一种定积分数值算法在MATLAB中的实现.doc

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1、一种定积分数值算法在MATLAB中的实现一种定积分数值算法在MATLAB中的实现Analysis of Numerical Integral Algorithm and its realization in MatLab滕旭东1 傅珣2 王弘辉3TENG Xudong1，WANG Hong_Hui2， FU YouDeng2（1.上海工程技术大学电子电气工程学院，上海2016002. 四川省经济贸易学校，成都6100413。中国酒泉卫星发射中心，兰州732750； ）摘 要：MATLAB软件在工程上的使用日益扩大,一些重要的计算如定积分运算会经常用到,本文针对MATLAB内置函数无法计算有些定

2、积分，提出采用高斯勒让德数值算法来求解定积分。文中介绍了该算法原理和实现步骤，并给出定积分数值算法的M函数实现代码。运算结果表明新的数值定积分算法调用方便，不但解决了个别定积分在MATLBA中计算出错问题，而且精度高，运行速度快。关键词：MATLAB； 数值积分；GaussLegendre算法; M函数 中图分类号： TP301。6 文献标识码： AAbstract: A new numerical integral algorithm is introduced for solving integral operation, which is difficult to get correct

3、 solutions for some differential equation by calling directly functions in Matlab library. In the paper, the principle of Gausslegendre integral algorithm is discussed, and its realization procedures and steps are given based on above idea。 At last, the new integral M-function can be design easily i

4、n matlab. The results show that the new integral Mfunction is not only more precise， but also more fast speed to solve the complicated integral.Keywords： MATLAB；Numerical Integral;Gauss-Legendre Algorithm；Mfunction1问题的提出 基金项目：上海高校培养优秀青年教师科研专项基金资助（05XPYQ05）MATLAB是工程计算领域中一个非常重要的应用软件，它提供大量的数学函数和矩阵函数，使得

5、工程计算变得简单。如在求解方程中，定积分运算就可以直接调用MATLAB提供的INT函数和QUAD8函数得到计算结果，这两种积分函数函数算法稳定,适用性强，计算精度高,计算很少失败，所以常使用这两种函数进行工程分析和计算。然而我们在计算中也发现一些不足之处，即对某些函数的定积分运算，利用MATLAB提供的函数求不出正确的结果。例1 求 准确结果为调用MATLAB提供的INT 积分指令指令：syms x ; F=int（sqrt(log(1./x)）xo1)Warning: Explicit integral could not be found.F= Int（log(1/x）（1/2)x = 0

6、 . 。1）调用MATLAB提供的QUAD8积分指令：Y=intline（sqrt（log(1/x)x) F=quad8(Y01)Warning：Divide by zero. F= Inf上面结果表明：无论是INT还是QUAD8函数实现算法对上式都不能得到正确的积分结果,因此只有设计一种新的定积分数值算法程序(自定义积分M函数）实现MATLAB中的定积分求解工作。2定积分数值算法原理 2.1高斯勒让德求积分算法概述设f(x)是在区间-1,1上具有一定光滑度的函数，则有 （1) (2） (3）其中是n次legendre（勒让德)多项式(2)的零点，也就是求积分公式(1）的高斯点：是独立于函数)

7、的常数，称为积分系数，其值为（3）；一般称积分式(1）为gausslegendre(高斯勒让德）求积分公式.当积分区间不是-1，1，而是一般区间a,b时，只要做变换可将区间a，b化为-1,1区间，即: （4）其中就是n次legendre（勒让德）多项式（2)的零点。表给出了部分高斯勒让德积分公式的高斯点和积分系数以备查阅。2。2算法实现步骤1)先将积分区间a,b分为长度相等的m(m=1,2，）个子区间，有: （5) 并分别计算出每个子区间的左端点aa的值和右端点bb的值。2） 在第i子区间上,对积分变量x按（4）作变换,将子区间化为在区间-1，1上的积分，再利用gausslegendre求积分

8、公式求得第i个子区间的积分近似值为： （6)3) 把所有子区间的积分近似值wi求和，得到整个积分区间上的积分近似值gm，若（eps为设定的误差精度），则重复步骤1）,否则结束，此时gm大小为所求的定积分值。表 高斯点和积分系数求积分节点x k求积分系数A k0.57735026921.030.00. 77459666920.88888888890.555555555640.33998104360。 86113631160。65214515490。347854845150.00.53846931010.90617984590.56888888890.47862867050。23692688516

9、0.23861918610.66120938650.93246951420。46791393460.36076157310。17132449243定积分数值算法的M函数实现3。1定积分数值算法程序代码Functiong=intgaus(f，a，b) t=-0。9061798459,-0.5384693101，0, 0。5384693101, 0.9061798459；c=0。236926885， 0.4786286705， 0.5688888889, 0.4786286705， 0.236926885; m=1;h=b-a； p=1.0e+35 ep=eps+1； eps=0.000001;

10、%积分误差精度 while epeps g=0; for i=1：m aa=a+(i1)h;bb=a+ih； 单个区间的端点值： w =0。0； j=1：5； x1（j)=(（bb-aa）t(j)+（bb+aa)/2； f3(j)=subs(f,x,x1（j)）; w=w+f3（j）.c（j)； % w=sum（w)； 单个子区间积分近似值; g=g+w; %整个区间积分近似值; end g=hg/2; ep=abs(g-p)/(1+abs(g）; %积分误差精度控制; p=g;m=m+1；h=(b-a)/m; . (程序中取n=5个高斯点） 3.2定积分数值算法在MATLAB中的调用 定积分

11、数值算法设计的M函数在MATLAB中的使用与INT函数相似，但指令名为算法函数名,即intgaus(f,a，b）。如例采用上述的定积分函数求解就可得到正确的结果。指令：syms t ； F = intgaus(sqrt（log（1/t)，0，1） F = 0。8862例2指令:syms t ;F = intgaus(t2exp(t）,0，1) F = 0。71833.3算法的改进MATLAB是一种以矩阵计算为基础的功能强大的程序语言，采用矩阵方式进行运算，速度快，精度高，所以对3。1节中积分算法程序进行改进;用矩阵运算来代替循环语句和数阻运算。改进的部分的算法程序：i=1:m;aa=a+（i-

12、1)h；bb=a+i*h;B = ones(1,5）; 增加B矩阵调整维数一致ai= Baa(i）;bi=B*bb(i）；U，V=size（ai）；B1=ones(1,V）； %增加B1矩阵调整维数一致w=0。0；j=1:5;x1=( bi-ai).*（B1t)）+（ai+bi）/2；f3=subs（f,x,x1);w=f3.(B1*c）;w=sum(w);g=g+sum（w）；改进后的积分程序对定积分的求解过程中,极大的缩短了运算时间，个别定积分的运算速度甚至快于MATLAB提供的积分函数.4结束语本文采用高斯勒让德定积分数值算法设计一种M函数，解决了一些定积分在MATLAB中无法求解或者结

13、果错误的问题，同时也说明了用户可以根据需要，利用MATLAB中提供的基本函数，灵活地研究和编制自定义的M函数程序.本文所设计的定积分数值算法程序不能对矩阵进行积分运算，因此有兴趣的读者可以尝试对上述程序进行修改。本文创新点在于解决了一些定积分在MATLAB中无法求解或者结果错误的问题，为工程应用和仿真分析提供了一种有效且可靠的定积分计算方法。参考文献1田野，孟传良.利用累加法实现控制器标度换算研究J。微计算机信息,2007，20：50-512中国科学院沈阳计算机研究所编. 电子计算机参与算法M. 科学出版社,19833徐士良编著. C语言算法程序集M. 清华大学出版社，19944张志涌等编著.

14、 精通MATLABM. 北京航空航天大学出版社，20005张平等编著. MATLAB基础与应用简明教程M。 北京航空航天大学出版社,20016李庄杨，王能超，易大义编. 数值计算M（第4版).清华大学出版社，2001第一作者简介：滕旭东（1971），男（满族), 四川江油人,上海工程技术大学电子电气学院，讲师，主要从事数字信号处理及其电路设计。Biography: TENG Xudong,male， born in 1971,the Man nationality, College of Electronic & Electric ，Shanghai University of Engineering Science；Research Orientation:digital signal processing and circuit design。联系方式 ：（201600,上海市松江区龙腾路333号，上海工程技术大学电子电气工程学院） 滕旭东