第十章 质点动力学的基本方程优秀课件.ppt

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1、第十章 质点动力学的基本方程第1页，本讲稿共53页 10-1 10-1 质点动力学基本定律质点动力学基本定律一、牛顿三大定律一、牛顿三大定律二、坐标系二、坐标系三、单位制三、单位制第2页，本讲稿共53页牛顿第一定律（惯性定律）：牛顿第一定律（惯性定律）：不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动状态。不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动状态。牛顿第二定律：牛顿第二定律：牛顿第三定律（作用与反作用定律）：牛顿第三定律（作用与反作用定律）：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿同一直线，但分别作用在两个物体方向相反，沿同一直线，但分别

2、作用在两个物体上。上。一、牛顿三大定律第3页，本讲稿共53页牛顿三大定律是对牛顿三大定律是对绝对运动绝对运动而言。而言。惯性坐标系：惯性坐标系：牛顿三大定律可以适用的坐标系。牛顿三大定律可以适用的坐标系。在工程技术中，通常采用地球（地面）作为惯性在工程技术中，通常采用地球（地面）作为惯性坐标系。坐标系。二、坐标系第4页，本讲稿共53页力学单位制：采用国际单位制力学单位制：采用国际单位制基本物理量基本物理量：质量质量（M）长度长度（L）时间时间（T）（kgkg）（m m）（s s）力：力：导出单位导出单位1 1 N（牛顿）牛顿）=三、单位制第5页，本讲稿共53页10-2 10-2 质点的运动微分

3、方程质点的运动微分方程牛顿第二定律牛顿第二定律:加速度加速度 a 有三种计算方法，有三种计算方法，有三种形式的质点运动微分方程。有三种形式的质点运动微分方程。一、矢量法一、矢量法二、直角坐标法二、直角坐标法三、自然法三、自然法第6页，本讲稿共53页xyzxyz一、矢量法质点运动微分方程为质点运动微分方程为第7页，本讲稿共53页xyzxyz二、直角坐标法将矢量式向坐标轴投影，得将矢量式向坐标轴投影，得或：或：第8页，本讲稿共53页三、自然法在自然坐标系中：在自然坐标系中：A自然坐标系中的运动微分方程为：自然坐标系中的运动微分方程为：或：或：第9页，本讲稿共53页动力学的问题可分为：动力学的问题可

4、分为：1 1、第一类问题（第一类问题（动力学正问题）动力学正问题）已知物体的运动，已知物体的运动，求作用在物体的力。求作用在物体的力。3 3、混合问题、混合问题2 2、第二类问题（动力学反问题）第二类问题（动力学反问题）已知作用在物体上已知作用在物体上的力，求物体的运动。的力，求物体的运动。10-3 10-3 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题第10页，本讲稿共53页一、动力学第一类问题求解第一类问题比较简单。求解第一类问题比较简单。已知质点运动，求作用在物体上的力。已知质点运动，求作用在物体上的力。求解方法为：将运动方程对时间求两次导数，求解方法为：将运动方程对时间求两次导数，得到质点

5、的加速度，得到质点的加速度，再代入牛顿第二定律，即再代入牛顿第二定律，即可求得作用于质点上的力。可求得作用于质点上的力。第11页，本讲稿共53页ABxyOl例题例题已知滑块B的运动方程为：滑块B的质量为m，忽略连杆AB的质量和摩擦，求：和时，连杆 AB 所受的力第12页，本讲稿共53页FxmgFNa x本问题为第一类问题本问题为第一类问题当当=0 时，时，而且，而且，=0可得到：可得到：（AB杆受拉）杆受拉）以滑块以滑块B为研究对象为研究对象ABxyOl解：第13页，本讲稿共53页FxmgFNa x以滑块以滑块B为研究对象为研究对象当当=/2=/2 时，时，可得到：可得到：（AB杆受压）杆受压

6、）ABxyOl第14页，本讲稿共53页二、动力学第二类问题第二类问题比较复杂，求解时一般需要进行积分，第二类问题比较复杂，求解时一般需要进行积分，仅对下述几种情况，有简单解。仅对下述几种情况，有简单解。已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。第15页，本讲稿共53页1、力为常数 对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。即可。2 2、力为时间的函数、力为时间的函数 同样，对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常同样，对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。数，即可。第16页，本讲稿共53页3、

7、力是位置的函数进行如下变换：进行如下变换：得：得：积分得：积分得：由上式及所给条件，求出由上式及所给条件，求出再由再由第17页，本讲稿共53页4、力是速度的函数进行如下变换后，积分：进行如下变换后，积分：得：得：再由再由得到：得到：第18页，本讲稿共53页物块的质量为 m,求：物块的运动方程。l0mkv0例题例题弹簧的刚度系数为 k,物块自平衡位置以初始速度v0开始运动。第19页，本讲稿共53页xxO这是已知力这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，故为第二类动力求运动规律，故为第二类动力学问题。学问题。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，坐标系，将物

8、块置于任意位置将物块置于任意位置 x 0 处。物块在处。物块在 x 方向只受方向只受有弹簧力有弹簧力Fk x。根据直角坐标系中的质点运动微分方程根据直角坐标系中的质点运动微分方程l0mkF解：第20页，本讲稿共53页Fl0 xxOmk令：方程的通解为：方程的通解为：代入初始条件：代入初始条件：解得：解得：第21页，本讲稿共53页l0mkv0物块的质量为 m,求：物块的运动方程。弹簧的刚度系数为 k,物块自平衡位置以初始速度v0开始运动。例题例题第22页，本讲稿共53页FxmkxO这是已知力这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，故求运动规律，故为第二类动力学问题。为第二类动力学问题。以弹簧在静载

9、以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡作用下变形后的平衡位置为原点建立位置为原点建立Ox坐标系，将物块置坐标系，将物块置于任意位置于任意位置x 0处。处。l0stW物块在物块在x方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力Fk x和重力和重力Wmg。根据直根据直角坐标系中的质点运动微分方程：角坐标系中的质点运动微分方程：解：第23页，本讲稿共53页解：解：以弹簧在静载以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置为作用下变形后的平衡位置为原点建立原点建立Ox坐标系，坐标系，FxmkxOl0stW将物块置于任意位置将物块置于任意位置x0处。物块在处。物块在x方向只受有方向只受有弹簧力弹簧力Fkx和重力和重力Wmg。根据

10、直角坐标系中的质点运动微分方程根据直角坐标系中的质点运动微分方程第24页，本讲稿共53页方程的通解为：方程的通解为：代入初始条件：代入初始条件：解得：解得：第25页，本讲稿共53页计算结果分析l0mkv0l0 xxOmkv0重力重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。响。第26页，本讲稿共53页例题例题已知：粉碎机滚筒半径为R，匀速转动，铁球应在 时掉下，求：滚筒每分钟的转数n。第27页，本讲稿共53页解：解：本问题为混合型问题本问题为混合型问题小球的运动微分方程（沿主法线小球的运动微分方程（沿主法线方向）为：方向）为：铁球的受力情况如图铁球

11、的受力情况如图第28页，本讲稿共53页质点的速度质点的速度v 为：为：得到：得到：当 时，铁球将落下，此时解得：解得：第29页，本讲稿共53页一、质点相对运动微分方程一、质点相对运动微分方程10-4 10-4 质点相对运动微分方程质点相对运动微分方程二、特例二、特例三、非惯性系中的质点动力学三、非惯性系中的质点动力学第30页，本讲稿共53页saMsrrxzyOxzyO惯性参考系（静系）惯性参考系（静系）Oxyz非惯性参考系（动系）非惯性参考系（动系）-Oxyz绝对运动轨迹绝对运动轨迹 sa 相对运动轨迹相对运动轨迹 sr相对位矢相对位矢r牵连运动：动系牵连运动：动系Oxyz 相对于相对于静系静

12、系Oxyz的运动的运动一、质点相对运动微分方程第31页，本讲稿共53页M点的绝对运动方程（在静系内的运动）点的绝对运动方程（在静系内的运动）牛顿第二定律：牛顿第二定律：式中：，为绝对加速度根据运动学中的加速度合成定理，有根据运动学中的加速度合成定理，有上式中，称为科氏加速度，为牵连加速度,为相对加速度。第32页，本讲稿共53页将加速度代入牛顿第二定律，得将加速度代入牛顿第二定律，得由上式，可得由上式，可得令令牵连惯性力牵连惯性力科氏惯性力科氏惯性力最后得：最后得：第33页，本讲稿共53页上式称为质点相对运动微分方程。上式称为质点相对运动微分方程。质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在质点

13、的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。量和。牵连惯性力牵连惯性力科氏惯性力科氏惯性力第34页，本讲稿共53页二、特例1、动系作平动、动系作平动得到：得到：2、动系作匀速直线运动、动系作匀速直线运动得到：得到：第35页，本讲稿共53页2、动系作匀速直线运动上式与牛顿第二定律相同，上式与牛顿第二定律相同，所有相对于惯性坐标系作所有相对于惯性坐标系作匀速直线运动匀速直线运动的参考系都的参考系都可以认为是可以认为是惯性坐标系惯性坐标系。第36页，本讲稿共53页m如图所示单摆，摆长l，小球质量为m，其悬挂点O

14、以加速度 向上运动。求：此单摆做微振动的周期。例题第37页，本讲稿共53页mOxyP在悬挂点在悬挂点O上固接以平动参考系上固接以平动参考系Oxy，小球相对此动系相当于小球相对此动系相当于悬挂点固悬挂点固定的单摆振动定的单摆振动。因为平动：因为平动：本问题的动力学基本方程为：本问题的动力学基本方程为：F解：第38页，本讲稿共53页向切向方向投影：向切向方向投影：又又 很小很小令令上式变为：上式变为：得到：得到：解得：解得：mOxyPF第39页，本讲稿共53页三、非惯性系中的质点动力学 飞机急速爬高时飞机急速爬高时飞行员的黑晕现象飞行员的黑晕现象爬升时：爬升时：a 5g惯性参考系地球惯性参考系地球

15、非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点惯性力向下，从心脏流向头惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺部的血流受阻，造成大脑缺血，形成血，形成黑晕现象。黑晕现象。飞行员的黑晕与红视现象飞行员的黑晕与红视现象第40页，本讲稿共53页 非惯性系中的质点动力学俯冲时：俯冲时：a22g g 飞机急速俯冲时飞机急速俯冲时飞行员的红视现象飞行员的红视现象惯性参考系地球惯性参考系地球非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点牵连惯性力向上，使血流自牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑下而上加速流动，造成大脑充血，形成充血，形成红视现象红视现象。飞行员的黑晕

16、与红视现象第41页，本讲稿共53页非惯性系中的质点动力学由于地球的由于地球的自转引起的自转引起的水流科氏惯水流科氏惯性力。性力。第42页，本讲稿共53页非惯性系中的质点动力学水流科氏惯水流科氏惯性力对右岸性力对右岸的冲刷。的冲刷。第43页，本讲稿共53页O例题Pkk已知：开有矩形槽的大盘以等角已知：开有矩形槽的大盘以等角速度速度绕绕O轴旋转。矩形槽内安置轴旋转。矩形槽内安置物块物块-弹簧系统，物块弹簧系统，物块P的质量为的质量为m，弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k。初始状态下，初始状态下，物块处于大盘圆心物块处于大盘圆心O，这时弹簧不变这时弹簧不变形。形。求：1、物块的相对运动微分方程；2、

17、物块对槽壁的侧压力。第44页，本讲稿共53页 Pkk kkkPxyOxv vr ra ae en na aICIC1 1、非惯性参考系、非惯性参考系Oxy动点物块动点物块P2 2、分析相对速度和各种加、分析相对速度和各种加速度：速度：相对速度相对速度vr 沿着沿着x正向正向牵连加速度牵连加速度aen由大盘转动引由大盘转动引起起 科氏加速度科氏加速度aIC=2m vr解：第45页，本讲稿共53页FIenF FFNFICkkPxvraenaICxyO3 3、分析质点、分析质点(物块物块)受力：受力：F 弹簧力弹簧力F2k xFN 槽对物块的约束力槽对物块的约束力FIC 科氏力科氏力FIen 法向牵

18、连惯性力法向牵连惯性力 FIenm 2 x第46页，本讲稿共53页kkPxvraenaICxyO4 4、建立质点、建立质点(物块物块)的相对的相对运动微分方程：运动微分方程：FIenFFNFIC第47页，本讲稿共53页5 5、计算结果分析与讨论、计算结果分析与讨论物块在物块在x0处的平衡位置为稳定平衡位置。处的平衡位置为稳定平衡位置。当时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，物块的相对运动为自由振动，其固有频率为第48页，本讲稿共53页计算结果分析与讨论 当当当当牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，物块不能在物块不能在x0处附近作自由振动，物块在处附近作自由振动，物块在x0处的平衡是不稳定的。处的平衡是

19、不稳定的。当当当当牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力，物块在物块在x0处为随遇的平衡位置。处为随遇的平衡位置。第49页，本讲稿共53页如图所示单摆，摆长l，小球质量为m，其悬挂点O以加速度 向上运动。例题求此单摆做微振动的周期。Om第50页，本讲稿共53页Om解：在悬挂点在悬挂点O上固接以平动参考系上固接以平动参考系Oxy，小球相对此动系相当于小球相对此动系相当于悬挂点固定悬挂点固定的单摆振动的单摆振动。因为平动：因为平动：xy建立动力学基本方程：建立动力学基本方程：PF第51页，本讲稿共53页向切向方向投影：向切向方向投影：又 很小上式可改写为：上式可改写为：令令OmxyPF第52页，本讲稿共53页本章结束本章结束第53页，本讲稿共53页