向量与向量的线性组合精.ppt

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1、向量与向量的线性组合第1页，本讲稿共24页（一）（一）向量及其线性运算向量及其线性运算二维向量二维向量二元有序数组（二元有序数组（x,y）(x,y)0三维向量三维向量三元有序数组（三元有序数组（x,y,z）n维维行行向量向量n元有序数组元有序数组ai 的的第第i个分量个分量n维维列列向量向量1.定义定义第2页，本讲稿共24页 分量为实数的向量称为分量为实数的向量称为实向量实向量；分量为复数的向量称为分量为复数的向量称为复向量复向量。负向量负向量n维维(基本基本)单位向量：单位向量：零向量零向量特殊向量：特殊向量：或或第3页，本讲稿共24页2.运算运算相等相等加法加法减法减法数乘数乘k(k1)k

2、(k0)设设第4页，本讲稿共24页向量的加法与数乘满足下列运算规律：向量的加法与数乘满足下列运算规律：3.运算律运算律 对于所有对于所有n维向量组成的集合，按定义的加法和数乘，满维向量组成的集合，按定义的加法和数乘，满足八条运算法则，我们称这个集合对规定的加法和数乘构成一足八条运算法则，我们称这个集合对规定的加法和数乘构成一个个n维维向量空间向量空间。记为。记为Rn.定义定义3.4 （P.122（126）)与矩阵的加法、数乘运算律同。与矩阵的加法、数乘运算律同。第5页，本讲稿共24页例例 （P.123（127）解解第6页，本讲稿共24页用向量的观点看矩阵用向量的观点看矩阵则则或或第7页，本讲稿

3、共24页用向量的观点看线性方程用向量的观点看线性方程可写成：可写成：即即线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示系数列向量系数列向量第8页，本讲稿共24页令令称为满足方程称为满足方程 的一个的一个解向量解向量。第9页，本讲稿共24页例例（P.110(113)方程组方程组若记若记方程组有解方程组有解使得使得第10页，本讲稿共24页（二）（二）向量组的线性组合向量组的线性组合问题的提出问题的提出：线性方程组可用向量表示为线性方程组可用向量表示为方程组是否有解的问题归结为：方程组是否有解的问题归结为：是否存在一组数是否存在一组数使得上式成立。使得上式成立。则称则称 是向量组是向量组的的线性组合线性组

4、合或称或称 可由向量组可由向量组线性表示（或线性表出）线性表示（或线性表出）定义定义3.5（P.124(128)）对于给定的向量对于给定的向量若若存在存在一组数一组数使得使得可可否否全全为为零零？1.定义定义如前例如前例第11页，本讲稿共24页例例 （P.124例例3(129例例2)）零向量是任何向量组的线性组合零向量是任何向量组的线性组合。设任一向量组为设任一向量组为 ，一些常用结果一些常用结果零向量零向量数零数零第12页，本讲稿共24页n维单位向量组（基本向量）：维单位向量组（基本向量）：例例（P.124例例2(129例例1)）任何任何n维向量维向量都可由都可由n维基本单位向量组线性表示。

5、维基本单位向量组线性表示。例例（P.125例例4（129例例3）向量组向量组 中中任任 一向量都可由这个向量组线性表出。一向量都可由这个向量组线性表出。因为因为组内向量可由本组向量表示组内向量可由本组向量表示第13页，本讲稿共24页2.能否表示的判定定理及求组合系数的方法能否表示的判定定理及求组合系数的方法对比线性方程组的向量表示：对比线性方程组的向量表示：及线性组合的定义：及线性组合的定义：知，知，是否为向量组是否为向量组的线性组合，的线性组合，等价于等价于方程组方程组有无解，有无解，等价于等价于 r(A|)是否等于是否等于 r(A)。设设其中其中第14页，本讲稿共24页定理定理3.3 （P

6、.124（128）可由向量组可由向量组线性表示线性表示以向量以向量 j 为列！为列！注意：注意：若若 ，j 是是行向量行向量，则须，则须组合系数组合系数为方程组为方程组的解。的解。思考题：思考题：若若 可由向量组可由向量组线性表示，线性表示，问：问：“表示表示”是否唯一？是否唯一？列列向向量量，行行变变换换！第15页，本讲稿共24页例例5 P.125 判断向量判断向量是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。解解 (1)（表示唯一吗？）（表示唯一吗？）第16页，本讲稿共24页(2)第17页，本讲稿共24页练习练习设设R3 中的向量中的向量判

7、断判断 能否由能否由 1，2，3 线性表示？若能，写出线性表示？若能，写出一个表示式。一个表示式。解解若不需写出若不需写出“表表示式示式”，则不必，则不必化行简化阶梯形化行简化阶梯形矩阵。矩阵。（表示式不唯一，（表示式不唯一，为什么？为什么？）第18页，本讲稿共24页取取 x3=0,得得 x1=5,x2=-1.于是得线性表示式：于是得线性表示式：再求一表示式再求一表示式取取 x3=1,得得 x1=6,x2=-3.第19页，本讲稿共24页定义定义 设有两个向量组设有两个向量组 若向量组若向量组(A)的的每个每个向量向量都可由向量组都可由向量组(B)中的向量线性表中的向量线性表出，出，则称则称向量

8、组向量组(A)可由向量组可由向量组(B)线性表出线性表出。三、三、两个向量组之间的关系两个向量组之间的关系 (P.125(137)即即 若向量组若向量组(A)与向量组与向量组(B)可互相线性表出，则称它们可互相线性表出，则称它们等等价价。(定义定义3.6）第20页，本讲稿共24页线性表出的线性表出的传递性传递性：(A)可由可由(B)线性表出，线性表出，(B)可由可由(C)线性表出，线性表出，(A)可由可由(C)线性表出。线性表出。设设定理定理3.4 （P.126（137定理定理3.8）证略证略第21页，本讲稿共24页例例6 P.126 判断下列向量组是否等价判断下列向量组是否等价解解 因为因为所以所以(B)可由可由(A)线性表示。线性表示。又又所以所以(A)可由可由(B)线性表示。线性表示。故向量组故向量组(A)与与(B)等价。等价。(C)可由可由(A)线性表示线性表示:但但(A)不能由不能由(C)线性表示线性表示:因因 不能由不能由(C)线性表示线性表示故故(A)与与(C)不等价，不等价，由此由此(B)与与(C)也不等价。也不等价。为什么？第22页，本讲稿共24页练习练习故两向量组等价。故两向量组等价。注意注意：两等价向量组的向量个数不一定相等：两等价向量组的向量个数不一定相等.解解第23页，本讲稿共24页 3.23.2 n 维向量空间第24页，本讲稿共24页