第3章刚体优秀课件.ppt

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1、第3章刚体1第1页，本讲稿共83页 一、刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（理想模型）刚体是一个特殊的质点系-质点之间的距离与相对位置都保持不变。这部分学习方法:对比法（对比质点系力学）二、刚体的运动形式3.1 刚体的运动刚体的运动2第2页，本讲稿共83页刚体的运动形式：平动、转动.刚体平动刚体平动 质点运动质点运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.1.平动（translation）：2.转动（rotation）：3第3页，本讲稿共83页三、刚体转动的描述（运动学问题）（1）刚体作定轴转动时,刚体上各质点

2、都作圆周运动。vi,定轴zmi刚体作定轴转动时的特点：（2）轨道所在平面垂直转轴,平面称为转动平面，交点称为转心O。（线位移、线速度、线加速度）（角位移、角速度、角加速度）角量完全相同各质点运动的线量一般不同（3）4第4页，本讲稿共83页所以，描述刚体作定轴转动和圆周运动相同四、角速度矢量为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度矢量5第5页，本讲稿共83页设刚体绕固定轴 z 转动vi,定轴z大小：角速度矢量方向：右手螺旋关系，沿轴前进方向（有正负）如图示转向OOP点处线速度：6第6页，本讲稿共83页P*O（其中 :力臂）刚体绕 OZ轴旋转,力 作用在刚体上点 P,且在转动平面内,为

3、由点O到力的作用点 P 的径矢.则力矩的大小：对转轴 Z 的力矩：一.力矩 3.2 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律7第7页，本讲稿共83页8第8页，本讲稿共83页O讨论1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 2）合力矩等于各分力矩的矢量和：其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩：大小：9第9页，本讲稿共83页3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相 抵消O10第10页，本讲稿共83页vi,定轴zmi二.转动定律O把刚体看作非常多质元构成的质点系，第i个质元质量为 ，到转轴的垂直距离为 由牛II律：则切线方向分量式：则质元力矩为：11第11页，本讲稿共83

4、页则整个刚体：O外力矩内力矩的总和=0转动惯量转动惯量（对（对z 轴）轴）令：（rotational inertia）12第12页，本讲稿共83页定轴情况下，可不写下标 z，记作：刚体绕某一固定轴的合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积。转动定律13第13页，本讲稿共83页0例1:一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？（J=mR2）解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，由转动定律：外力矩是摩擦阻力矩，由转动

5、定律：0Nfr14第14页，本讲稿共83页三.转动惯量 物理意义：转动惯性大小的量度.转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法:转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：（1）密度大小（2）质量分布（3）转轴位置15第15页，本讲稿共83页 计算转动惯量 J 的三条有用的定理：（1）叠加定理:对同一转轴 J 有可叠加性转轴 质量离散分布刚体的转动惯量：16第16页，本讲稿共83页2 对质量线分布的刚体：质量线密度2 对质量面分布的刚体：质量面密度2 对质量体分布的刚体：质量体密度线积分面积分体积分 质量连续分布刚体的转动惯量:：质量微元17第17页，本讲稿共83页（2）平行轴定理:其中 Jc（

6、通过质心）总是最小平行md d d dJJc18第18页，本讲稿共83页刚体为一薄片即：z=0（3）垂直轴定理:（对薄平板刚体）19第19页，本讲稿共83页Rrdr整个圆盘对中心轴的转动惯量整个圆盘对中心轴的转动惯量例2 求质量为m，半径为R的圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量，设质量在盘上均匀分布。解：解：可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是 。20第20页，本讲稿共83页解：解：各段对中心轴的转动惯量求和各段对中心轴的转动惯量求和思维空间：思维空间：转轴通过棒的一端并与棒垂直。转轴通过棒的一端并与棒垂直。例3 求质量为m，长为l 的匀质细棒对通过棒中心并与棒

7、垂直的转轴的转动惯量。xlxdxo代入上式代入上式21第21页，本讲稿共83页例4：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量 yx z 圆盘 R C m22第22页，本讲稿共83页RMOOmL利用转动惯量的可叠加性和平行轴定理：圆盘细杆例5:写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量23第23页，本讲稿共83页圆环转轴环面垂直 圆环转轴沿直径 薄圆盘转轴与盘面垂直圆筒 细棒转轴通过端点与棒垂直 细棒转轴通过端点与棒垂直 球体 球壳24第24页，本讲稿共83页-刚体定轴转动定律与牛顿第二定律 相比，有：J相应 m，相应 ，相应 。转动定律写成矢量式：25第25页，本讲稿共83页四、刚体定轴转动定律的应用求:

8、物体的加速度及绳中张力？解题思路：（1）选物体（2）看运动（3）查受力（注意:画隔离体受力图）（4）列方程（注意:架坐标）例1.m1m2mR已知：两物体 m1、m2（m2 m1)，滑轮 质量为m、半径为R,可看成质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。26第26页，本讲稿共83页因绳不伸长,有 a1=a2=a因绳轻,有对m1有对 m2有以加速度方向为正，可列出两式设出各量如图所示。【解】分别对m1,m2,m 看运动、分析力，T1-m1g=m1a-（1）m2g-T2=m2 a-（2）27第27页，本讲稿共83页对滑轮 m 由转动定律：-（3）三个方程,四个未

9、知数.再从运动学关系上有：-（4）联立四式解得：(以以“方向方向”为正为正)28第28页，本讲稿共83页29第29页，本讲稿共83页 当不计滑轮质量和摩擦力矩时:（与中学作过的一致！）m=0 ,Mf=0，有讨论30第30页，本讲稿共83页例例 2.已知：如图，已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速下落时间，匀加速下落时间 t=3s,绳、轮无相对绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：轮对滑动，轴光滑。求：轮对o轴轴 J=？定轴0Rthmv0=0绳分析受力如图所示。分析受力如图所示。解题分析：解题分析：分别对物体分别对物体m 和轮和轮 看运动、分析力，看运动、分析力，Rma3

10、1第31页，本讲稿共83页【解】：由动力学关系：四个未知量由运动学关系：Rm32第32页，本讲稿共83页本节研究力矩在时间上的累积效应。3.3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律由转动定律：即：积分33第33页，本讲稿共83页一、冲量矩称冲量矩力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用二、角动量（动量矩）定义为：34第34页，本讲稿共83页 LmO pr质点m对固定点O的角动量（动量矩）单位：kg m2/s大小：方向：决定的平面（右螺旋）35第35页，本讲稿共83页LRvmO质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为:方向垂直圆面不变。同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同

11、而改变。例如：方向变化方向竖直向上不变OlO锥摆m36第36页，本讲稿共83页质点直线运动的角动量？质点作直线运动时，对空间某给定点也可能有角动量:所以并非质点作周期性曲线运动才有角动量.OR37第37页，本讲稿共83页三、质点的角动量定理由：或有：FMrOmr0即即“质点对固定点角动量的增量等于该质点质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩所受的合力的冲量矩”。38第38页，本讲稿共83页四、角动量守恒定律由角动量定理：知：则质点的角动量：质点角动量质点角动量守恒定律守恒定律即：39第39页，本讲稿共83页例如：如图中实验知用小球的质量乘上两边：即小球对o点的角动量保持不变.（

12、如行星受的万有引力）或 过固定点：有心力40第40页，本讲稿共83页又如：行星绕太阳运动，受万有引力作用。行星角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。41第41页，本讲稿共83页刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体系：Mz=0 时，42第42页，本讲稿共83页一.力矩的功对转动（功）无贡献现在讨论力矩对空间的积累效应：设刚体转过角度 ，刚体上P点受到外力 的作用，位移为 ,功为 。3.4 刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理43第43页，本讲稿共83页 此式称为力矩的功（实质上仍然是力的功）44第44页，本讲稿共83页二、力矩的

13、功率:即：力矩的功率等于力矩与角速度的乘积45第45页，本讲稿共83页三、刚体定轴转动的动能:46第46页，本讲稿共83页四、刚体定轴转动的动能定理刚体是一个特殊的质点系，质点系的动能定理适用于刚体，则：因为刚体内各质元无相对运动，A内=0，则：即：47第47页，本讲稿共83页定轴转动动能定理定轴转动动能定理“刚体绕定轴转动时，转动动能的增量刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩所作的总功等于刚体所受外力矩所作的总功”48第48页，本讲稿共83页 刚体的重力势能(hc-质心的高度）刚体系仍是个质点系，根据质点系的功能原理：-机械能守恒定律注意：质点系的功能原理及机械能守恒定律适用于

14、刚体。49第49页，本讲稿共83页质点平动与刚体转动的比较作用规律质点平动刚体转动牛顿第二律转动定律对时间的累积效应对空间的累积效应动量定理动能定理动量守恒定律角动量定理角动量守恒定律转动动能定理50第50页，本讲稿共83页【解】【解】“杆杆+地球地球”系统，系统，(1)(2)由由(1)、(2)解得：解得：只有重力作功，只有重力作功，求:杆下摆到 角时，角速度？E机机守恒。守恒。例1已知:均匀直杆质量为m，长为l，轴o光滑，EP重=00CABl,ml/4，初始静止在水平位置。51第51页，本讲稿共83页例2 质量 m，长 l 的均匀细杆可绕通过其上端的水平光滑固定轴 0 转动，质量也是m 的小

15、球用长度也是 l 的轻绳系于上述 0 轴上。设细杆静止在竖直位置，将小球在垂直于0 轴的平面内拉开角度为，然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞，结果使杆产生/3 的偏角。求：=？【解解】：在】：在小球下摆过程：小球下摆过程：系统系统：小球：小球+地球地球 条件条件：只有保守力：只有保守力 作功作功 所以所以E机机守恒守恒mlo/3m52第52页，本讲稿共83页条件：小球和杆的重力（外力）对0 轴几乎无力矩,有轴力（外力），但也无力矩。M外=0，系统角动量守恒即小球动量矩 碰撞过程：系统：小球+杆 动量守恒？(答：不守恒！）答：不守恒！）53第53页，本讲稿共83页四个未知数，三个方程，还应找一个

16、方程。杆上摆过程：由E机守恒可得mlo/3m联立可以解得 题意：弹性碰撞，所以动能守恒54第54页，本讲稿共83页例3 体重相等的甲乙两人，各抓住跨过滑轮的绳的两端，如图所示.当他们从同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，问谁先到达顶点?（假定绳和滑轮的质量以及各种摩擦都忽略）.解解 把二人看成质点，以滑轮的轴把二人看成质点，以滑轮的轴O为参考点，考虑甲乙二人和滑轮组成的系为参考点，考虑甲乙二人和滑轮组成的系统，此系统所受的外力矩只有甲乙二人所统，此系统所受的外力矩只有甲乙二人所受的重力矩，它们大小相等，方向相反，受的重力矩，它们大小相等，方向相反，彼此抵消，总外力矩为零，因而系统

17、的总彼此抵消，总外力矩为零，因而系统的总角动量守恒角动量守恒.设角动量的正方向为垂直于纸面向里设角动量的正方向为垂直于纸面向里，地面为参，地面为参考系，甲乙二人对地的速度分别为考系，甲乙二人对地的速度分别为v1和和v2，55第55页，本讲稿共83页开始时，v1=v2=0,系统的初始角动量L0=0,所以，由角动量守恒可得：由此可知，尽管两人相对于绳的速率不等，但他们对地的速率随时保持相等，又他们从同一高度开始上爬，所以他们将同时到达顶点.试问，若两人质量不相等，其他条件不变，情况又如何?角动量不守恒，由角动量定理：角动量不守恒，由角动量定理：56第56页，本讲稿共83页例4 一长为 l 的轻质细

18、杆两端分别固接小球 A 和 B,杆可绕其中点o处的细轴在光滑水平面上转动。初始时杆静止,后有一小球C以速度v0垂直于杆碰A,碰后与 A合二为一。设三个小球的质量都是 m,求:碰后杆转动的角速度?【解解】选系统选系统:A+B+CABCv057第57页，本讲稿共83页答：轴处有水平外力，动量不守恒。答：轴处有水平外力，动量不守恒。可得碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？答：轴处有水平外力，但没有外力矩，答：轴处有水平外力，但没有外力矩，角动量守恒。角动量守恒。碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？即设碰后设碰后 B 球的速度为球的速度为v,58第58页，本讲稿共83页mAB2mm,rm,rT=?例题5

19、.已知：如图，半径r，两盘质量都为m，绳子两端与m和2m相连，物静止开始下落,绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：绳子中的张力？解解：（1）研研究究对对象象：A、B和两圆柱体；和两圆柱体；（2）受力分析如图：）受力分析如图：59第59页，本讲稿共83页TAABmg2mgTATBTTBA向上运动，有加速度aA;B向下运动，加速度aB,圆柱体顺时针转动。（3）可有下列方程：（4）解方程组可得60第60页，本讲稿共83页例6:一长为l 的轻质杆端部固结一小球m1，另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，解：解：选选m1（含杆）（含杆）+m2为系统为系统

20、求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度对对O 力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2解得：解得：思考 （m1m2）的水平动量是否守恒？有有61第61页，本讲稿共83页1.质点系的角动量定理也是适用于惯性系；2.外力矩和角动量都是相对于惯性系中的同一固定点说的。质点系受的外力的矢量和为零，但总外力矩不一定为零（eg:力偶）角动量不守恒；3.当质点系受的外力的矢量和不为零，但总外力矩可为零时（eg:有心力），质点系总角动量守恒；4.内力矩不影响质点系总角动量，但可影响质点系内某些质点的角动量。说明62第62页，本讲稿共83页小结：动量与角动量的比较角动量矢量与固定点有关

21、与内力矩无关守恒条件动量矢量与内力无关守恒条件与固定点无关63第63页，本讲稿共83页复习题1.已知:泥球质量为 m,半径为R的均质圆盘质量为 M=2m,它可绕水平光滑轴o轴转动.泥球与它正下方的圆盘上的P点距离为 h，=60。求:（1）碰撞后的瞬间 m、M 共同角速度（2）P点转到 x 轴时，角速度 角加速度【解】【解】对对“泥球泥球+地球地球”系统，系统，只有保守力作功，只有保守力作功，故机械能守恒：故机械能守恒：m下落过程：下落过程：对第（对第（1）问）问64第64页，本讲稿共83页 碰撞过程:对对“m+M”系统，系统，碰撞时间 极小，冲力远大于重力，重力（外力）对0的力矩可忽略，故角动

22、量守恒：65第65页，本讲稿共83页(1)、(2)得：转动过程：对对“m+M+地球地球”系统，系统，对第（2）问只有重力作功，故 E机守恒：令P点与 x 轴重合时，EP重=0得：P点转到 x 轴时，66第66页，本讲稿共83页复习题2.质量为m，半径为R的圆盘在水平面上绕中心竖直轴O转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为 ，已知开始时薄圆盘的角速度为 ，试问圆盘转几圈后停止？【解】【解】刚体转动运动学刚体转动运动学+动力学综合问题动力学综合问题（1）求摩擦力矩）求摩擦力矩设圆盘的面密度设圆盘的面密度 在距在距r处取宽处取宽dr的圆的圆环，该环受的摩擦力环，该环受的摩擦力矩为：矩为：67第67页，本讲

23、稿共83页整个圆盘受的摩擦力矩为：（2）由转动定律：68第68页，本讲稿共83页（3）求圆盘转过的角度，圆盘作匀减速转动：69第69页，本讲稿共83页复习题3.已知：如图，物体的质量为m1和m2,定滑轮的质量为M1、M2，半径R1,R2，且m1m2,绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：绳子中的张力T1、T2、T3？m2m1T3=?T2=?T1=?70第70页，本讲稿共83页复习题4.如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度作匀速转动。转台对该轴的转动惯量J=510-5kgm2。现有砂粒以1g/s的流量落到转台，并粘在台面形成一半径r=0.1m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为/2所花的时间。解：由角

24、动量守恒定律解：由角动量守恒定律71第71页，本讲稿共83页由流量72第72页，本讲稿共83页复习题5.已知：如图，半径R，盘质量为M，绳子两端与m和弹簧相连，物静止开始下落,绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：下降距离h时的速度？mMR【解】73第73页，本讲稿共83页74第74页，本讲稿共83页75第75页，本讲稿共83页复习题6.已知：如图，半径分别为r和2r，两盘质量分别为m和2m，m同轴粘在一起，可绕盘心转动，绳子两端都挂m的重物，绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：盘的角加速度的大小？（对转轴的转动惯量为 ）mgmg【解】T2T1受力分析如图：mgT2mgT176第76页，本讲稿共83页解上述

25、5个方程，得：mgT2mgT1T2T177第77页，本讲稿共83页自测题1.转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初始角速度为 ，所受的阻力矩与转动的角速度成正比即 ，求圆盘的角速度由 变为 时所需的时间？【解】【解】由转动定律：由转动定律：78第78页，本讲稿共83页79第79页，本讲稿共83页自测题2：一刚体以每分钟60转绕Z轴做匀速转动（沿Z轴正方向），设某时刻刚体上一点P的位置矢量为 ，则该时刻P点的速度表达式？答：答：80第80页，本讲稿共83页自测题自测题3.一转台绕中心竖直光滑轴一转台绕中心竖直光滑轴O转动，每转动，每10s转一周，转台对轴的转动惯量为转一周，转台对轴的转动惯量为12

26、00kgm2,质量为质量为80kg的人开始时站在台的的人开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑，问当人离转台中中心，随后沿半径向外跑，问当人离转台中心心2m时，转台的角速度时，转台的角速度？【解】【解】角动量守恒：角动量守恒：rO81第81页，本讲稿共83页自测题自测题4.一个质量为一个质量为m的质点沿曲线运动，的质点沿曲线运动，其位置矢量在空间直角坐标系中的表示为其位置矢量在空间直角坐标系中的表示为 ，其中，其中 为常量，则此质点对原点的为常量，则此质点对原点的角动量角动量L=此质点所受对原点的力此质点所受对原点的力矩矩M=？82第82页，本讲稿共83页自测题自测题4解：已知解：已知83第83页，本讲稿共83页