可得，化简可得由点在抛物线口内，可得将式代入可得故动点的轨迹方程为。练习:7已知，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值

6、的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例6过点作直线交双曲线于、两点，已知。（1）求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。解:当直线的斜率存在时，设的方程为，代入方程，得因为直线与双曲线有两个交点，所以,设,则 设，由 得 所以,代入可得,化简得即 当直线的斜率不存在时，易求得满足方程，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边为矩形的充要条件是即 当不存在时，、坐标分别为、，不满足式当存在时，化简得

7、，此方程无实数解，故不存在直线使为矩形。练习：8设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点，点满足，点的坐标为,当绕点旋转时,求:(1）动点的轨迹方程; （2）的最小值与最大值。9设点和为抛物线上原点以外的两个动点，且,过作于，求点的轨迹方程。6交轨法若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例7已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。解1：（利用点的坐标作参数)令，则而。设与的交点为因为共线，所以 因为共线，所以两式相乘得, 而即代入得，即交点的轨迹方程为解2: (利用角作

8、参数)设，则所以 ， 两式相乘消去即可得所求的点的轨迹方程为 。练习：10两条直线和的交点的轨迹方程是_ _。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性，即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。2“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏和“去掉增多的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。练习参考答案12解：设点的坐标为，则由方程，得由于直线与椭圆交于两点、，故即、两点的坐标

9、分别为由题知即即所以点的轨迹方程为3D 【解析】在长方体中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线与是异面垂直的两条直线，过直线与平行的平面是面,设在平面内动点满足到直线与的距离相等,作于，于，于，连结,易知平面,则有，(其中是异面直线与间的距离)，即有,因此动点的轨迹是双曲线,选D.4A5解 设，PMA则，由， OB两式相减并同除以得 ,而， 又因为所以 化简得点的轨迹方程6先用点差法求出，但此时直线与双曲线并无交点,所以这样的直线不存在。中点弦问题,注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验.7解：设，则由即所以点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆。点是点关于直

10、线的对称点。动点的轨迹是一个以为圆心,半径为3的圆，其中是点关于直线的对称点，即直线过的中点，且与垂直，于是有即故动点的轨迹方程为.8解:（1)解法一：直线过点,设其斜率为，则的方程为 记、由题设可得点、的坐标、是方程组 的解 将代入并化简得，所以于是 设点的坐标为则消去参数得 当不存在时， 、中点为坐标原点，也满足方程，所以点的轨迹方程为 解法二:设点的坐标为,因、在椭圆上，所以 得，所以 当时，有 并且 将代入并整理得 当时,点、的坐标为,这时点的坐标为也满足，所以点的轨迹方程为 （2)解：由点的轨迹方程知，即所以 故当,取得最小值,最小值为时，取得最大值, 最大值为9解法1 ：（常规设参）设，则（）由共线得 则把（）代入上式得化简得的轨迹方程为）解法2： (变换方向） 设的方程为,则的方程为由 得 ， 由得所以直线的方程为 因为，所以直线的方程为 即得的轨迹方程: 解法3: （转换观点） 视点为定点，令，由可得直线的方程为, 与抛物线联立消去得，设,则又因为，所以 故即所以点的轨迹方程为10第 9 页 共 9 页